高等數學專項練習之常微分方程

1、高等數學專項練習之常微分方程第一部分學習目的 2第二部分學習重點 2第三部分學習難點 2第四部分內容提要 3第一節(jié)微分方程模型 31 微分方程的產生和發(fā)展 32 微分方程模型 4第二節(jié)基本概念9第三節(jié)微分方程的類型及其解法 101 一階微分方程 102 高階微分方程 20第四節(jié)微分方程公式運用表 291 一階微分方程 292 可降階的高階微分方程 293 線性微分方程 30第五節(jié)微分方程的簡單應用 311 在幾何中的應用 312 在力學中的應用 33微分方程是高等數學中理論和應用都較強的一部分是微積分學的一個直接延續(xù)它包括兩個主要方面：第一方面是求給定常微分方程的解第二方面是常微分方程的應用.

2、第一部分學習目的1,理解微分方程的一般概念；2,熟練掌握分離變量方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程、全微分方程的解法；3,掌握可降階的三種二階特殊類型的微分方程的解法；4.深刻理解二階線性方程解的結構；n(n 3)5,熟練掌握二階常系數線性齊次與非齊次方程的解法，了解階常系數線性齊次與非齊次方程的解法；6,掌握用微分方程解決實際問題的步驟.第二部分學習重點微分方程的一般概念，可分離變量的方程，一階線性方程，二階常系數線性方程，第三部分學習難點識別一階微分方程的各種類型；二階常系數線性非齊次方程的特解的求法，第四部分內容提要第一節(jié)微分方程模型一微分方程的產生和發(fā)展常微分方程有著深刻而生動的

3、實際背景，它從生產實踐與科學技術中產生，又成為現(xiàn) 代科學技術分析問題與解決問題的強有力工具。該課程是與微積分一起成長起來的學科， 是學習泛函分析、數理方程、微分幾何的必要準備，本身也在工程力學、流體力學、天體 力學、電路振蕩分析、工業(yè)自動控制以及化學、生物、經濟等領域有廣泛的應用。30夠年前，Newton LeibniZ定微積分基本思想的同時就正式提出了微分方程的 概念.1泄紀末到181紀，常微分方程研究的中心問題是如何求出通解的表達式1馳紀末到2cB紀處，主要研究解的定性理論與穩(wěn)定性問題.2皿紀進入新的階段，定性上升到理論，進一步發(fā)展分為解析法、幾何方法、數值方法.解析方法是把微分方程的解看

4、作是依靠這個方程來定義的自變量的函數幾何方法：（或定性方法）把微分方程的解看作是充滿平面或空間或其局部的曲線族.數值方法：求微分方程滿足一定初始條件（或邊界滌件的解的近似彳1的各種方法 .微分方程差不多是和微積分同時先后產生的，蘇格蘭數學家耐普爾創(chuàng)立對數的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數來求解。后來瑞士數學家雅各布 貝努利、歐拉、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發(fā)展密切相關的。數學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微

5、分方 程的發(fā)展產生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供 了非常有力的工具。牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了 行星運動規(guī)律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算 出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數學家更加深信微分方程在認識自然、改造自 然方面的巨大力量。微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī) 律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數學 分支。二微分方程模型微分方程是數學聯(lián)系實際問題的重要渠道之一 將實際問題建立成微分方程模

6、型最初 并不是數學家做的，而是由化學家、生物學家和社會學家完成的。例1物體冷卻過程的數學模型將某物體放置于空氣中，在時刻t0時，測得它的溫度為u C, 1吩鐘后測0 150得溫度為i 100uC.確定物體的溫度與時間的關系，并計算20H中后物體的溫度.假定空氣的溫度保持為u 24C . a解設物體在時刻t的溫度為uu(t),由牛頓(Newton)卻定律可得du dtk(u u) (k 0, u u)aa(1.1)這是關于未知函數u的一階微分方程利用微積分的知識將（1.欽為(1.2)du kdt u ua兩邊積分得到ln（ ）kt c c為任意常數u uacekt(1.3)根據初始條件，當t0時

7、，u u ,得常數c uu00a于是u u (u u)e kta 0 a(1.4)u u u e kaa(0)再根據條件t 10H中時，u u得到 u 1110In u0uaua將u u u0 1501 100a 24代入上式得到1 150 24 1 In 10 100 24 10ln1.66 0.051從而，u 24 126 0.051(1.5)由方程（1.5）知，當t2g鐘時物體的溫度u C而且當t2 70時，u 24C.溫度與時間的關系也可通過圖形表示出來.如圖（1.1可解釋為：經過一段時間后，物體的溫度和空氣的溫度將會沒有什么差別了.事實上，經過2小時后，物體的溫度已變?yōu)?4C ,與空

