河北省衡水中學(xué)2021屆全國(guó)高三第二次聯(lián)合考試(I)理科數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

1、絕密啟用前河北衡水中學(xué)2021屆全國(guó)高三第二次聯(lián)合考試(I )理科數(shù)學(xué)本試卷4頁(yè)?？偡?50分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2 .回答選擇題時(shí).選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需 改動(dòng),用橡皮擦干凈后.再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí).將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本 試卷上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。1 .已知集合 M=1|一” 2>o>,n = <2.O.1,2.

2、5)/iJ MP|N =A. 0,1B. (-2.5)C. -2,2,5D,0,1,22 .若貶數(shù)7 = 祟,則lz + l| =A. 25B. 7C. 5D. V53 .某校為更好地支持學(xué)生個(gè)性發(fā)展，開(kāi)設(shè)了學(xué)科拓展類、創(chuàng)新素質(zhì)類、興趣愛(ài)好類三種類型的 校本課程.每位同學(xué)從中選擇一門(mén)課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對(duì)該校6 000名學(xué)生的選課情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì). 如圖.并用分層抽樣的方法從中抽取2%的學(xué)生對(duì)所選課程進(jìn)行了滿意率調(diào)查.如圖.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.抽取的樣本容量為120B.該校學(xué)生中對(duì)興趣愛(ài)好類課程滿意的人數(shù)約為1 050C.若抽取的學(xué)生中對(duì)創(chuàng)新素質(zhì)類課程滿意的人數(shù)為36,則a =70D.該校學(xué)生中選擇學(xué)

3、科拓展類課程網(wǎng)人數(shù)為1 500 工丁一1 Wo,4 .若變量1,)，滿足約束:條件上干?0.則之=父+痣？的最大值為才 +23Ko.A. -B. V31C. 1D. V35 .已知貓 =(l.cosa) ,比=(2,0) .法 =(2.2sin a),若八三點(diǎn)共線,則tan a =A. -2B. -4C. 4D. 26 .如圖,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1 .小正方形的頂點(diǎn)稱為"格點(diǎn)。如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn) 部在格點(diǎn)上.則稱該多邊形為,4格點(diǎn)多邊形F899年奧地利數(shù)學(xué)家匹克（Pick）對(duì)格點(diǎn)多邊形 面積計(jì)算提出見(jiàn)克定理設(shè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部含彳I N個(gè)格點(diǎn).邊界上含有L個(gè)格點(diǎn),則該格點(diǎn) 多邊

4、形的面積S = N +，一】,在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自格點(diǎn)多邊形MNPQR 內(nèi)的概率為理科數(shù)學(xué)試題 第2頁(yè)，共，頁(yè)）7 .記S.為等差數(shù)列叫的前“項(xiàng)和，若“=3（右+3）,且j = 1,則八的公差為A. 一 2B. 0C. 2D. 48 .設(shè) a =1。以4 ,，= ln 2,c=tt",2 ,則A* aVbVcB, ZzVaVcC. c V/，VaD. c<ia <69 .某市在文化廣場(chǎng)舉辦'愛(ài)我家鄉(xiāng)，知我家鄉(xiāng)”活動(dòng).需要對(duì)廣場(chǎng)內(nèi)的部分休閑石梵進(jìn)行更換. 為響應(yīng)“厲行節(jié)約'的號(hào)召.市政公司打算舊物利用，將舊石凳打磨成球體，放置在附近的噴 泉池

5、中.已知舊石窕是由梭長(zhǎng)為40 cm的正方體經(jīng)各梭中點(diǎn)切'割下八個(gè)相同的四面體所得 如圖所示.則打磨后的球體半徑的最大值為A. 20 cmC. 2072 cmB,摩 cmJD. 20%/3 cm10 .三等分角是古希臘三大幾何問(wèn)政'之一,數(shù)學(xué)家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這 個(gè)問(wèn)題.如圖在圓D中，AB為其一條弦,NAD8=120°.CQ 是弦月B的兩個(gè)三等分點(diǎn). 以人為左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)作雙曲線7.設(shè)雙曲線T與瓠人8的交點(diǎn)為E,則NADE = .NADB=40°.若T的方程為U-菅=】（Q0）,則圓D的*徑為“a. 3aB選- 3C娓D電I 2II .已知函數(shù)

