物理學(xué)簡(jiǎn)明教程馬文蔚第1至7章課后習(xí)題答案詳解

1、1 -1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng) ,在時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)的位矢為 r,速度為 v , 速率為 v,t 至(t t) 時(shí)間內(nèi)的位移為 r, 路程為 s, 位矢大小的變化量為 r ( 或稱 r),平均速度為 v ,平均速率為 v (1) 根據(jù)上述情況 ,則必有 ()(a) r = s = r(b) rs r ,當(dāng)t 0 時(shí)有 dr = ds rd(c) rrs,當(dāng)t 0 時(shí)有 dr = dr sd(d) r s r ,當(dāng)t 0 時(shí)有 dr = dr = ds(2) 根據(jù)上述情況 ,則必有 ()(a) v =v , v =v(b) v v , v v(c) v =v , v v(d) v v , v =v分析與解

2、(1) 質(zhì)點(diǎn)在 t 至(t t) 時(shí)間內(nèi)沿曲線從p 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 p點(diǎn), 各量關(guān)系如圖所示 , 其中路程 s pp,位移大小 r pp而,r r- r表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等 (注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能) 但當(dāng) t0時(shí),點(diǎn)p無限趨近p點(diǎn),則有 dr ds,但卻不等于 dr故選 (b) rs(2) 由于 r s,故,即 v v tt但由于 dr ds,故 drds ,即 v v 由此可見 ,應(yīng)選 (c) dtdt1 -2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處 ,對(duì)其速度的大小有四種意見 ,即dr(1)dtd r； (2)dt；(3)2ds

3、； (4)dxdtdt2dydt下述判斷正確的是()(a)只有 (1)(2) 正確(b)只有 (2)正確(c) 只有 (2)(3) 正確(d)只有 (3)(4) 正確dr分析與解表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,在極坐標(biāo)dt系中叫徑向速率通常用符號(hào)vr表示 ,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量； dr 表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式dtdsv計(jì)算 ,在dt直角坐標(biāo)系中則可由公式v2dxdydtdt2求解故選 (d) 1 -3一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則有 ()(a) 切向加速度一定改變 ,法向加速度也改變(b) 切向加速度可能不變 ,法向加速度一定改變(c) 切向加速度可能不

4、變 ,法向加速度不變(d) 切向加速度一定改變 ,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量 a 起改變速度大小的作用,而法向分量 an 起改變速度方向的作用質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的至于a是否改變 ,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), a 恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), a 為一不為零的恒量 , 當(dāng)a 改變時(shí) ,質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng)由此可見,應(yīng)選 (b) 1 -4質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 x10t30t 2 和 y15t20t 2 ，式中 x,y 的單位為 m,t 的單位為。試求：(1)初速度的大小和方向

5、；(2)加速度的大小和方向分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為xvdxdt1060tyvdydt1540t當(dāng)t 0 時(shí), vox -10 m · -1 , voy 15 m · -1 ,則初速度大小為2v0v0 x2v 0 y18.0 m s 1設(shè)vo與x 軸的夾角為 則,tanv0 y3v0 x2 123 ° 41(2) 加速度的分量式為adv xxdt60 m s 2,aydv ydt40 m s 2則加速度的大小為a22axay72.1 m s 2設(shè)a 與x 軸的夾角為 ,則ay

6、2tan ax3 -33° 41或3(26 ° 19)1 -5質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng) ,加速度 a 4 - t2 ,式中 a的單位為 m· -2 ,t的單位為如果當(dāng) t 3時(shí) ,x9 m,v 2 m· -1 ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決由dva和 vdtdx 可 得 dvdtadt 和dxvdt 如aa( t)或v v( t),則可兩邊直接積分 如果a 或v不是時(shí)間 t 的顯函數(shù) ,則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分解由分析知 ,應(yīng)有vtdvv 00adt得v4t1

7、t3v03(1)x由dxx0tvdt0得x2t 21 t412v0tx0(2)將t 3時(shí),x 9 m,v 2 m· -1代入 (1)(2) 得v 0 -1 m · -1,x0 0.75m于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為x2t 21 t 4120. 751 -6飛機(jī)以 100 m · -1的速度沿水平直線飛行 ,在離地面高為 100 m時(shí),駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問：(1) 此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知 ,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上

8、運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件 ,即可求解此外 ,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速度為求特定時(shí)刻 t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角 或由圖可知 ,在特定時(shí)刻 t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角 , 可由此時(shí)刻的兩速度分量vx 、vy求出 ,這樣 ,也就可將重力加速度 g 的切向和法向分量求得解(1)取如圖所示的坐標(biāo) ,物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x vt,y 1/2 gt2飛機(jī)水平飛行速度v 100 m·s-1 ,飛機(jī)離地面的高度y 100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離

