3.4生活中的優(yōu)化問題舉例(含答案)

1、$4生活中的優(yōu)化問題舉例【課時目標(biāo)】通過用料最省、利潤最大、效率最高等優(yōu)化問題，使學(xué)生體會導(dǎo)數(shù)在解決 實際問題中的作用，會利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.知識棕理1 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為，通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道 是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸\用 ，可以解決一些生活中的 2 解決實際應(yīng)用問題時，要把問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，這需通過分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成.函數(shù)的最值要由極值和端點的函數(shù)值確定，當(dāng)定義域是開區(qū)間,而且其上有惟一的極值，則它就是函數(shù)的最值.3 .解決優(yōu)化問題的基本思路是：用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題t用函數(shù)表示的數(shù)

2、學(xué)問題優(yōu)化問題的答案 -用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的 過程.件業(yè)設(shè)計一、選擇題1.某箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V（x） = x2 60尹（0<x<60），則當(dāng)箱子的容積最大時，箱子底面邊長為（）A . 30B . 40C . 50D .其他2.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為y1 一 一=-x3 + 81x 234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為（）3A. 13萬件B. 11萬件C . 9萬件D . 7萬件3. 某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻

3、壁，當(dāng)砌壁所用的材料最省時堆料場的長和寬分別為（）A . 32 米，16 米B . 30 米，15 米C . 40 米，20 米D . 36 米，18 米4. 若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為（）5 .要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為310、3A .3 cmB .3cm16 .320.3C .3 cmD .3cmA .逅B .C . 4VD . 23 V(6. 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品， 固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元,則總利潤最大時,年產(chǎn)400x Tx2（0< x< 400 已知總收益r與

4、年產(chǎn)量x的關(guān)系是r2'丿、80 000（x>400 ）量是（）A. 100B. 150C. 200D. 300題號123456答案、填空題7. 某公司租地建倉庫，每月土地占用費yi與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用yi和y2分別為2萬元和8萬元那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站 千米處.&如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長最小 時，x與h的比為.9做一個無蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27 n且用料最省，則圓柱的底面半徑為.三、解答題10. 某地建

5、一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2 + x)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點， 且不考慮其它因素記余下工程的費用為 y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)m = 640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？11某商品每件成本 9元，售價30元，每星期賣出432件如果降低價格，銷售量可 以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0< x< 30)的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出 24件.(1)將一個

6、星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？【能力提升】12.某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x> 10)層，則每平方米的平均建筑費用為560 +48x(單位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平購地總費用均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=建筑總面積)13.已知某商品生產(chǎn)成本 C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為 C= 100 + 4q,價格p與產(chǎn)量q的1函數(shù)關(guān)系式為p = 25 gq,求產(chǎn)量q為何值時，利潤 L最大.利用

7、導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟.(1)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變 量之間的函數(shù)關(guān)系y= f(x)；求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f' (x)，解方程f' (x)= 0；(3) 比較函數(shù)在區(qū)間端點和f' (x) = 0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值;(4) 寫出答案.$4生活中的優(yōu)化問題舉例答案知識梳理1優(yōu)化問題 作業(yè)設(shè)計導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)優(yōu)化問題1. B3 2V' (x) = 60x-= 0，x= 0或 x= 40.x(0,40)40(40,60)V' (x)+0V(x)/極大值x= 40時，V(x)達(dá)到最大值.y

8、= - x2+ 81,令 y'= 0，得 x= 9 或 x=- 9(舍去).當(dāng) 0<x<9 時，y' >0當(dāng) x>9 時，y' <0故當(dāng)x= 9時，函數(shù)有極大值，也是最大值.3. A 要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短，可見當(dāng)2. C512512如圖所示，設(shè)場地寬為x米，則長為 2米，因此新墻壁總長度L = 2x+ 5 (x>0),xx貝U L ' = 2 -罟x令 L ' = 0，得 x= ±16. /x>0，二 x= 16.512當(dāng)x = 16時，L極小值=Lmin = 64，此時堆料場的長為

