大一下學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷及答案

1、大一第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷一、填空題（本題滿(mǎn)分 15 分，共有 5 道小題，每道小題 3 分），請(qǐng)將合適的答案填在空中。1、已知球面的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為程為_(kāi) 2， 3， 5 和4， 1，3 ，則該球面的方2、函數(shù)u數(shù)為ln( xy 2z2 ) 在點(diǎn)a(1,0,1) 處沿點(diǎn) a 指向點(diǎn)b (3,2, 2)方向的方向?qū)?、曲面zx2y2 與平面 2 x4 yz0 平行的切平面方程為4、lim(1cos( x2y2 )sin xy22( x, y )(0,0)(x2y2 )2 exy2 z5、設(shè)二元函數(shù) zxy2x3y ，則 x y二、選擇填空題（本題滿(mǎn)分 15 分，共有 5 道小題，每道

2、小題 3 分）。以下每道題有四個(gè)答案， 其中只有一個(gè)答案是正確的， 請(qǐng)選出合適的答案填在空中， 多選無(wú)效。1、旋轉(zhuǎn)曲面 x2y 2z21 是（）（ a） xoz坐標(biāo)面上的雙曲線繞 ox 軸旋轉(zhuǎn)而成；（ b） xoy 坐標(biāo)面上的雙曲線繞 oz軸旋轉(zhuǎn)而成；（ c） xoy 坐標(biāo)面上的橢圓繞 oz軸旋轉(zhuǎn)而成；（ d） xoz坐標(biāo)面上的橢圓繞 ox軸旋轉(zhuǎn)而成2、微分方程 yy2 x cos x3x 2 的一個(gè)特解應(yīng)具有形式 （）其中 a1 ,b1 , a2 , b2 , d1 , d 2 ,d 3 都是待定常數(shù) .(a).x( a1 xb1 ) cosxx(a2 xb2 ) sin xd x2 ;1(

3、b).x( a1 xb1) cos xx( a2 xb2 ) sin xd1 xd2 xd 3 ;2(c).x( a1xb1 )( a2cos xb2 sin x)d1 xd 2 xd3 ;(d).x( a1 xb1 )(cos xsin x)d x 2d 2 xd 33 、 已知直線l : x2y122z1與平面: x2 y2z4 , 則 （）(a).l 在內(nèi);(b).l 與 不相交;(c).l 與正交;(d).l 與 斜交.4 、下列說(shuō)法正確的是（）rrrr(a) 兩向量 a 與b 平行的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使得 ba ；(b) 二元函數(shù) zf x , y2 z的兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)2x,

4、z 在區(qū)域 d 內(nèi)連續(xù)，則在該22y2區(qū)域內(nèi)兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)必相等；(c) 二元函數(shù) zf x , y的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x0 , y0處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微的充分條件；(d) 二元函數(shù) z的必要條件 .f x , y 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x0 , y0處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微25、設(shè) zf (2xy, x2y), 且 fc （2即函數(shù)具有連續(xù)的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)） ，則zx y（）(a)2 f 112 f 223 f 12 ;(b)2 f 11f 22(c)2 f 11f 225 f12 ;(d)2 f 112 f 22三、計(jì)算題（本大題共29 分）1、（本題 13 分） 計(jì)算下列微分方程的通解。(1)

5、（ 6 分） y1xy 2xy2(2) （ 7 分） y3y2 yxe2x3 f12 ;f12 .2、（ 本題 8 分） 設(shè) zuv 2t cosu ， uet ， vlnt ，求全導(dǎo)數(shù)dz 。dt3、（本題 8 分） 求函數(shù) fx, ye2x xy 22 y 的極值。四、應(yīng)用題 （本題 8 分）1 、 某工廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的 機(jī)床，其產(chǎn) 量分 別為 x 臺(tái)和 y 臺(tái)， 成本函數(shù)為c( x,y)x 22 y 2xy （ 萬(wàn)元），若市場(chǎng)調(diào)查分析，共需兩種機(jī)床 8 臺(tái)，求如何安排生產(chǎn)使其總成本最少最小成本為多少五、綜合題（本大題共 21 分）yz11、（ 本題 10 分） 已知直線 l1 ： bcx