9、xv2 y g452 m1 -7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 r 的圓周按規(guī)律常量 (1) 求t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度。sv0t1 bt 2 運(yùn)動(dòng) ,v02、b 都是分析在自然坐標(biāo)中 ,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)由給定的運(yùn)動(dòng)方程 s s(t),對(duì)時(shí)間 t 求一階、二階導(dǎo)數(shù) ,即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和加速度的切向分量 a ,而加速度的法向分量為an v2 / r這樣 ,總加速度為 aa e anen至于質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)間內(nèi)通過的路程 ,即為曲線坐標(biāo)的改變量 sst -s0因圓周長(zhǎng)為 2r,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得解(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為vds dtv0bt其加速度的切向分量和法向分量分別為d

10、2 s2v(vbt ) 2atdt 2b ,an0rr故加速度的大小為a22aata b(v220rntbt)4其方向與切線之間的夾角為a(vbt)2 arctan natarctan0rb1 -8一升降機(jī)以加速度1.22 m·-2上升 ,當(dāng)上升速度為 2.44 m ·-1時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74 m 計(jì)算：(1) 螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；(2) 螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下,一種處理方法是取地面為參考系 ,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng)

11、 ,列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1 y1(t)和y2 y2( t),并考慮它們相遇 ,即位矢相同這一條件 ,問題即可解；另一種方法是取升降機(jī) (或螺絲 )為參考系 ,這時(shí),螺絲 (或升降機(jī) )相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是, 此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度升降機(jī)廂的高度就是螺絲( 或升降機(jī) )運(yùn)動(dòng)的路程解1(1) 以地面為參考系 ,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為yv t1 at 210y2hv0t21 gt 22當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1 y2 ,即v0t1 at 22hv0t1 gt22t2h0.705 sga(2) 螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為dhy2v 0t1 g

12、t 220.716 m解2(1) 以升降機(jī)為參考系,此時(shí) ,螺絲相對(duì)它的加速度大小a g a,螺絲落至底面時(shí) ,有0h1 ( g2a)t 2t2h0.705 sga(2) 由于升降機(jī)在 t 時(shí)間內(nèi)上升的高度為hv0t1 at 22則dhh0.716 m1 -9一無風(fēng)的下雨天 ,一列火車以 v1 20.0 m· -1 的速度勻速前進(jìn) ,在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降求雨滴下落的速度v 2 (設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參考系 ,火車為動(dòng)參考系 v1 為 相對(duì) 的速度 ,v 2 為雨滴相對(duì)的速度 ,利用相對(duì)運(yùn)

13、動(dòng)速度的關(guān)系即可解解以地面為參考系 ,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為 v1 ,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2為相對(duì)速度 ,它們之間的關(guān)系為 v 2'v 2v1(如圖所示 ),于是可得v1v2tan 75o5.36 m s 11 -10 如圖 (a)所示 ,一汽車在雨中沿直線行駛 ,其速率為 v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前 角,速率為 v2若,車后有一長(zhǎng)方形物體 ,問車速 v 1為多大時(shí) ,此物體正好不會(huì)被雨水淋濕？分析這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象,地面為靜參考系 ,汽車為動(dòng)參考系 如圖 (a)所示 ,要使物體不被淋濕 ,在車上觀

14、察雨點(diǎn) 下 落 的 方 向 ( 即 雨 點(diǎn) 相 對(duì) 于 汽 車 的 運(yùn) 動(dòng) 速 度 v 2的 方 向 ) 應(yīng) 滿 足 arctan lh再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系v2v 2v1 ,即可求出所需車速v 1解由 v 2v 2v1 圖 (b) ,有 arctan v1v2sin 而要使 arctan l , 則hv 2cosv1v 2sin l v2coshv1v2lcos hsin 1 -11用水平力 fn 把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止當(dāng) fn 逐漸增大時(shí) ,物體所受的靜摩擦力 f f的大小 ()(a) 不為零 ,但保持不變(b) 隨f n成正比地增大(c) 開始隨 f n增大 ,達(dá)到某

15、一最大值后,就保持不變(d) 無法確定分析與解與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值f n范圍內(nèi)取值當(dāng) f n增加時(shí) ,靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等 ,方向相反 ,并保持不變 ,故選 (a) 1 -12一段路面水平的公路 ,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為 r,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為 ,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率()(a) 不得小于gr(b) 必須等于gr(c) 不得大于gr(d) 還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定分析與解 由題意知 ,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng) ,為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)