8、氣的溫度已相當接近 .法律破案判斷尸體的死亡時間就是用這一冷卻過程的函數關系來判斷的例 2 動力學問題物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用，空氣的阻力可看作與速度的 平方成正比試確定物體下落過程所滿足的關系式.解設物體質量為 m,空氣阻力系數為 k,又設在時刻t物體的下落速度為 v,于是在時 刻t物體所受的合外力為 F mg kV建立坐標系，取向下方向為正方向 根據牛頓第二定 律得到關系式dvm mg kv(1.6)2dt而且,滿足初始條件t0時,V0(1.7)例3電力學問題在如圖(1.所示的R LC電路，它包括電感L、電阻R和電容C設R、L、C均為常數，電源et)是時間t的已

9、知函數 建立當開關K合上后，電流I應滿足的微分方程.解 經過電感L、電阻 咫口電容C的電壓降分別為： L d、RI和 Q ,其中Q為電 dtC量，由基爾霍夫第二定律得到dIQ(1.8et) L RI dtC因為IdQ有dtd I RdI I 1det)2dt Ldt LC L dt2(1.9這就是電流I應滿足的微分方程.如果e(t)=熟，得到d I RdI I2(1.10 dt L dt LC如果又有R 0,則得到2dt0LC(1.11例4人口模型英國人口統(tǒng)計學家馬爾薩斯（MalthUs 1798提出了聞名于世的MalthuS 口模型 的基本假設是：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率（單位時

10、間內人口的凈增長數與人口總數之比）是常數，記此常數為 r （生命系數）t這段時間內人口數量NN（t）的增長量為N(t t) Nt) rNt) t (N(t t 1rt) N(t)N(t)n ce其中c 百為任意常數.（因為N0也是方程（1.17的解.如果設初始條件為t t 時，N(t) N00(1.14于是N（t）滿足微分方程(1.12dN rN dt將上式改寫為dN rdtN于是變量N和t被分離”，兩邊積分得InN rt c(1.13代入上式可得rt，.即方程(1.17滿足初值條件(1.19的解為c Ne00N(t)Nert t(1.15()00如果r 0,上式說明人口總數 Nt)將按指數規(guī)

11、律無限增長將時間t以1年或1(#離散化，那么可以說，人口數是以e為公比的等比數列增加的.當人口總數不大時，生存空間、資源等極充裕，人口總數指數的增長是可能的.但當人 口總數非常大時，指數增長的線性模型則不能反映這樣一個事實；環(huán)境所提供的條件只能供養(yǎng)一定數量的人口生活，所以MalthUt型在N(t)很大時是不合理的荷蘭生物學家VerhulStA常數N (環(huán)境最大容納量)表示自然資源和環(huán)境條件所m,即凈相對增長率隨 Nt)的增加N(t)容納的最大人口數，并假設凈相對增長率為r1而減少，當N(t) N時，凈增長率0m按此假定，人口增長的方程應改為(1.16dNdt這就是Logistic型當Nr 1N

12、N mN與N相比很大時, mrN與rN相比可以忽略，則模型變?yōu)?2MalthUS型；但 N與N相比不是很大時,mNmrN 這一項就不能忽略，人口增長的速度要 2緩慢下來 我們用Logistic型來預測地球未來人數，某些人口學家估計人口自然增長率為而統(tǒng)計得世界人口在 I960為29也，增長率為1.85%由Logis媵型.0.029,即世界人口容量,可得 N 82.3 10m29.8108829.810(1.21 ,有 0.0185 0.0291Nm82.怒，以（1.21式右端為二項多項式，以NNm為頂點，當N2Nm時人口增長率2增加；當NT時增長率將逐漸減Nm時人口增長率減少，即人口增長到 m

