ch4 多維隨機(jī)變量及其分布

1、第4章 多維隨機(jī)變量及其分布4.1多維隨機(jī)變量及其分布實(shí)際中，某些試驗(yàn)結(jié)果需要同時(shí)用兩個(gè)或者兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述例：(1) 研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，需測(cè)量身高與體重，寫成 ；X(e)(2) 用導(dǎo)彈打飛機(jī)，爆炸點(diǎn) e二維隨機(jī)變量：試驗(yàn)E，樣本空間， X Y(e) 為定義于上的兩個(gè)隨機(jī)變量， Y稱為二維隨機(jī)變量（或向量）本章研究的整體性質(zhì)一分布函數(shù)分布函數(shù)：是隨機(jī)向量，稱 為的分布函數(shù)，或稱 X與Y的聯(lián)合分布函數(shù) y y y2 (x1, y2) (x2, y2) y (x, y) (x1,y1) (x2, y1) o x x o x 的基本性質(zhì)：(1) 關(guān)于x、關(guān)于y 是單調(diào)非減函數(shù)；(2)

2、 ，；(3)關(guān)于x、關(guān)于y 是右連續(xù)函數(shù)：；(4) ， 有 (說(shuō)明之)二二維離散隨機(jī)變量只取有限多對(duì)或可列多對(duì)值 ，記，滿足：(非負(fù)性)； (規(guī)范性) 稱為的聯(lián)合分布律 列表：Y X YX1 3 01230 0 0 0 例1. 將一枚硬幣連擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)H的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)H次數(shù)與T次數(shù)之差的絕對(duì)值 求 的分布律解：X取值 ； Y取值 由概率乘法公式得：； ； ； 三二維連續(xù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)，存在可積函數(shù)，滿足， 稱為連續(xù)隨機(jī)變量概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)：(非負(fù)性)；(規(guī)范性)；若為平面區(qū)域，則 ；若在處連續(xù)， 則 幾何意義：曲面 ， z D o y x 例2.

3、 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 求：(1) 分布函數(shù)； (2) ； (3) .解：(1) (2) 將看作平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，即有 ，其中為平面上區(qū)域 11oxy oyx的非零區(qū)域 的非零區(qū)域(3) ，四兩種常見的二維連續(xù)隨機(jī)變量1. 二維均勻分布定義：設(shè)是平面區(qū)域，面積為， 具有概率密度 稱服從區(qū)域上的二維均勻分布 容易驗(yàn)證，落在中某一子區(qū)域內(nèi)的概率與的面積成正比，而與的位置和形狀無(wú)關(guān).2. 二維正態(tài)分布定義：設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度函數(shù)， 為常數(shù)， ， 稱服從參數(shù)為 的二維正態(tài)分布， 記 在三維空間中的圖形就像是一個(gè)放置在平面上的草帽，其中心在 處二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖形五 n 維

4、隨機(jī)變量試驗(yàn)E，為定義于上的n個(gè)隨機(jī)變量，稱 為n維隨機(jī)變(向)量分布函數(shù)：具有與相類似的性質(zhì)若n維隨機(jī)變量中每一個(gè)分量都是離散隨機(jī)變量，則稱為n維離散隨機(jī)變量設(shè)的所有可能取值為 ，, 則稱為 的聯(lián)合分布律對(duì)于n維隨機(jī)變量，如果存在n元可積函數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) 有 ，則稱為n維連續(xù)隨機(jī)變量， 稱為的聯(lián)合概率密度函數(shù)對(duì)于區(qū)域 ， 有 4.2 邊 緣 分 布一. 邊緣分布函數(shù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)的分布函數(shù)、分別稱為關(guān)于X、關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)； (關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)） (關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)）二. 邊緣分布律對(duì)于二維離散隨機(jī)變量，已知 ，() 則，()關(guān)于X的邊緣分布律；，() 關(guān)于Y的邊緣分布

5、律 YX 1YX 1 2 02 0 0 1 例1已知的分布律，求邊緣分布律解：三. 邊緣概率密度函數(shù)對(duì)于二維連續(xù)隨機(jī)變量，已知概率密度 由 X 是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量， 概率密度為關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)同樣，Y 也是連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度為關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)例2設(shè)具有概率密度， 求邊緣概率密度函數(shù)和 y 解：； y 例3設(shè)， 將中與y無(wú)關(guān)的部分提到積分號(hào)外，將余下部分的指數(shù)部分對(duì)y配方有： ，令 ， 有同理， 這表明，僅由邊緣分布不能確定二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布把二維隨機(jī)變量的一些概念推廣到n 維隨機(jī)變量：n維 r. v. 的分布函數(shù) 在連續(xù)時(shí)，概率密度函數(shù) ；關(guān)于的邊緣分布函數(shù) ；關(guān)于的邊