16、不側(cè)向打滑 ,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供 ,能夠提供的最大向心力應(yīng)為 f n由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為 vrg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值 ,均能保證不側(cè)向打滑應(yīng)選 (c) 1 -13 一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑 ,在下滑過程中 , 則( )(a) 它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心 ,其速率保持不變(b) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(c) 它受到的合外力大小變化 ,方向永遠(yuǎn)指向圓心(d) 它受到的合外力大小不變 ,其速率不斷增加分析與解由圖可知 ,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力fn作用 ,其合外力方向并非指

17、向圓心, 其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)重力的切向分量 (m gcos ) 使物體的速率將會(huì)不斷增加 (由機(jī)械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力( 又稱 法 向 力 ) 將 不 斷 增 大 , 由 軌 道 法 向 方 向 上 的 動(dòng) 力 學(xué) 方 程v 2fnmgsin m可判斷 ,隨 角的不斷增大過程 ,軌道支持力 fn也將不r斷增大 ,由此可見應(yīng)選 (b) 1 -14 圖(a) 示系統(tǒng)置于以 a 1/4 g 的加速度上升的升降機(jī)內(nèi) ,a 、b 兩物體質(zhì)量相同均為 m,a 所在的桌面是水平的 ,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì) , 若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦 ,并不計(jì)空氣阻力 ,則繩中張力為

18、 ( )(a) 5/8 mg(b) 1/2 mg(c) mg(d) 2 mg分析與解本題可考慮對(duì) a 、b兩物體加上慣性力后,以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解 此時(shí) a 、b 兩物體受力情況如圖 (b)所示 ,圖中 a為a 、b兩物體相對(duì)電梯的加速度,ma為慣性力對(duì)a 、b 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得 f 5/8 mg故選 (a) 討論 對(duì)于習(xí)題 1 -14 這種類型的物理問題 ,往往從非慣性參考系 (本題為電梯 )觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確 ,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系 , 故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí) ,必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度 aa

19、 和ab 均應(yīng)對(duì)地而言 ,本題中 aa和ab 的大小與方向均不相同其中aa應(yīng)斜向上對(duì) aa 、 ab 、 a 和a 之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解過程較繁有興趣的讀者不妨自己嘗試一下1 -16一質(zhì)量為 m 的小球最初位于如圖 (a)所示的 a 點(diǎn),然后沿半徑為 r 的光滑圓軌道 adcb 下滑試求小球到達(dá)點(diǎn)c時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用 力分析該題可由牛頓第二定律求解在取自然坐標(biāo)的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度a ,與其相對(duì)應(yīng)的外力f 是重力的切向分量mgsin,而與法向加速度an 相對(duì)應(yīng)的外力是支持力fn 和重力的法向分量mgcos由此 ,可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程f mdv/

20、dt和fn man 由于小球在滑動(dòng)過程中加速度不是恒定的,因此 ,需應(yīng)用積分求解 ,為使運(yùn)算簡(jiǎn)便 ,可轉(zhuǎn)換積分變量倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡(jiǎn)便但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力解小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到重力p 和圓軌道對(duì)它的支持力f n 取圖 (b)所示的自然坐標(biāo)系 ,由牛頓定律得ftmgsin m dv(1)dtfnfnmgcos mv 2mr(2)由 vds dtrd,得 dtdtr d,代入式 (1), 并根據(jù)小球從點(diǎn) a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) cv的始末條件 ,進(jìn)行積分 ,有vvdvorg sin dv090得v則小球在點(diǎn) c 的角速

21、度為2rgcos v2gcos/ r r由式 (2)得fnmmv 2rmgcos3mgcos 由此可得小球?qū)A軌道的作用力為fn負(fù)號(hào)表示 f n 與en 反向fn3mgcos1 -17 光滑的水平桌面上放置一半徑為 r 的固定圓環(huán) ,物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng) ,其摩擦因數(shù)為 ,開始時(shí)物體的速率為 v0 ,求： (1) t 時(shí)刻物體的速率； (2) 當(dāng)物體速率從 v 0減少到 1/2 v0時(shí),物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過的路程分析運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而 ,可先分析動(dòng)力學(xué)問題物體在作圓周運(yùn)動(dòng)的過程中,促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的是圓 環(huán)內(nèi)側(cè)對(duì)物體的支持力fn 和環(huán)與物體之間的摩擦

22、力f ,而摩擦力大小與正壓力 fn 成正比 ,且f n 與fn又是作用力與反作用力,這樣 ,就可通過它們把切向和法向兩個(gè)加速度聯(lián)系起來了,從而可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和 路程解(1) 設(shè)物體質(zhì)量為 m,取圖中所示的自然坐標(biāo),按牛頓定律 ,有fnmanffmatmv2rdv dt由分析中可知 ,摩擦力的大小 f fn ,由上述各式可得2vdvrdt取初始條件 t 0 時(shí)v v 0 ,并對(duì)上式進(jìn)行積分,有2t dtrv dv0 v 0 vvrv0rv0t(2) 當(dāng)物體的速率從v 0 減少到 1/2v 0時(shí),由上式可得所需的時(shí)間為trv0物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程tvsdt0trv0dt0