13、41.151022少.這與人口在20ts紀7砰代為40乙左右時增長率最大的統(tǒng)計結果相符.小結：從以上的討論可以看出，將實際問題轉化為數學模型這一事實，這正是許多 應用數學工作者和工程應用模擬方法解決物理或工程問題的理論根據.以上我們只舉出了常微分方程的一些簡單的實例，其實在自然科學和技術科學的其它領域中，都提出了大量的微 分方程問題所以說，社會的生產實踐是微分方程理論取之不盡的基本源泉此外，常微分方程與數學的其它分支的關系也是非常密切的，它們往往互相聯(lián)系、互相促進例如，幾何學就是常微分方程理論的豐富的源泉之一和有力工具.考慮到常微分方程是一門與實際聯(lián)系比較密切的數學基礎課程，我們自然應該注意它

14、的實際背景與應用；而作為一門數學基礎課程，我們又應該把重點放在應用數學方法研究微分方程本身的問題上.因此，在學習中，不應該忽視課程中所列舉的實際例子以及有關的習題，并從中注意培養(yǎng)解決實際問題的初步 能力.但是，按照課程的要求，我們要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理論和 掌握各種類型方程的求解方法這兩方面來，這是本課程的重點，也是我們解決實際問題的 必要工具而解決的過程為：（1）建立方程；（2）求解方程；（3）分析問題.關鍵的是第一 步，即對所研究問題，根據已知定律公式以及某些等量關系列出微分方程和相應的初始條件.如果指出了由微分方程所確定的未知函數的求法，那么未知量間的關系便找到了尋

15、求微分方程所確定的未知函數是微分方程理論的基本問題第二節(jié)基本概念1 .微分方程：凡表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程，叫做微 分方程.未知函數是一元函數的叫做常微分方程；未知函數是多元函數的叫做偏微分方程附注：本章僅限于討論常微分方程 .2 .微分方程的階：微分方程中未知函數的最高階導數（或微分）的階數，稱為微分方程 的階.3 .微分方程的解：代入微分方程能使其兩端成為恒等式的函數，稱為微分方程的解(這個函數的圖形，稱為該微分方程的積分曲線)4 .微分方程的通解：如果微分方程的解中含有獨立的任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相同,則這樣的解稱為微分方程的通解(x,C,

16、C, C)附注：所謂函數_C,C,含有個獨立常數(n)1)(n1)(x,C,C,C)y1 0的某個鄰域，使得行列式n2(k)表不的階導數.5 .微分方程的初始條件：確定微分方程通解中任意常數所給出的條件,稱為定解條件如果這樣的定解條件是在同一時刻給出的，稱為微分方程的初始條件6 .微分方程的特解：由初始條件定出通解中的任意常數后得到的解，稱為微分方程的特解.附注：有的參考書上將微分方程的特解定義為：由初始條件定出通解中的任意常數后得到的解或不含任意常數的解，稱為微分方程的特解.這個定義比教材上更廣泛些.例如,2dy對于微分方程dxy sinX C).易證函數也是該方程的解，但它不能由通解中取適

17、當的常數得到.按照教材的定義，它就不是特解第三節(jié)微分方程的類型及其解法階微分方程(1)可變量分離的微分方程形如的微分方程，稱為可變量分離的方程g(y) o當時，方程(1)可寫成兩端分別積分得到原方程的通解yg(w)o y若存在 使得，則0y附注：0yf(x>a» dy 隴加乂.這里假設dyf(X1,g(y)x,y分別是的連續(xù)函數.dy(2)f xdx()y也是該方程的解.0這種形式的解，有時可能包含在通解中(即可在通解中取適當的常數得到)，有時不包含在通解中(即在通解中取任意常數都得不到這種解).另一方面，若只求方程的通解，可不考慮這種形式的解例1求方程豕yy的通解.y解：當1

18、時，分離變量得ydy1 2ydx , 3x兩邊積分ydy1 C13x101/C3x這就是所求的通解.#y注意：1也是原方程的解且不包含在通解中.如果題目改成求方程的解，則除了求出通解外，還需求出這樣的解（2）齊次微分方程yI1yf（x,y） x'f（x,y）如果一階微分方程中的可以寫成 的函數，即y f（x y） x則稱這方程為齊次方程.求解方法是作變量代換后將其化為可分離變量方程，然后求解y u xu將此代入（那兩邊積分51u xu (u)r1，*1duprqdx(i) ux ,dudx ,yuyx令 ，即uxx(U uy x u求出積分后，再用代替 便得齊次方程的通解dy xydx

