上海交通大學(xué)理論物理研究所課件

1、2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所計(jì)算凝聚態(tài)物理計(jì)算凝聚態(tài)物理凝聚態(tài)物質(zhì)的數(shù)值模擬方法(4)臨界慢化與其它方法；自由能的計(jì)算馬紅孺http:/ 會出現(xiàn)臨界慢化現(xiàn)象.臨界慢化可以通過動力學(xué)臨界指數(shù)來描述. 物理量A的關(guān)聯(lián)函數(shù)為:馳豫時間可以定義為一般為2-3個MCS, 但在臨界點(diǎn), 發(fā)散.Z為動力學(xué)臨界指數(shù), 二維Ising模, z=2.182003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化對于有限系統(tǒng):改進(jìn)的辦法: Swendsen-Wang 方法1, 從任一狀態(tài)出發(fā) s .2, 訪問所有的近鄰對，如果兩個相鄰格點(diǎn)i和j的自旋相同，則在這兩個格點(diǎn)

2、之間以幾率 p=1-e-2 J 生成一個鍵。如果兩個相鄰自旋不同，則在它們之間不生成鍵。3, 根據(jù)連鍵的情況構(gòu)造集團(tuán)，任何兩個格點(diǎn)之間，如果能夠找到一條連接的通路，則屬于一個集團(tuán)，一個孤立格點(diǎn)也是一個集團(tuán)。每一個格點(diǎn)必須屬于某一個集團(tuán)。在確認(rèn)了每一個集團(tuán)后，給每個集團(tuán)按相同幾率給予自旋 +1 和 -1. 并完全忘掉原來的自旋。4. 一個MCS結(jié)束，重復(fù)24。2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化改進(jìn)的方法改進(jìn)的方法, Wolff方法方法1, 隨機(jī)選擇一個格點(diǎn)；2, 從這一格點(diǎn)出發(fā)，如果，對所有的和此格點(diǎn)自旋相同的近鄰點(diǎn)以概率 p=1-e-2 J

3、 連鍵；3, 如果鍵已經(jīng)畫到了近鄰格點(diǎn) j, 然后從 j 出發(fā)向所有的相同自旋的近鄰以幾率 p=1-e-2 J 連鍵；4, 重復(fù)第三步，直到再不能生成新的鍵，從而構(gòu)成一個集團(tuán)；5, 翻轉(zhuǎn)集團(tuán)的自旋；6, 轉(zhuǎn)到第一步；2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化Wollf 的單集團(tuán)算法比Swendsen-王建生的多集團(tuán)算法的效率要高，而且容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。對于二維的Ising模型，兩個算法都給出 z=0, 或2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自由能的計(jì)算自由能的計(jì)算熱力學(xué)積分方法, 利用:得到:2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自

4、由能的計(jì)算自由能的計(jì)算接受幾率方法(Acceptance Ratio Method)這一方法計(jì)算由U0 和 U1描述的兩個相近系統(tǒng)的自由能之差。自由能之差可以寫為2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自由能的計(jì)算自由能的計(jì)算兩個配分函數(shù)之比可以變換為這里的下標(biāo)0和1是指對勢 U0 和 U1. 正則分布求平均。 W 是一個任意函數(shù)。2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自由能的計(jì)算自由能的計(jì)算選擇n0 和 n1 是兩個任意常數(shù)。令：2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自由能的計(jì)算自由能的計(jì)算我們得到這里自由能差為2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自由能的計(jì)算自由能的

5、計(jì)算王福高-Landau方法, 能量空間的無規(guī)行走:正則分布: 物理量的平均值: 是狀態(tài)數(shù), 自由能: Fugao Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. Lett. 86，2050(2001); Phys. Rev. E 64, 056101(2001).2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自由能的計(jì)算自由能的計(jì)算1賦初值：令所有能級賦初值：令所有能級E的狀態(tài)數(shù)的狀態(tài)數(shù) (E)均為均為1.2選定一個已知能量的位型選定一個已知能量的位型.3以隨機(jī)或打字的方式改變一個格點(diǎn)的自旋以隨機(jī)或打字的方式改變一個格點(diǎn)的自旋. 設(shè)改變以前設(shè)改變以前 系統(tǒng)的能量為系統(tǒng)的能量

6、為E1，改變以后系統(tǒng)的能量為，改變以后系統(tǒng)的能量為E2. 為了使訪為了使訪 問能級問能級E的概率正比于該能級狀態(tài)數(shù)的概率正比于該能級狀態(tài)數(shù) (E)的倒數(shù)，從能的倒數(shù)，從能 級級E1到到E2的轉(zhuǎn)變幾率為的轉(zhuǎn)變幾率為min (E1)/ (E2)，1. 按照接受狀況更新狀態(tài)數(shù)按照接受狀況更新狀態(tài)數(shù) (E), 同時計(jì)算狀態(tài)的能量分同時計(jì)算狀態(tài)的能量分 布布H(E).以二維Ising模型為例, 能量的可能取值為 -2NJ, -2NJ+2, , 2NJ-2, 2NJ我們需要計(jì)算每個能級的狀態(tài)數(shù)(E).問題, 如何計(jì)算(E) ?2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自由能的計(jì)算自由能的計(jì)算即即: （1

7、）倘若當(dāng)前的狀態(tài)數(shù)是）倘若當(dāng)前的狀態(tài)數(shù)是 (E1) (E2)，則無，則無條件接受新位型。同時能級條件接受新位型。同時能級E2的狀態(tài)數(shù)的狀態(tài)數(shù) (E2)乘以一個乘以一個修正因子修正因子f(f1)，并且能級，并且能級E2的訪問次數(shù)的訪問次數(shù)H(E2)計(jì)數(shù)一次。計(jì)數(shù)一次。 （2）倘若當(dāng)前的狀態(tài)數(shù)是）倘若當(dāng)前的狀態(tài)數(shù)是 (E1) (E2)，則，則按幾率按幾率 (E1)/ (E2)接受新位型。如果接受新位型，那么接受新位型。如果接受新位型，那么能級能級E2的狀態(tài)數(shù)的狀態(tài)數(shù) (E2)乘以一個修正因子乘以一個修正因子f，并且能級，并且能級E2的訪問次數(shù)的訪問次數(shù)H(E2)計(jì)數(shù)一次；如果不接受新位型，那么計(jì)數(shù)

8、一次；如果不接受新位型，那么能級能級E1的狀態(tài)數(shù)的狀態(tài)數(shù) (E1)乘以一個修正因子乘以一個修正因子f，并且能級，并且能級E1的訪問次數(shù)的訪問次數(shù)H(E1)計(jì)數(shù)一次。計(jì)數(shù)一次。 收斂的標(biāo)志: H(E)=常數(shù) !2003-9-28上海交通大學(xué)理論物理研究所自由能的計(jì)算自由能的計(jì)算其它重要方法:1, Multicanonical 方法: B. Berg and T. Neuhaus, Phys. Lett. B 267, 249 (1991); Phys. Rev. Lett. 68, 9 (1992).由一個初始態(tài)密度出發(fā), 通過多次模擬, 近似求得態(tài)密度.2, Multistage Sampling (McDonald and Singer, 1967, 1969)3, Finite Size method (Mon, 1985)4, Particle-Insertion Method (B. Widom, 1962)5, Histogram Methods (Ferrenberg and Swendsen, 1988)6, Density Scaling