23、rv0tsr ln 22 -1對(duì)質(zhì)點(diǎn)組有以下幾種說法：(1) 質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無關(guān)；(2) 質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)能的改變與內(nèi)力無關(guān)；(3) 質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能的改變與保守內(nèi)力無關(guān) 下列對(duì)上述說法判斷正確的是()(a)只有 (1) 是正確的(b) (1) 、(2)是正確的(c) (1) 、(3)是正確的(d) (2) 、(3) 是正確的分析與解在質(zhì)點(diǎn)組中內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的, 它們是作用力與反作用力由于一對(duì)內(nèi)力的沖量恒為零,故內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量但由于相互有作用力的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移大小以及位移與力的夾角一般不同,故一對(duì)內(nèi)力所作功之和不一定為零,應(yīng)作具體分析 ,如一對(duì)彈性內(nèi)力的功的代數(shù)和一般為零 ,一對(duì)

24、摩擦內(nèi)力的功代數(shù)和一般不為零,對(duì)于保守內(nèi)力來說,所作功能使質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換,因此保守內(nèi)力即使有可能改變質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能, 但也不可能改變質(zhì)點(diǎn)組的機(jī)械能綜上所述(1)(3) 說法是正確的故選 (c)2 -2 有兩個(gè)傾角不同、高度相同、質(zhì)量一樣的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的 ,有兩個(gè)一樣的物塊分別從這兩個(gè)斜面的頂點(diǎn)由靜止開始滑下 , 則 ( )(a) 物塊到達(dá)斜面底端時(shí)的動(dòng)量相等(b) 物塊到達(dá)斜面底端時(shí)動(dòng)能相等(c) 物塊和斜面 (以及地球 )組成的系統(tǒng) ,機(jī)械能不守恒(d) 物塊和斜面組成的系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒分析與解 對(duì)題述系統(tǒng)來說 ,由題意知并無外力和非保守內(nèi)力作功 ,故系統(tǒng)

25、機(jī)械能守恒物體在下滑過程中 ,一方面通過重力作功將勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能 , 另一方面通過物體與斜面之間的彈性內(nèi)力作功將一部分能量轉(zhuǎn)化為斜面的動(dòng)能 ,其大小取決其中一個(gè)內(nèi)力所作功由于斜面傾角不同,故物體沿不同傾角斜面滑至底端時(shí)動(dòng)能大小不等動(dòng)量自然也就不等(動(dòng)量方向也不同 )故(a)(b)(c) 三種說法均不正確至于說法 (d) 正確 ,是因?yàn)樵撓到y(tǒng)動(dòng)量雖不守恒( 下滑前系統(tǒng)動(dòng)量為零 ,下滑后物體與斜面動(dòng)量的矢量和不可能為零由此可知,此時(shí)向上的地面支持力并不等于物體與斜面向下的重力),但在水平方向上并無外力 ,故系統(tǒng)在水平方向上分動(dòng)量守恒2 -3如圖所示 ,質(zhì)量分別為 m1 和m2 的物體 a 和b,

26、置于光滑桌面上,a 和b 之間連有一輕彈簧另有質(zhì)量為m1 和 m2 的物體 c 和d分別置于物體 a 與b 之上 ,且物體 a和c、b 和d之間的摩擦因數(shù)均不為零首先用外力沿水平方向相向推壓a 和b,使彈簧被壓縮 ,然后撤掉外力 ,則在 a和b 彈開的過程中 ,對(duì)a、b、c、d 以及彈簧組成的系統(tǒng) ,有()(a)動(dòng)量守恒 ,機(jī)械能守恒(b)動(dòng)量不守恒 ,機(jī)械能守恒(c) 動(dòng)量不守恒 ,機(jī)械能不守恒(d)動(dòng)量守恒 ,機(jī)械能不一定守恒分析與解由題意知 ,作用在題述系統(tǒng)上的合外力為零,故系統(tǒng)動(dòng)量守恒 , 但機(jī)械能未必守恒 ,這取決于在 a 、b 彈開過程中 c 與a 或d 與b 之間有無相對(duì)滑動(dòng) ,