19、 x2 y例2求方程y| 012滿足的特解.xx解:這是齊次方程.令 ，得u1 u 12xUdu dx1 u u x2 3或兩邊積分du dxu3x其中.代回1由初始條件得22uxuInu InCe2u2得原方程的通解Ce2y22y2C 1.故所求特解為(3*)可化為齊次微分方程的方程對于形式為axia x2by1by2cic2(4)c c的微分方程，當0時是齊次方程，否則不是齊次微分方程.在非齊次方程情形，當2時，作代換X hy Y k,共中 為新自變量,為新未知hk函數， 為待定常數，將方程(4化為關于和 的齊次方程，求出這方程的通解，再0時，作適當的變量代換，將方程化為可a b換回原變量

20、，即為方程 （4）勺通解；當 22分離變量方程，在其通解中換回原變量，即為方程（4的通解.dy y x 2 dx x y 4例3解方程.12x 4y 0 y 1 1解：因為，所以解代數方程組，得到2作變dY Y XXx 3 x X 3Y y 1 y Y 1dX Y X量變換,則原方程化為.這是齊次方程X,則此方程變?yōu)閐u u 1 u XdX 1 u化簡并變量分離，得到u 112 du dXu 1X兩邊積分，得到IIln( u)12 Iarctan InXi C2 .Yu /一X V化簡并用 代入，得到, Yarctan.22因此原方程的通解為y 1arctan(22x3 (y ) ce.#(4

21、) 一階線性微分方程形式為y Px)yax)的方程，稱為一階線性微分方程.ax)0時，則(5溝yRx)y0(6)(6稱為一階線性齊次微分方程.方程(6的解法：P(x)dx(i)分離變量法；(ii)公式法：yCeRdxPW其中記號表示 的某個原函數.Qx） 0y P（x）y 0當不成立時，則（5內一階線性非齊次微分方程.此時稱為它所對應的線性齊次微分方程.設（5的一階線性非齊次微分方程.則它的通解結構：設（5所對應的線性齊次方程 （6）勺Yy*y Y y*通解為 ，方程（5）勺一個特解為，則方程（5）勺通解為方程（5）勺解法：P（X>dx（i滯數變易法求出它所對應的線性齊次方程（6）勺通解

22、;將通解中的任C u（x）意常數換成函數，設P(x)dxu(x)e為方程（5）勺解，將（7）弋入（5）求出便得（5的通解.（i於式法u（x）（其中包含任意常數）；把求出的u«代入yQxePxddx C e p( )()()xdx(8)方程（5）勺通解也可以寫成IxtyCPt） xP（s）dsdtex Qt)edt00xx ,x II RX)Q«C其中為的連續(xù)區(qū)間)，為任意常數.附注：與非線性方程不同線性方程的通解包含了方程的所有解(x 1)(dy ny xdx例4求方程1)1e n x n的通解，這里為常數.解：將原方程改寫為dy xniy (x 1n e先求它所對應的齊線

23、性方程為dy nydx x 1dy n Iydx x 1的通解.由，經變量分離后得到此齊線性方程的通解為y qxn1) .#其次，應用常數變易法求原非齊線性方程的通解y.為此,設u(X1(xn1)并將它代入到原方程得到dy(dux>(x1)dxdx化簡后，得到兩邊積分，得到C這里是任意常數dy1)(ny1) 1dxn 1 n(x 1)dU) dxu(x)于是原方程的通解為(xu(x)u(x)(X 1)n(xn x1) e1)n ex.#附注：也可直接套用公式求方程1)(x 1)dynydx的通解如下：dxdx(5貝努利方程dx C x n ex Cx n x 1e (x 1) e(1)(

24、)形式為yRX)yQx)y n()(9)的方程稱為Bernoulli程.0,1z 1zynBernoUllr程的解法：作代換,可以將Bernoufti程化為以為未知函數的一階線性方程N (1 n)P(x)z (1r)Q(x)y1zn求出這方程的通解后，再將換成 ，即為方程(9的通解.(x y xyy 1y(1) 1例5求的解.(x y xy yyx)1解：方程不是以為未知函數，為自變量的 Bernou歷程，但我3x2 y yx|2的BernoUB程.于是它的通解為們可將它改寫為dxdyxyn它是以 為未知函數， 為自變量且1 21y22xCe2 y )yC(1) 1將初始條件：代入得到.于是所