6、緣分布函數(shù)；邊緣概率密度函數(shù) ；4.3 條 件 分 布（簡(jiǎn)介）一離散隨機(jī)變量，分布律：，()邊緣分布律： ， 若，考慮條件概率，(，j固定) 稱為在 條件下X的條件分布律它具有分布律的特性： (a) ； (b) 同理，若，稱 ，(，i固定) 為在 條件下Y的條件分布律X 列表： 二是連續(xù)隨機(jī)變量，X、Y取單點(diǎn)值的概率為0，不能直接由條件概率公式來(lái)定義條件分布函數(shù)對(duì)此，設(shè)若極限 存在， 稱為條件 下X的條件分布函數(shù)， 記為 或 現(xiàn)設(shè)，在處連續(xù)， 且連續(xù)， 則；條件概率密度為 ， ( 要求 )同理，可得 ； ， ( 要求 )注：若 ，則 不存在；若 ，則 不存在例1. 設(shè)的概率密度為試求常數(shù)k及條

7、件概率密度解： 1 ； o 1 x 當(dāng) ，有 ；當(dāng) ， 不存在當(dāng) ，有 ；當(dāng) ， 不存在4.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性由事件間的獨(dú)立性引出隨機(jī)變量間的獨(dú)立性概念定義：隨機(jī)變量， 若 有，即 ， 則稱 X 與Y相互獨(dú)立(A) 對(duì)于離散隨機(jī)變量，取值 ， 則 X 與Y相互獨(dú)立，即 ，Y X2 3 01 1例如：下面的X 與Y相互獨(dú)立(B) 對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量， 則 X 與Y相互獨(dú)立， (利用兩邊積分、微分證明之)例如：考察二維正態(tài)變量 ，則 X 與Y 相互獨(dú)立 ， “” ， 顯然“” 在 中令 ， 得 例1一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在 812時(shí)，他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在 79時(shí)設(shè)他們兩人到

8、達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立，求他們到達(dá)時(shí)間相差不超過(guò)5分鐘的概率解：X負(fù)責(zé)人到達(dá)的時(shí)間， Y秘書到達(dá)的時(shí)間 已知 X 與Y相互獨(dú)立， 故， ， 9 C/ C 7 D o 8 12 x 推廣到多維隨機(jī)變量：(a) 稱相互獨(dú)立， 若 ，；(b) 稱與 相互獨(dú)立，若， ( 其中 為、 的分布函數(shù))定理設(shè)與相互獨(dú)立，則 也相互獨(dú)立若、是多元連續(xù)函數(shù)，則 與 相互獨(dú)立4.5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布只就幾個(gè)具體函數(shù)來(lái)討論兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知的分布，而，二元連續(xù)函數(shù)，求 Z 的分布 比如，一家大型商店一月份、二月份、三月份的商品銷售額分別記為 X、Y、Z，要求第一季度的銷售總額 的分布一. 二維離散隨機(jī)變量函數(shù)的

9、分布例1已知 的分布律， 求 和 的分布律YX 2 01 0 1 2 P 解： 0 1 2 P 二. 二維連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 y 1. 的分布 設(shè)為連續(xù)r.v.，概率密度為 o z x ，求導(dǎo)得：， ；由 X、Y的對(duì)稱性，也有：， 當(dāng) X與Y相互獨(dú)立時(shí)， 故 (卷積)， 例2設(shè)，且相互獨(dú)立，求 的概率密度函數(shù)解：， 即 正態(tài)變量具有可加性推廣：一般地，若相互獨(dú)立， 則2. 最大值、最小值的分布設(shè) X與Y相互獨(dú)立，分布函數(shù) 求 及 的分布函數(shù)、由于 ，故， ；推廣到 n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量：相互獨(dú)立，分布函數(shù)為 記 ， 則 ， ，特別，當(dāng) 獨(dú)立同分布，共同的分布函數(shù)為， 則， ， 例3設(shè)系統(tǒng)

10、L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng) 聯(lián)接而成；聯(lián)接方式為 (i) 串聯(lián)；(ii) 并聯(lián)；(iii) 備用（當(dāng)損壞時(shí)，開始工作 ）已知的壽命分別為X和Y， 概率密度為， ， 試分別寫出L的壽命Z的概率密度函數(shù) L1 L1 K L1 L2 L2 L2 解：(i) 串聯(lián)由于 ， ，Z的分布函數(shù)；(ii) 并聯(lián)故 Z的分布函數(shù)；(iii) 備用 當(dāng) ；當(dāng)即 多維隨機(jī)變量的數(shù)字特征本節(jié)介紹多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差一二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在實(shí)際問題中，常要計(jì)算的函數(shù)的期望，是二元連續(xù)函數(shù)例如，已知 ， 而 ，要求定理 設(shè)是隨機(jī)變量的函數(shù)：，其中 是二元連續(xù)函數(shù)(1) 若是二維離散 r.v.，分布律 ，