27、如有則必然會(huì)因摩擦內(nèi)力作功,而使一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能, 故選(d) 2 -4如圖所示 ,子彈射入放在水平光滑地面上靜止的木塊后而穿出以地面為參考系 ,下列說法中正確的說法是()(a) 子彈減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)槟緣K的動(dòng)能(b) 子彈-木塊系統(tǒng)的機(jī)械能守恒(c) 子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服木塊阻力所作的功(d) 子彈克服木塊阻力所作的功等于這一過程中產(chǎn)生的熱分析與解子彈 -木塊系統(tǒng)在子彈射入過程中,作用于系統(tǒng)的合外力為零,故系統(tǒng)動(dòng)量守恒 ,但機(jī)械能并不守恒這是因?yàn)樽訌椗c木塊作用的一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和不為零( 這是因?yàn)樽訌棇?duì)地位移大于木塊對(duì)地位移所致), 子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服阻力所作功,子彈減

28、少的動(dòng)能中,一部分通過其反作用力對(duì)木塊作正功而轉(zhuǎn)移為木塊的動(dòng)能,另一部分則轉(zhuǎn)化為熱能(大小就等于這一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和)綜上所述 ,只有說法 (c) 的表述是完全正確的2 -5質(zhì)量為 m 的物體 ,由水平面上點(diǎn) o 以初速為 v 0 拋出 ,v 0與水平面成仰角 若不計(jì)空氣阻力 ,求：(1) 物體從發(fā)射點(diǎn) o 到最高點(diǎn)的過程中,重力的沖量； (2) 物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同一水平面的過程中,重力的沖量分析重力是恒力 ,因此 ,求其在一段時(shí)間內(nèi)的沖量時(shí),只需求出時(shí)間間隔即可由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知,物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間t1v0sin,物體從g出發(fā)到落回至同一水平面所需的時(shí)間是到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間的兩倍這樣,

29、按沖量的定義即可求得結(jié)果另一種解的方法是根據(jù)過程的始、末動(dòng)量,由動(dòng)量定理求出 解1物體從出發(fā)到達(dá)最高點(diǎn)所需的時(shí)間為t1v0sin g則物體落回地面的時(shí)間為t22t1v0sin g于是 ,在相應(yīng)的過程中重力的沖量分別為1if dtt1mgt1 jmv0sin ji 2f dtt 2mgt2 j2mv0sin j解2根據(jù)動(dòng)量定理 ,物體由發(fā)射點(diǎn) o 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) a、b 的過程中 ,重力的沖量分別為i 1mvay jmv0yjmv0sin ji 2mvby jmv0 yj2mv0 sin j2 -6高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的假如一質(zhì)量為51.0 kg的人 ,在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下來,由于安全

30、帶的保護(hù),最終使他被懸掛起 來已知此時(shí)人離原處的距離為2.0 m,安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為0.50s 求安全帶對(duì)人的平均沖力分析從人受力的情況來看 ,可分兩個(gè)階段：在開始下落的過程中,只受重力作用 ,人體可看成是作自由落體運(yùn)動(dòng)；在安全帶保護(hù)的緩沖過程中,則人體同時(shí)受重力和安全帶沖力的作用,其合力是一變力 ,且作用時(shí)間很短為求安全帶的沖力 ,可以從緩沖時(shí)間內(nèi) ,人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài) (動(dòng)量 )的改變來分析 ,即運(yùn)用動(dòng)量定理來討論事實(shí)上,動(dòng)量定理也可應(yīng)用于整個(gè)過程但是,這時(shí)必須分清重力和安全帶沖力作用的時(shí)間是不同的；而在過程的初態(tài)和末態(tài),人體的速度均為零這樣 ,運(yùn)用動(dòng)量定理仍可得到相同的結(jié)果解1以人為研究

31、對(duì)象 ,按分析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論在自由落體運(yùn)動(dòng)過程中 ,人跌落至 2 m 處時(shí)的速度為v12gh(1)在緩沖過程中 ,人受重力和安全帶沖力的作用,根據(jù)動(dòng)量定理 ,有fp tmv2mv1(2)由式 (1)、(2) 可得安全帶對(duì)人的平均沖力大小為fmgmv tmg2 ght1.14103 n解2從整個(gè)過程來討論根據(jù)動(dòng)量定理有fmgt2h/ gmg1.14103 n2 -7如圖所示 ,在水平地面上 ,有一橫截面 s 0.20 m2 的直角彎管 ,管中有流速為 v 3.0 m · -1 的水通過 ,求彎管所受力的大小和方向分析對(duì)于彎曲部分 ab段內(nèi)的水而言 , 由于流速一定 ,在時(shí)間 t