6、八）=§in 2z + sin（2/十A- /（T+j）=/（f-r）B. （一，0）是函數(shù)/Q）的一個(gè)對(duì)稱中心C.任取程/ C.r） = l的兩個(gè)根“門(mén),貝H n 一心I是n的整數(shù)倍D.對(duì)于任意:的n%£ 。.引./（jfi ）+/（1？）2/（孫）恒成立12.已知函數(shù)/Cr)=|2' - l| ,gQ-)= -J2jr + ll JQ)=/Q：)+g(z)+，則以下關(guān)于1的方程九（）=（4為整數(shù)）根的說(shuō)法正確的是A.當(dāng)歸=2時(shí)，方程有2個(gè)根B.當(dāng)4W4CH時(shí)，方程有4個(gè)根理科數(shù)學(xué)試強(qiáng)第4頁(yè)(共4頁(yè))C.當(dāng)夫=7時(shí)，方程所有根的和為1D.當(dāng)方程有兩個(gè)根時(shí),4=3/

7、輸沙/二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 .（1一5）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.14 .如圖.執(zhí)行該程序框圖，則輸出5的值為.15 .已知拋物線（：/ = 2a（力0）的焦點(diǎn)為F,直線/：2# + 2y /）= 0與拋物 線 C 交于 A,B 兩點(diǎn),且 IUF 1=1+1 AF|,則 | AB| =.16 .設(shè)函數(shù)/Q）滿足/（w）=a（j"Q）一ln 1），且/（1）= : .若不等式J） GT恒成立，則。的取值范圍是三、解答題：共7（）分。解答應(yīng)寫(xiě)出支李曉麗、證明過(guò)程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22.23題為選考題，考生根據(jù)要 求作

8、答。（一）必考題：共60分。17 . （12 分）如佟I在平面四邊形 ABCD 中，NA3c = 60'NBAD = N/3CD = 75°/3C = 2,CD=，M-詹連接AC.求3D；（2）設(shè) NBAC=a，NCAD=3,求半的值.sin戶18 . （12 分）N95型口罩.指可以對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑物理直徑為0.075 Mm±0.020以m的顆粒的過(guò)濾效 率達(dá)到095以上的口罩.疫情發(fā)生后，全國(guó)N95型口罩市場(chǎng)供應(yīng)緊缺,某醫(yī)療科技有限公司立 即擴(kuò)大產(chǎn)能,在原來(lái)人生產(chǎn)線的地礎(chǔ)上，增設(shè)B生產(chǎn)線.為疫情防控一線供應(yīng)醫(yī)用N95 口罩.為 了監(jiān)控口罩生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程.檢驗(yàn)員

9、每天需要從兩條生產(chǎn)線上分別隨機(jī)抽取口罩檢測(cè)過(guò)濾效 率.公司規(guī)定過(guò)濾效率大于0970的產(chǎn)品為一等品，并根據(jù)檢驗(yàn)員抽測(cè)產(chǎn)品中一等品的數(shù)量對(duì)兩 條生產(chǎn)線進(jìn)行評(píng)價(jià).下面是該檢驗(yàn)員某一天抽取的20個(gè)口罩的過(guò)濾效率值：A生產(chǎn)線口罩過(guò)濾效率序號(hào)12345678910過(guò)濾效率0.9580.9670.9640.9760.9560.9730.9650.9680.9720.9736生產(chǎn)線口罩.過(guò)濾效率序號(hào)12345678910過(guò)濾效率0.9780.9820.9740.9660.9760.9820.9770.9740.9760.972（1）根據(jù)檢驗(yàn)員抽測(cè)的數(shù)據(jù)完成下面的2X2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)

10、線與所生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品有關(guān)？生產(chǎn)線產(chǎn)品是一等品產(chǎn)品不是一等品總計(jì)A8總計(jì)(2)將檢驗(yàn)員抽測(cè)產(chǎn)品中一等品的頻率視為概率.從A1兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取 1件設(shè)X為其中一等品的代數(shù)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:K，= -I、(空 "二工 八，其中 + +c + 乩a-rb)c-rd)a+c)b+d) P（K - Q0.0500.0100.0013.8416.63510.82819 . （12 分）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,/GBA =g.SA =SQ = 2.E.F分別為SA,CD的中點(diǎn).(1)證明：DE平面SBF；(2)若SF = 2.求二面角八-