25、求的解為x(2 y2)1.#(6企微分方程y f（x,y）當把一階微分方程寫成對稱形式Rx ydx Q(x y)dy 0 (10) p(x ydx Qx y)dyu(x y時，如果其左邊恰好是某個二元函數的全微分，即d(x,y)Rx,y)dx Qxy)dy, 則稱(1曲全微分方程.P Q , y x G 命題：設在單連通區(qū)域內連續(xù)，則(1曲全微分方程的充分必要條件是PQi I1yxG在內恒成立.注意：凡是可分離變量的方程一定是全微分方程全微分方程的解法：u(xy)。)奏全微分法將所給的方程重新組合，使之左邊是某個二元函數的全微分,u(xy)C右邊為零，則所給方程的通解為u(x 廠 dUxy)

26、-P(xy)dx Qxy)dy(ii而定積分法要找函數使得，即uu.Rxy),Qxy)u Rx y xx由對求不定積分,(11)u(xy)Rxy)dx(y)其中起不定積分中積分常數的作用；u qxy)Uxy) y(y)(y)y將 對求偏導數，代入中，定出 .再將 代入(11即得所給全微分方程的通解.Rxy dx)(iii)fi線積分法(公式法)設Qx,y)dy 0G(是定義在單連通區(qū)域內的Q6t)dtPst)dsu(xy) C全微分方程，取曲線積分u(xy)(xy)(X,y)(x0 yG,)其中是區(qū)域中的一個給定的點.則便是方程所求的通解（長例6求方程Rxy）解：記6ky )dx (&

27、 y34y )dy0的通解.因此方程為3(226xy QxS26x y4y(為y)微分方程.則12y(0,0)u23<2 6Xyu26x y y得到為確定Uxy)x(y)u(X yy4dy323< y(僅0u(x,y)34y因此，方程的通解為C其中為任意常數.#在某些情況下，形如y 6xy )dx(y)3x y(y)u26X y4yx36x y32y2件積分后，中，得到3 u(Xy) xX3 3 2 2 x y代入到等式6x y 4y中,(y) y.將2 23x yP(x ydx Qx y)dy 0(12)y的微分方程雖然不是全微分方程(這里(x y函數乘以(12的左邊后能將其化為

28、全微分dRy)(x,y)P(xy)dx(x y)Px ydx(x y)Qxy)dy0這時(x,y)稱為方程(12的積分因子.xG在內不恒成立)，但用不恒等于零的(x,y)Qx,y)dy就是全微分方程了.象這樣的函數方程(1曲解法：(xy)積分因子法 先求出積分因子.一般地，求非全微分方程的積分因子是困難的,(13).如x yg(y)p(ii)當(即表達式x yyp僅為 的函數)時，則可取()y)x,y (g(y)dy e為積分因子.再用求出的積分因子去乘(1邪左邊，則(1頌變成全微分方程了，求出沒有一般的規(guī)律可循，但對具有某些特殊性質的微分方程，還是可以求出積分因子的P QP Q1 I1I1(

29、y xy xf(x)QQx(i)當(即表達式僅為 的函數)時，則可取f (x)dx(,xy) (X) et1I1為積分因子；該方程的通解，且此也為原方程(12的通解.注意：積分因子不是唯一的，因而通解可能有不同的形式；要注意增根和減根,使函數(xy)0 y yx)的函數若不滿足原方程時，則產生增根，應舍去此解；此外,R ,)x y dx(,)Qx y dy1du0(x,y)yy(x>u,因使的函數也滿足原方程，故應將此解補上二高階微分方程(1)可降階的高階微分方程y(n)f x()Q PQ P方程（1郎解法：經過次積分，就可得到方程（1甥通解.y" f（x y）y仆顯含未知函數

30、）(14)y方程（1鄰解法：設dpy'pp P（X）dx（即），則，方程（1鼎為x這是以為自變量,dpdxf(x p為未知函數的一階微分方程.利用一階微分方程求解方法，如p果求得通解（聯(lián)系xp y與的等式），解出 即,再積分一次便得原方程（1初通解.2 x 2 dy dy yxdx dx 2例7求方程的解.dy p dx 解：設，則原方程化為2 .2 xp xy p2dy p xdx兩端關于求導并用代入，得到dp dp p 2p xdx dxp x dp201dxdp102p x0dx由此得或dp 10dx從解得22 xp x y2并將它代入得到原方程的通解y2 x2Cx C22P x