32、內(nèi),從其一端流入的水量等于從另一端流出的水量因此,對(duì)這部分水來說 ,在時(shí)間t 內(nèi)動(dòng)量的增量也就是流入與流出水的動(dòng)量的增量p m(v b - v a )；此動(dòng)量的變化是管壁在 t 時(shí)間內(nèi)對(duì)其作用沖量 i的結(jié)果 依據(jù)動(dòng)量定理可求得該段水受到管壁的沖力 f；由牛頓第三定律 ,自然就得到水流對(duì)管壁的作用力f -f 解在t 時(shí)間內(nèi) ,從管一端流入 (或流出 ) 水的質(zhì)量為 m st,彎曲部分 ab的水的動(dòng)量的增量則為p m(v b -v a ) st (v b -v a )依據(jù)動(dòng)量定理 ip,得到管壁對(duì)這部分水的平均沖力bafisvt vvt從而可得水流對(duì)管壁作用力的大小為ff2 sv 22.5103

33、n作用力的方向則沿直角平分線指向彎管外側(cè)2 -8質(zhì)量為 m的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為m 的物體 ,此人用與水平面成角的速率 v0 向前跳去當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí),他將物體以相對(duì)于人為u 的水平速率向后拋出問：由于人拋出物體,他跳躍的距離增加了多少？(假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn) )分析人跳躍距離的增加是由于他在最高點(diǎn)處向后拋出物體所致在拋物的過程中, 人與物之間相互作用力的沖量,使他們各自的動(dòng)量發(fā)生了變化如果把人與物視為一系統(tǒng),因水平方向不受外力作用,故外力的沖量為零 , 系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒但在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí),必須注意系統(tǒng)是相對(duì) 地面 (慣性系 )而言的 ,因此,在處理人與物的速度時(shí),要根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系來

34、 確定至于 ,人因跳躍而增加的距離,可根據(jù)人在水平方向速率的增量v來計(jì)算解取如圖所示坐標(biāo)把人與物視為一系統(tǒng),當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處 ,在向左拋物的過程中 ,滿足動(dòng)量守恒 ,故有mm v0cos m vm vu式中 v 為人拋物后相對(duì)地面的水平速率, v -u 為拋出物對(duì)地面的水平速率得v人的水平速率的增量為mv0 cosummvvmv0cosu mm而人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tv0sin 所以 ,人跳躍后增加的距離 xvtmgv0sinumm g2 -9一質(zhì)量為 0.20 kg的球 ,系在長(zhǎng)為 2.00 m 的細(xì)繩上 ,細(xì)繩的另一端系在天花板上把小球移至使細(xì)繩與豎直方向成30°角的位

35、置 ,然后從靜止放開求： (1) 在繩索從 30°角到 0°角的過程中 ,重力和張力所作的功； (2) 物體在最低位置時(shí)的動(dòng)能和速率；(3)在最低位置時(shí)的張力分析(1) 在計(jì)算功時(shí) ,首先應(yīng)明確是什么力作功 小球擺動(dòng)過程中同時(shí)受到重力和張力作用 重力是保守力 ,根據(jù)小球下落的距離 ,它的功很易求得；至于張力雖是一變力,但是 ,它的方向始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直,根據(jù)功的矢量式 wfds,即能得出結(jié)果來 (2) 在計(jì)算功的基礎(chǔ)上 ,由動(dòng)能定理直接能求出動(dòng)能和速率 (3)在求最低點(diǎn)的張力時(shí) ,可根據(jù)小球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度由重力和張力提供來確定解(1) 如圖所示 ,重力對(duì)小球所

36、作的功只與始末位置有關(guān),即wpphmgl 1cos0.53 j在小球擺動(dòng)過程中 ,張力 f 的方向總是與運(yùn)動(dòng)方向垂直,所以 ,張力的功wtftds(2) 根據(jù)動(dòng)能定理 ,小球擺動(dòng)過程中,其動(dòng)能的增量是由于重力對(duì)它作功的結(jié)果初始時(shí)動(dòng)能為零,因而,在最低位置時(shí)的動(dòng)能為ekek0.53 j小球在最低位置的速率為v2ekm2wpm2.30 m s 1(3) 當(dāng)小球在最低位置時(shí) ,由牛頓定律可得mv 2ftplftmgmv 2l2.49 n2 -10一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn) ,系在細(xì)繩的一端, 繩的另一端固定在平面上此質(zhì)點(diǎn)在粗糙水平面上作半徑為r 的圓周運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)的最初速率是v 0 當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí),其速率為