11、S/3-F的余弦值.20 . （12 分）已知入，2分別為橢圓C：-7十'=1(。>>0)的左、右焦點(diǎn),A為C的上頂點(diǎn).AF cr bAF，且的面積等于1.(1)求C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)A的直線八交C于另外一點(diǎn)Ma關(guān)于直線AFi對(duì)稱的直線為八，八交C于 另外一點(diǎn)N (異于點(diǎn),證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).21 . (12 分)已知函數(shù) fCx) = ejr xan r.(1)當(dāng)。=一1時(shí)，證明：/Q)>!一 1有解；(2)若對(duì)任意iS(l,+8),不等式/(%)4，恒成立.求實(shí)數(shù)0的取值范圍.(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

12、一題 計(jì)分.22 .選修4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)sin a* =蓊'(。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為y = sin a cos a勺極坐標(biāo)方程為pcos汨-2sin 0 = 0.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線g C公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).23.選修45：不等式選講(10分)已知函數(shù) /(jr)=k-l| + |x-3|.(1)求不等式f(i)>6的解集；(2)若實(shí)數(shù)a“滿足3a+4A=12,試比較11 一八”)與(。+ 1» +足的大小，并說(shuō)明理由.河北衡水中學(xué)2021屆全國(guó)高三第二次聯(lián)合考試（I ）理科數(shù)學(xué)M裳雪春等臬及解析河北衡水中學(xué)2021屆全國(guó)高三第

13、二次聯(lián)合考試（I ） 理科數(shù)學(xué)- 1率為11.52340,一、選擇題1. B【解析】由隨意得河=（工丘-1或父2,所以 Mr）N = -2.5）.2. C【解析】因?yàn)椤?出=4|書(shū)絲；= 2 + 4i.所以 2十 （2十 i）（21）|之 + 11 = |3+虱 | =5.3. C【解析】抽取的樣本容量為6 000X2% 120.故A 正確;該校學(xué)生中對(duì)興趣愛(ài)好類課程滿意的人數(shù)約為 6 0Q0X35%X50% = l 050,故B正確；根據(jù)題意，創(chuàng)新 素質(zhì)類課程的滿意率為6 ooox；：%x2%=75%” 75,故C錯(cuò)誤；該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù) 為 6 000X25% = l 50

14、0故 D 正確.IL -1&0.r十表示的平面 工+ 23- 1W0區(qū)域.如圖中陰影部分所示.最大，最大值為1.5. A【解析】由題意得法=前十而= （4.2sin。）.又 A,B,D三點(diǎn)共線，所以就/BD ,即一 2sin a = 4 cos a , 所以 tan a = - 2.6. D【解析】由題圖可得格點(diǎn)多邊形MNPQR內(nèi)的格 點(diǎn)數(shù)為10邊界上的格點(diǎn)數(shù)為5.故該格點(diǎn)多邊形的面 積S = 1L5 ,矩形A8CD的面積為20故在矩形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自格點(diǎn)多邊形MNPQR內(nèi)的概7. A【解析】因?yàn)?弓=匕產(chǎn)X6 = 3（a1+aQ,所以 La =以5 + 3 ,所以。2

15、=3 .因?yàn)?04 = 1= 3 + 24.所以/ = 一2.8,B【解析】因?yàn)?VaVl,0V6Vl,cl,且a=lo加4 logc2 4 = In 2=3 所以 VaO.9. A【解析】由對(duì)稱性可知該球體的球心與正方體的 中心重合,舊石靠相對(duì)的面共有兩類，一類是正方形，一 類是等邊三角形,若相對(duì)的面為正方形,則兩個(gè)面之間 的距肉為40 cm；若相對(duì)的面為等邊三角形.則兩個(gè)面 之間的距離為竽 cm,所以正方體的內(nèi)切球即為舊 石凳打器后的最大球體所以打磨后的球體半徑的最 大值為20 cm.10. C【解析】設(shè)雙曲線T的焦距為2c,惻D的半徑為 R.由題意可知1。4|二一|。0| = |5。|二