9、"16"= 32(米).4. C 設(shè)底面邊長為a，直三棱柱高為 h. 體積 V =¥a2h，所以 h4Vl，4寸3a表面積 S= 2 43a2 + 3a 4=+ 4V，S' = . 3a-，由 S' = 0，得 a= 3 4V. a經(jīng)驗證，當(dāng)a= 34V時，表面積最小.5. D 設(shè)高為x cm，則底面半徑為,202 x2 cm, 體積 V = n (202 x2) (0< x<20),V' >0,當(dāng) x,20V' = 3(400 3x2)，由 V' = 0,得 x=篤弓或 x=- *3(舍去).當(dāng) x 0,

10、 ,V' <0,所以當(dāng)x=篤'3時,V取最大值.6. D 由題意，總成本為 c= 20 000 + 100x, 所以總利潤為p= r c；x2300x 2 20 0000< x< 40060 000 100xx>400300 x (0W x< 400 )100x>400'p' = 0,當(dāng) 0W XW 400 時，得 x= 300;當(dāng)x>400時，p' <0恒成立， 易知當(dāng)x= 300時，總利潤最大.7. 5解析 依題意可設(shè)每月土地占用費y尸?，每月庫存貨物的運費y2= k2x，其中x是倉庫到車站的距離.于是

11、由 2 =，得 ki = 20;由 8= 10k2，得 k2 = £105因此兩項費用之和為 y= 20+華，y' = 20 + 4,x 5x 55千米處時，兩項費用之和最小.令y =一 20 + 4= 0得x= 5（x= 5舍去），經(jīng)驗證，此點即為最小值點. x 5故當(dāng)倉庫建在離車站8. 1 : 1解析設(shè)窗戶面積為S,周長為S ,L=z 2x+2h=2x+ 2x+ S L由 L ' = 0，得 x=予,xL,則S= n2 + 2hx, h = 土-器 所以窗戶周長 =扌+ 2 一鳥2 x0,2Sn 4 '時，L ' <0,x爲(wèi)時，L'&

12、gt;0,時，L取最小值,所以當(dāng)x=2h 2S- nc2S n24x24此時x=F9. 3n+ 4n= i4解析設(shè)半徑為水桶的全面積27 n 272 =.n rS n2 丄 2 n 27 2 . 54n S(r)= n + 2ny =n + r .r，則高h(yuǎn)S'(r)= 2 n 542n,令 S' (r)= 0，得 r = 3.當(dāng)r = 3時，S(r)最小.10.解(1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n + 1)x= m,即 n = m 1 (0<x<m),x所以 y = f(x)= 256n + (n+ 1)(2 + x)x =256 m - 1 + 乎(2 + x)x2

13、56mx2m 256 (0<x<m).(2)由(1)知，f，(X) = 256m+2mx 1 =2H- 512).3令 f，(x) = 0,得 x3= 512，所以 x= 64.當(dāng)0<x<64時，f，(x)<0 , f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時，f，(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x= 64處取得最小值，此時n = m 1 =x640641 = 9.故需新建9個橋墩才能使y最小.11. 解 設(shè)商品降低x元時，多賣出的商品件數(shù)為kx2,若記商品在一個星期的銷售利潤為f(x)，則依題意

14、有2f(x)= (30 x 9) (432+ kx )=(21 x) (432 + kx2),又由已知條件 24= k 22,于是有k= 6,所以 f(x) = 6x3 + 126x2 432x+ 9 072, x 0,30.2根據(jù)(1)，有 f，(x) = 18x + 252x 432=18(x 2)(x12).當(dāng)x變化時，f(x)與f，(x)的變化情況如下表：x0,2)2(2,12)12(12,30f，(x)一0+0一f(x)/極小值、極大值/故x = 12時，f(x)達(dá)到極大值.因為 f(0) = 9 072, f(12)= 11 664,所以定價為 30 12 =18(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大.2 160X 10 00012. 解 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，則f(x)= (560 + 48x) +莎&=560+ 48x+10 800廠(X10,x N*),10 800f，(x) = 48 廠,令 f，(x) = 0 得 x= 15.當(dāng) x>15 時，f，(x)>0 ;當(dāng) 0<x<15 時，f，(x)<0.因此，當(dāng)x= 15時，f(x)取最小值f(15) = 2 000.所以為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為15層.” 一 1 ) 1 213.