37、v0 /2求： (1) 摩擦力作的功； (2)動(dòng)摩擦因數(shù)； (3) 在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少圈？分析質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中速度的減緩,意味著其動(dòng)能減少；而減少的這部分動(dòng)能則消耗在運(yùn)動(dòng)中克服摩擦力作功上由此,可依據(jù)動(dòng)能定理列式解之解(1) 摩擦力作功為wekek01 mv221 mv 2023 mv208(1)(2) 由于摩擦力是一恒力 ,且f m,g故有fwf scos 180o2rmg(2)由式 (1)、(2) 可得動(dòng)摩擦因數(shù)為33v 2016rg2(3) 由于一周中損失的動(dòng)能為mv0 ,則在靜止前可運(yùn)行的圈數(shù)為8nek04 圈w32 -11如圖 (a)所示 ,a 和b 兩塊板用一輕彈簧連接起來,

38、它們的質(zhì)量分別為 m1 和 m2 問在 a 板上需加多大的壓力 ,方可在力停止作用后 ,恰能使 a 在跳起來時(shí) b 稍被提起 (設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為 k)分析運(yùn)用守恒定律求解是解決力學(xué)問題最簡(jiǎn)捷的途徑之一因?yàn)樗c過程的細(xì)節(jié)無關(guān),也常常與特定力的細(xì)節(jié)無關(guān)“守恒 ”則意味著在條件滿足的前提下 ,過程中任何時(shí)刻守恒量不變?cè)诰唧w應(yīng)用時(shí),必須恰當(dāng)?shù)剡x取研究 對(duì)象 (系統(tǒng) ),注意守恒定律成立的條件該題可用機(jī)械能守恒定律來解決選取兩塊板、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng),該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后( 取作狀態(tài) 1), 直到b 板剛被提起 (取作狀態(tài) 2),在這一過程中 ,系統(tǒng)不受外力作用,而內(nèi)力中又只有保守力( 重力和彈力

39、)作功 ,支持力不作功,因此 ,滿足機(jī)械能守恒的條件只需取狀態(tài) 1 和狀態(tài) 2,運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列出方程,并結(jié)合這兩狀態(tài)下 受力的平衡 ,便可將所需壓力求出解選取如圖 (b) 所示坐標(biāo) ,取原點(diǎn) o處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)作各狀態(tài)下物體的受力圖對(duì)a 板而言 ,當(dāng)施以外力 f 時(shí),根據(jù)受力平衡有f 1 p1 f(1)當(dāng)外力撤除后 ,按分析中所選的系統(tǒng) ,由機(jī)械能守恒定律可得11 ky22mgy11 ky222mgy2式中 y1 、y 2 為m、n 兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn) o 的位移 因?yàn)?f1 ky1 ,f2 ky2 及p1 m1g,上式可寫為由式 (1)、(2) 可得f 1 -f 2 2p1(2)f

40、p1 f2(3)當(dāng)a板跳到 n點(diǎn)時(shí) ,b板剛被提起, 此時(shí)彈性力 f2 p2, 且 f2f2 由式 (3)可得fp1 p2 (m1 m2 )g應(yīng)注意 ,勢(shì)能的零點(diǎn)位置是可以任意選取的為計(jì)算方便起見,通常取彈簧原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為零點(diǎn),也同時(shí)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)2 -12如圖所示，一質(zhì)量為m的木塊靜止在光滑水平面上，一質(zhì)量為m/2的子彈沿水平方向以速率v0 射入木塊一段距離l( 此時(shí)木塊滑行距離恰為s)后留在木塊內(nèi)，求：（ 1）木塊與子彈的共同速度v, 此過程中木塊和子彈的動(dòng)能各變化了多少？（2）子彈與木塊間的摩擦阻力對(duì)木塊和子彈各作了多 少功？（ 3）證明這一對(duì)摩擦阻力的所作功的代數(shù)和就等于其中一個(gè)

41、摩擦阻力沿相對(duì)位移 l 所作的功 .(4)證明這一對(duì)摩擦阻力所作功的代數(shù)和就等于子彈 - 木塊系統(tǒng)總機(jī)械能的減少量( 亦即轉(zhuǎn)化為熱的那部分能量).題 3-20圖分析 對(duì)子彈 - 木塊系統(tǒng)來說，滿足動(dòng)量守恒，但系統(tǒng)動(dòng)能并不守恒，這是因?yàn)橐粚?duì)摩擦內(nèi)力所做功的代數(shù)和并不為零，其中摩擦阻力對(duì)木塊作正功，其反作用力對(duì)子彈作負(fù)功， 后者功的數(shù)值大于前者， 通過這一對(duì)作用力與反作用力所做功， 子彈將一部分動(dòng)能轉(zhuǎn)移給木塊， 而另一部分卻轉(zhuǎn)化為物體內(nèi)能. 本題（ 3）、（ 4）兩問給出了具有普遍意義的結(jié)論，可幫助讀者以后分析此類問題 .解（ 1）子彈 - 木塊系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒，有mv0 / 2(m/ 2m)v解