11、則(2) 若是二維連續(xù) r.v.，概率密度，則有(要求級(jí)數(shù)與積分絕對(duì)收斂)例1設(shè)具有概率密度 ， 則 ；此例中， 可先求 ， 后求二數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì) 設(shè)X, Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則 證：我們僅給出為連續(xù)隨機(jī)變量情況下的證明 設(shè)(X, Y)是連續(xù)的，概率密度，據(jù)公式() 得 又設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則， 據(jù) Th4.6.1(2) 得推廣到任意有限多個(gè)隨機(jī)變量的情形：設(shè) 是n個(gè)隨機(jī)變量， 則 又設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立， 則 例2. 將 r 只小球隨機(jī)地放入N只大盒子，設(shè)每只球落入每個(gè)盒子是等可能的求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望12iN解: 將盒子編號(hào)：， 右圖示先將X分解對(duì)應(yīng)于

12、i號(hào)盒子引入隨機(jī)變量 0 1 P 則 的分布律為 故 由性質(zhì)推廣形式有 例3. 一電路中電流I(單位 A)與電阻R(單位 )是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，概率密度分別為： 電流I： ；電阻R：試求電壓 的均值解：三方差的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則 此性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況：設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，則 證：；例4設(shè) ，求 解：根據(jù)二項(xiàng)分布的定義，X是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p引入隨機(jī)變量： 則 由于各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，故相互獨(dú)立的分布律為 0 1P 故 ；矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)一原點(diǎn)矩與中心矩矩：設(shè)X與Y是隨機(jī)變量

13、，稱 為X的 k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩；稱 為X的 k階中心矩；稱 為X與Y的階混合矩；稱 為X與Y的階混合中心矩關(guān)系式：， ， 顯然，是X的一階原點(diǎn)矩； 是X的二階中心矩 X1 2 4 5P 例1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為右圖，求 解：，故 二協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)如X與Y相互獨(dú)立，有； 反之，當(dāng)它不等于0時(shí)，X與Y就不獨(dú)立，必存在著一種關(guān)系協(xié)方差： 稱 為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差相關(guān)系數(shù)： 稱 為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù) (要求分母大于0)關(guān)系式： 協(xié)方差計(jì)算公式：事實(shí)上， 協(xié)方差的性質(zhì)：.； .， 這里是常數(shù)；.例1. 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度 ， 求解：； y ； 1 ； o 1 x 所以 又因?yàn)?

14、； ； ；所以 下面討論的性質(zhì)考慮以X的線性函數(shù)來(lái)近似表示Y 我們以均方誤差 (1)來(lái)衡量以近似表示Y的優(yōu)劣程度選取使達(dá)到最小是的二元可偏導(dǎo)實(shí)函數(shù)， 令 將代入(1) 得 (2)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： ； 的充要條件是，存在常數(shù)使得 證： 由式(2)與 的非負(fù)性得 ， 亦即 若，由式(2)得 從而 ，由方差的性質(zhì)知，存在常數(shù)使得 從而 , 故 反之，若存在常數(shù) 使 , 即 ， 從而所以 但據(jù)的定義，可得 若，則稱隨機(jī)變量X與Y正相關(guān)，這時(shí)以較大的概率可認(rèn)為，Y的取值隨著X的取值增大而增大；若，則稱隨機(jī)變量X與Y負(fù)相關(guān)，這時(shí)以較大的概率可認(rèn)為，Y的取值隨著X的取值增大而減少當(dāng) 時(shí)，X與Y的線性依賴關(guān)系

15、不存在定義：若 ，則稱隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)顯然，若X與Y相互獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)；但X與Y不相關(guān)時(shí)，僅僅說(shuō)明它們之間沒有線性依賴關(guān)系，這并不意味著它們相互獨(dú)立，X與Y可能存在其它的依賴關(guān)系，可見后面例總之，這兩個(gè)概念不等價(jià)但是，對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量而言，相互獨(dú)立與不相關(guān)卻是等價(jià)的定理：若，那么，X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X與Y不相關(guān)證：根據(jù)例，故 ，；， 而 令 ， 則 再令 ， 則 于是，由例知，X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于，這等價(jià)于，即X與Y不相關(guān)相關(guān)系數(shù)描述了兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性相關(guān)的程度，它在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用在產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程中，它可用來(lái)描述影響產(chǎn)品質(zhì)量的各道工藝之間的相關(guān)程度； 在醫(yī)學(xué)上，它可用來(lái)描述各種疾病發(fā)生率之間的相關(guān)程度； 在經(jīng)濟(jì)及金融投資領(lǐng)域，它可用來(lái)描述行業(yè)之間的收益、股票之間的價(jià)格的相關(guān)程度等協(xié)方差矩陣：設(shè)n維隨機(jī)向量 ， 稱 為X的均值向量； 稱 為X的協(xié)方差矩陣， 其中， 注意到 ， C是實(shí)對(duì)稱矩陣，可以對(duì)角化利用協(xié)方差矩陣可以簡(jiǎn)便地表達(dá)n維正態(tài)隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)設(shè)二維隨機(jī)向量 ，則協(xié)方差矩陣為 ，概率密度函數(shù)可表示為 n維正態(tài)隨機(jī)向量 的概率密度函數(shù)定義為,