6、0平面方程 x z1， l2 ： acy 0， 求過(guò)l1 且平行于l 2 的2 、 （ 本 題11分 ） 設(shè) 函 數(shù)f (x, y, z)ln xln y3lnz 在 球 面x2y2z25r2 ( x0, y0, z0) 上求一點(diǎn)，使函數(shù)f (x, y, z) 取到最大值六、證明題（本題共 12 分）1、設(shè)函數(shù) uxk fz , xy， 其中 k 是常數(shù) ， 函數(shù) f 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)試x證明: xuyuzuxyzkxk fz ,yxx第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷答案22一、 填空題（本題滿(mǎn)分 15 分，共有 5 道小題，每道小題 3 分）21. 、x32 、 1 2y1z1213、2 x

7、4、05、 2 y4 yz3 x2 ；50 二、選擇填空題（本題滿(mǎn)分 15 分，共有 5 道小題，每道小題 3 分）1（ a）2（ b）3（ c）4（ c）5（ a）三、計(jì)算題（本大題共 29 分）1、（ 1） 解：將原微分方程進(jìn)行分離變量，得：dy1y2(1x) dx上式兩端積分得dyarctan y(1x)dxxxc21y222即 ：arctan yxx2c 其中 c 為任意常數(shù)（ 2）解：題設(shè)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r 23r20, 特征根為 r11,r22, 于是，該齊次方程的通解為yc1xc e2x , 因2 是特征方程的單2根， 故 可 設(shè)題 設(shè)方 程 的 特 解： y*x(

8、b0 xb1 )e2 x .代 入題 設(shè)方 程, 得2b0 xb12b0x, 比較等式兩端同次冪的系數(shù) , 得 b01,b11,2于是，求得題沒(méi)方程的一個(gè)特解y*x( 1 x 21)e2 x .從而，所求題設(shè)方程的通解為yc1exc2e2 xx(1 x21)e2x .2、解：zuuv 2ut cosuv2t sin u ，zuv2vvt cosu2uv ，zcosu t依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，全導(dǎo)數(shù)為dzzdtuv 2duzdtvt sin u etdvzdtt12uvtdt dtcosu 1ln 2 tt sin et et2 et tln tcosetfx, ye2 x 2 x2 y 24 y

9、10x3、解：解方程組，得駐點(diǎn)1 , 1。由于f y x, ye 2x 2 y202af xxx, y2x4ex2y2 y1 ， bf xy xy4e2 xy1 ，cf yyx, y2e2 x在 點(diǎn) 1 ,21 處，a2e0 ，b0 ，c2e，acb 24e 2 ，所以函數(shù)在點(diǎn)1 , 12處取得極小值，極小值為f1 ,1e 。22四、應(yīng)用題 （本題 8 分）1、解：即求成本函數(shù) c x,y 在條件 xy8 下的最小值構(gòu)造輔助函數(shù)f x,yx22 y 2xy(xy8)解方程組fx2xy0fyx4 y0fxy80解得7, x5, y3這唯一的一組解，即為所求，當(dāng)這兩種型號(hào)的機(jī)床分別生產(chǎn)5 臺(tái)和 3

10、 臺(tái)時(shí)，總成本最小，最小成本為：c(5,3)522325328 （ 萬(wàn)）五、綜合題（本大題共 21 分）1、 解：直線 l1 與l 2 的方向向量分別為s10，1 ， 1 bc1， 0， 00， 1 ，1，cb2s1 ， 0，1 ac0， 1， 01 ， 0， 1，ca作ns1s21 ，1 ，1，cabcc2取直線l1 上的一點(diǎn)p1 0， 0， c，則過(guò)點(diǎn)p1 且以 n1 ，1 ，cabc1為法向c2量的平面 xayz10 ，bc就是過(guò)l1且平行于l 2 的平面方程2、解：設(shè)球面上點(diǎn)為 (x, y, z) 令 l( x, y, z,)ln xln y3ln z( x2y2z25 r2 ) ，l12 x0,l12y0, l12z0, lx2y2z25r20xyzxy3 z由前三個(gè)式子得 x22y2z，代入最后式子得xyr, z3r 由題意得f ( x,y, z)3在球面上的最大值一定存在，因此唯一的穩(wěn)定點(diǎn)( r, r,3r) 就是最大值點(diǎn)，最大值為f ( r, r,3r)ln(33r5) 六、證明題（本題共 12 分） 1、證明：u xkxkkxk 1 fz ,x1fz ,yxxy xzxkxk fz ,y1xxf2zy1,xxz x2yxkx