42、得共同速度v1v03對(duì)木塊ek 21 mv220 1 mv2018對(duì)子彈ek 21 ( m) v2221 ( m22) v 22 mv2090（ 2） 對(duì)木塊和子彈分別運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，則12對(duì)木塊w1ek1mv018對(duì)子彈w2ek 22 mv209（ 3） 設(shè)摩擦阻力大小為ff , 在兩者取得共同速度時(shí)， 木塊對(duì)地位移為s，則子彈對(duì)地位移為l+s, 有對(duì)木塊w1ff s對(duì)子彈w2ff ( ls)得ww1w2ff l式中 l 即為子彈對(duì)木塊的相對(duì)位移，“- ”號(hào)表示這一對(duì)摩擦阻力（非保守力）所作功必定會(huì)使系統(tǒng)機(jī)械能減少.(4) 對(duì)木塊w1ff s1 mv22對(duì)子彈0兩式相加，得w2ff ( l

43、s)1 ( m)v2221 ( m22)v2w1w2 1 mv2021 ( m) v2 221 ( m22)v 2即ff l3 mv2018兩式相加后實(shí)為子彈 - 木塊系統(tǒng)作為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理表達(dá)式，左邊為一對(duì)內(nèi)力所作功，右邊為系統(tǒng)動(dòng)能的變化量.2 -13一質(zhì)量為 m 的地球衛(wèi)星 ,沿半徑為 3re 的圓軌道運(yùn)動(dòng) ,re 為地球的半徑已知地球的質(zhì)量為me求： (1)衛(wèi)星的動(dòng)能； (2)衛(wèi)星的引力勢(shì)能； (3) 衛(wèi)星的機(jī)械能分析根據(jù)勢(shì)能和動(dòng)能的定義,只需知道衛(wèi)星的所在位置和繞地球運(yùn)動(dòng)的速率 ,其勢(shì)能和動(dòng)能即可算出由于衛(wèi)星在地球引力作用下作圓周運(yùn)動(dòng),由此可算得衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的速率和動(dòng)能由于衛(wèi)星的引

44、力勢(shì)能是屬于系統(tǒng)( 衛(wèi)星和地球 )的,要確定特定位置的勢(shì)能時(shí),必須規(guī)定勢(shì)能的零點(diǎn) ,通常取衛(wèi)星與地球相距無限遠(yuǎn)時(shí)的勢(shì)能為零這樣,衛(wèi)星在特定位置的勢(shì)能也就能確定 了至于衛(wèi)星的機(jī)械能則是動(dòng)能和勢(shì)能的總和解(1)衛(wèi)星與地球之間的萬有引力提供衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,由牛頓定律可得22g me mm v 3r3r則eke1 mv22eg me m6re(2) 取衛(wèi)星與地球相距無限遠(yuǎn)(r 時(shí))的勢(shì)能為零,則處在軌道上的衛(wèi)星所具有的勢(shì)能為epgmem 3re(3) 衛(wèi)星的機(jī)械能為eekepgmem 6 reg mem3reg mem6re2 -14如圖 (a)所示 ,天文觀測(cè)臺(tái)有一半徑為r 的半球形屋面 ,

45、有一冰塊從光滑屋面的最高點(diǎn)由靜止沿屋面滑下,若摩擦力略去不計(jì)求此冰塊離開 屋面的位置以及在該位置的速度分析 取冰塊、屋面和地球?yàn)橄到y(tǒng) ,由于屋面對(duì)冰塊的支持力 fn 始終與冰塊運(yùn)動(dòng)的方向垂直 ,故支持力不作功；而重力 p又是保守內(nèi)力 ,所以 ,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒但是 ,僅有一個(gè)機(jī)械能守恒方程不能解出速度和位置兩個(gè)物理量；因此 ,還需設(shè)法根據(jù)冰塊在脫離屋面時(shí)支持力為零這一條件 ,由牛頓定律列出冰塊沿徑向的動(dòng)力學(xué)方程求解上述兩方程即可得出結(jié)果解 由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 ,有mgr1 mv22mgrcos(1)根據(jù)牛頓定律 ,冰塊沿徑向的動(dòng)力學(xué)方程為mgcosfnmv 2r(2)冰塊脫離球面時(shí) ,支持力 fn 0,由式 (1) 、(2)可得冰塊的角位置冰塊此時(shí)的速率為2 arccos3vgrcos48.2o2rg 3v的方向與重力 p 方向的夾角為 90°- 41.8 °2 -15如圖所示 ,把質(zhì)量 m 0.20 kg的小球放在位置 a 時(shí),彈簧被壓縮l 7.51×0 -2 m然后在彈簧