31、0又從解得Px222 xpx yP2將它代入得到原方程的一個解C取適當的 得到.所以原方程的解：通解2yCx C2且此解不能由通解 及一個2xy4解.#yx"f(y y)壞顯含自變量 )(15)方程(15的解法：設y這是以 為自變量,果求得通解(聯(lián)系dp dpdy dpyPpy(刈dx dydx dy(即)，則，方程(1冊dppdy f(y,p)為未知函數的一階微分方程.利用一階微分方程求解方法，如p yp y與的等式)，解出 即,分離變量并積分，便得原方程(1期通解.3dy -_dy2x y 0dx dxdydx解：當例8求方程，的解.dy0pxdx時，解出，并令，則原方程化為1

32、dxyp dy兩端關于求導并用代入，得到123p dp(y3 cp p ) dyp p 1dy2 2P30(y 2p )dp pdy經檢驗，它是個全微分方程，經分項組合后，得到通解2 P C ,yp 4P 2p將它代入3y P x 2pP 2p2pc 43p4 2P因此，原方程的參數形式的通解為0)2-44P2p 22t 2(p0)0時，由方程直接推知也是方程的解此解不能由通解取適當的得到.二階線性微分方程V，Rx)yQx)y f(x)(16)f(xy) 0當(i%端時，則(i明y Px)y Q(x)y 0(17)(1群為二階線性齊次微分方程.方程(17)通解結構：設(17)通y y和 是方程

33、(1碘兩個線性無關的特解，則方程1 2yCy Cy解為12 2方程(1碰解法：在簡單的情況下，若由觀察得一特解y,則求另一線性無關的特解1y可用降階法，即設22 yu兇2 yu Xyu(x)y ()，其中為待定函數.將代入(1切求111y2u(X)y出 ，從而可求出 ，也可以用公式22P(x)dxy e dx1yy求出 ，于是可求出方12程(17的通解.解的線性無關的判定1)次可微函數，則稱行列式11n (n2ny,y, ,y設是定義在區(qū)間上的個y yy12ny yy12n(n 1) (n )(n 1)1y yy12nW(勾y,y,y的伏朗斯基行列式，記為wy,y2, , y30若不成立，則1

34、yn線性相關.例如，設2y ,y,0 xy1x2 xWx) 0線性無關.注意：若-7-" AR r H.,不可匕目JE0x0W(x x I ()0則易證明，） yi,y，但卻是線性無關的2in2ny,y, ,y是階線性齊次微分方程0a x y a x y()()n 1nn(n )1y) a y(X)1W（X> 0的解時，由能推出它們是線性相關的.于是有下面的判斷方法in2ny ,y, ,y命題：當是階線性齊次微分方程n(n 1) a (x)y1由此求出WX）的解時，若不成立，則它們線性無關；否則線性相關特別地，對于兩個函數，只要看它們的比，若比不恒等于常數，則它們線性無關;否則

35、線性相關.f便 0當（1必端不成立時，則（1班二階線性非齊次微分方程，其通解結構:y*YCy Cy設（16所對應的齊次方程（17通解為，且方程（17一個特解為12 2y Y y*則方程（1曲通解為.f ) ix)(x f(若方程(16)右端f x *() y y *,且 與 分別是方程212yp«y ax>yfi(X1y，P«y c«yf2(勾y y*的特解，則就是方程（1耶特解.2可用常數變易法求方程（1卵通解.先求出（1斷對應的齊次方程（17）通解Cy(18)把(14.18)的 與1C分別換成21 xC()C().設CGy1(19)C(x)y22為方程（

36、1耶解，將（1也入（16）為了不使C1 x y()后令y1(X,再求 ，代入（14.啕C x()y1(x)y(x>yC(G31 x1出現(xiàn)二階導數，求出0f (x)C(x) ()C2 x把求出的 與（包含任意常數）代入（14.19）得方程（14.16）通解.y py qy o(20)二階常系數線性齊次微分方程p q其中 和均為常數.用特征根法求方程（20）通解.（i”出（20）1特征方程r2 pr q ；(21)r r（ii月t出方程（21的兩個根和；12（iii跟據和的不同情形，按下表寫出（20）1通解.12r、 r方程（20）1遍解12r r兩個不相等的實根、1yCex Cex1122兩個相等的實根r ry2C Cxerx11一對共軻復根i,2(icosx C sin x)e C2上述求方程（20）階常系數線性齊次微分方程，其形式為(n 1)y p y 0，(22)py1P（i 1,2,。其中為常數.（2邪特征方程為0,(23)Prn 11n1根據特征方程（2期根的不同情形，得出方程（2如解中不同的對應項:Cerx若 是單實根，則有一項對應項:rx C Cx若 是 重實根，