16、0.所以雙曲 線T的離心率為土 = 2所以c=2a.又c2=azrb a所以.所以|AB|=3呢,在ADB中， £|ABIZADB = 1200,貝I I DA I = R =.=76.31D 6011. D【解析】由題意可得八幻=痣sin（21+ /）+1, 則直線工=?不是莫圖象的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?圖象整體向上平移了一個(gè)單位K度，所以對(duì)稱中心也 向上平移了一個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)（一三，1）是其對(duì)稱中 心故B錯(cuò)誤;任取方程/（.r） = l得到的兩個(gè)根，它們 彼此之間相差的應(yīng)該是方的整數(shù)倍,故C錯(cuò)誤；當(dāng) hW 0寸時(shí)，（2工+專卜此時(shí)f（工）的 最小值為噂十1.最大值為有十l.所以

17、對(duì)于任意的 .72，工3 e 0.： “/】）+ /（72）2行 + 2西 + 】2/（g）恒成立.故D正確.理科數(shù)學(xué)參考答案及解析 3三.解答題17.解：(1)在ABCQ中,由余弦定理.得 BD2 = BC2+CDZ-2BC , CDcos 75即 BD- =4+(76 -72 )2 -4 X(V6 -42 ) X所以BD = 2.(2)解法1,在BCD中.由正弦定理，得CDHDsin/CBE) -sin 75”4.（4分）kll時(shí)，方程有三個(gè)根；當(dāng)k=7時(shí)方程有三個(gè)根 F ,%2，八（4 VeTy），其中工）+工2 = 2口3=3, 所以所有根的和為1；當(dāng)方程有兩個(gè)根時(shí)，火=3或 

18、3; = 12.二、填空題所以 sinZCBD =CD sin 7501BD（6分）因?yàn)?0°<NCBD<600.所以 NCBD = 30°.所以 NA3D = 30°.又因?yàn)镹BAD = NBCD,所以 aABD 絲 ZSCBD,13.15【解析】（1一5的通項(xiàng)為所以 AB = BC./ABC = 6O0.所以八BC為等邊三角形（10 分）14.（一=- 令 6 3r = 0得 r = 2 .所以常數(shù)項(xiàng)為。=戢=15.8 194【解析】由題意知，§ = 1X2 + 2X22十十9X 2°,由錯(cuò)位相減法得5 = 8 194.所以a

19、= 6trB=151所以sin a 3 ,歷+盤(pán)sin B(12 分)15."【解析】易知紅線/過(guò)點(diǎn)尸（方，0）,且傾斜角為1350,如圖，設(shè)M.N分別為A.B在雅線上的射影,作 AH_LBN,垂足為 H,則/ABH=45°.|3F|-|AFl = |6N|一|AMI = |BH|=1 .所以八3|=四.18.16.8./解析由/(1) =.r(/，(£)In 1) 得) / ( jt ) = xln £(/>0)所以釣'解法 2：在ZXACD 中./ADC = 150°.由正弦定理，得ACCDsin/ADC sin R即AC =

20、 ：X叵子.Z sin i同理.在ABC中2sin a，ACBC'sin/AbC sin a所以梟7 Tx上,2 sin p 2 stn aEP4nasin（6分）.即八c = *x（8分）生上N。）令x（工） 1D.則 /（公=叱（戈0） .當(dāng) OViVl 時(shí).g'CrX xxO,gCr）在區(qū)間（0,1）上是減函數(shù);當(dāng)重1時(shí)，/（/）0,gQ）在區(qū)間（l, + oo）上是增函數(shù).所以g=八1）=。,所以.因?yàn)?Ojn對(duì) Ix ZVie（0,+8）恒成立所以a的取值范圍是（12 分）生產(chǎn)線產(chǎn)品為一等品產(chǎn)品不是一等品總計(jì)A4610B9110總計(jì)13720解：（1）由題意得列聯(lián)表二

21、12 Mgsk ,20X(4Xl-9X6)2所以A的觀瀏值'=10X10X13X75.495>3,841,（2分）500-r* Q91所以有95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)線與所生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品有關(guān).（5分）（2）從4生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的10只口罩中,過(guò)渡效率大 于6970的產(chǎn)品有4只；河北衡水中學(xué)2021屆全國(guó)高三第二次聯(lián)合考試（I ）理科數(shù)學(xué)石）,X5=（點(diǎn)，一.0）,薩=（8分）從8生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的10只口罩中,過(guò)速效率大于: 0.970的產(chǎn)品有9只jj所以可以據(jù)此推斷A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品是一等品的i 概率為0.4,B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品是一等品的概率為0.9.（7分）I隨機(jī)變量X的所有可能取

22、值為0,1.2,|P（X = O）=O,6X（M=O,O6,P（X = 1）=0.4X0.1+0.6X0.9 = 0.58,P（X = 2） = 0.4X0,9 = 0.36<（10 分）所以X的分布列為X012P0.060.580.36則 S（0,0,痣3A（0.-1.0）.3G/T、-2.0）,F （考” ）設(shè)平面SAB的一個(gè)法向;5為血=（為.yi ,Ni）,m 3s =-疝到+2*+.G之=0,則 Flm »】=0.令 X l =】,則 3 I =屈, N I = - 1 設(shè)平面SBF的一個(gè)法向量為/! = （.>”2，之2）9（10 分） 5 E（X） = 0X

23、0.06+IX0.58+2X0.36= 1.3.（12 分）19. （1）證明：如圖,連接BF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，連接SG.n 3S = 一有工2+2,2+療必=0 薩=一亨,=+怖丫2=0，人 1H.1"3令孫=1,則W=T，/2 =:（10 分）m - n v 185月T以 cos</n <n> = -jj-j-r=- o, i m I I w I 37因?yàn)榈酌鍭 BCD為菱形, F為CO的中點(diǎn) 所以AG = 2AD.又E為SA的中點(diǎn)所以DESG.因?yàn)镾GU平面SBF.DEU平面SSF, 所以DE平面SBF.（2）解：設(shè)AD的中點(diǎn)為O,連接SO.OP.

24、OC.因?yàn)?SA = SD = 2=AD,所以 SO_LAD.SO=VL 因?yàn)镺.F分別為AD.CD的中點(diǎn)所以O(shè)F=1.:因?yàn)?SF = 2.SO="所以 SO±OF.|因?yàn)?ADD OF = O. ADU 平面 ABCD,OFU 平面: A BCD.所以S（）J_平面ABCD,5分）;所以SO.CX：,AD三條直線兩兩垂直.|以。為坐標(biāo)原點(diǎn).分別以比，加,OS的方向?yàn)閖 z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以二面角A'SBF的余弦值為上等. W /（12 分）（3分）（4分）（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，因?yàn)?SAFjFj= 1.所以 a=42.（2 分）

25、乂）=0 ,且以2=+.2 .所以）=C = 1所以橢圓C的方程為§ + / = 1.（4分）（2）證明：由（D知A（0,1設(shè)MG，w）,N（W2,1 ：）=員|1 + 1,2：、 = 621 + 1，y=kx + l.所以乃得（1 + 2/），+4%工=0.“2 = 1 -4R11十2抬1-2儲(chǔ)1十267（6分）因?yàn)槿伺c心關(guān)于直線3=工+ 1對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)后到直線。的距肉為小，到直線I,的距離為di ,所以%=di 得力142 = 1,（8分）-ik k2訐不？山=訐針?lè)恳?2 一2M 儲(chǔ)+ 2-1 + 2代狀+1_qAi _ - 4Al k 抬+211 + 28理科數(shù)學(xué)參考答案及解析

26、所以直線MN的方程為y 一:冬=一甲（彳+ 1十Z和K IMi 1+44（1+儲(chǔ)）1 + 2*1 ） = 一"元"1 + 2儲(chǔ)'所以a、一e.即實(shí)數(shù)a的取值范用是一©.十8）.（12分）22.蔚式1）由題意如，曲線C2的極坐標(biāo)方程為pcos2 一 2sin 6 = 0, 7 即 p? ccT 0 2Psin 0 = 0 .（2）曲線G的參數(shù)方程為<所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（03）.（12分）21.（1）證明：當(dāng)。=一1 時(shí),義工）=。-，一工+-，（4>。）,則 /'（%） = e 1 +=七=寧色.（1 分）XNQ”令 g<”）= H -.r-xe（.r>0） .（2 分）貝ij g，（x） = er-l-（.r4-l）er = -j'eT-l<0. （3 分） 又 &l