直線與方程-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-例題習(xí)題精講-詳細(xì)答案-提高訓(xùn)練知識(shí)講解

1、直線與方：-提高訓(xùn)練課程星級(jí)：【知識(shí)點(diǎn)一：傾斜角與斜率】(1)直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：1、與x軸相交；2、x軸正向；3、直線向上方向。直線與X軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的彳斜角為00傾斜角的范圍01800(2)直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為900的直線斜率不存在.記作 k tan (900)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，00,k tan00 0當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，900,k不存在.-經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(xi,y) P(x2,y2)(x) x2)的直線的斜率公式是 k x2 x1每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率(3)求斜率的一般方法：已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜

2、率公式k y_y1(x2 x,)求斜率；x2 x1已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)根據(jù) k tan來(lái)求斜率；(4)利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知 A(x,，y。B(x2,y2),C(x3, y3)，若 X x? x3或kAB kBc ,則有 A、B、C三點(diǎn)共線?！局R(shí)點(diǎn)二：直線平行與垂直】(1)兩條直線平行： 對(duì)于兩條不重合的直線|1,|2,其斜率分別為 匕*2,則有11 /l2k1 k2特別地，當(dāng)直線1/2的斜率都不存在時(shí)，11與12的關(guān)系為也J(2)兩條直線垂直： 如果兩條直線|1,|2斜率存在，設(shè)為 KM,則有11 l2k1 k2 -1注：兩條直線li,l2垂直的充要條件是斜率之積為

3、-1,這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1 ,可以得出兩直線垂直； 反過(guò)來(lái)，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果11,12中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為。時(shí)，11與12互相垂直.【知識(shí)點(diǎn)三：直線的方程】(1)直線方程的幾種形式需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)或者搜.店鋪.：龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式y(tǒng) y1 k(x X1)(X, y1)為直線上一定點(diǎn)，k為斜率不包括垂直于X軸的直線斜截式y(tǒng) kx bk為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于X軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)yx

4、%y2y1X2 X1經(jīng)過(guò)勵(lì)點(diǎn)(X, y1),( x2 , y2 ) 且(X1 X2,y1y)不包括垂直于 X軸和y軸的直線截距式工y 1 a ba是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于X軸和y軸或過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax By C 02_ 2(A B 0)A, B,C為系數(shù)無(wú)限制，口表小任何位置的直線問(wèn)題：過(guò)兩點(diǎn) P(x1, y1)，P2(X2, y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？【不一定】若X1 X2且y1 y2 ,直線垂直于x軸,方程為x x1；(2)若X1 X2且y1 y2 ,直線垂直于y軸方程為y y2 ;(3)若X1 X2且y1 y2 ,直線方程可用兩點(diǎn)

5、式表示直線的點(diǎn)斜式方程實(shí)際上就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式；利用斜截式求直線方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否.用截距式方程表示直線時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：方程的條件限制為 a 0,b 0,即兩個(gè)截距均不能為零，因此截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線以及與坐標(biāo)軸平行的直線；用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標(biāo)而不是長(zhǎng)度.截距的值有正、負(fù)、零。距離的值是非負(fù)數(shù)。截距是實(shí)數(shù)，不是“距離”,可正可負(fù)。截距與距離的區(qū)別： 截距式方程的應(yīng)用C 1:S= -1 ab | ； 2k1或直線過(guò)原點(diǎn)，常設(shè)此方程為x y a或ykx與坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)為：|a|+|b|+ . a2 b2 ； 直線與坐標(biāo)軸圍成的三角

6、形面積為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則(2)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)Pi, P2的坐標(biāo)分別是(Xi, %),( X2, y),Xi X2x 且線段pp2的中點(diǎn)M (x, y)的坐標(biāo)為2y 22【知識(shí)點(diǎn)四直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離】(1)兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是li ： Ax By Ci 0, I2 : A2x B2y C2 0,Ax B1y C1 0兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組y的解。A2x B2y C20若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo);若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行(2)幾種距離兩點(diǎn)間的距離： 平面上的兩點(diǎn)P(xi, yi), P2(x2,y2)間

7、的距離公式I PP2 | 他 xi)2%一療特別地，原點(diǎn) 0(0,0)與任一點(diǎn)P(x, y)的距離|OP| Jx2 y2點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P0(x0,y。)到直線Ax By C 0的距離z | Ax 0 By 0 C | d .=、A 2 B 2兩條平行線間的距離：兩條平行線Ax By Ci 0與Ax By C2 0間的距離d|Ci C2|A2 B2注:i求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般必2求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后,才能套用公式計(jì)算。需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講（詳細(xì)解答）或

8、者搜.店鋪.：龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】【例】已知b（I，V5）, B （心2、弓），直線1過(guò)原點(diǎn)。且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（）A 冬娟 B 冬C噂,百D 李哼答案：B分析：由于直線1與線段AB有公共點(diǎn)，故直線1的斜率應(yīng)介于 OA, OB斜率之間.解：由題意， %廣、口，飛工亨 由于直線1與線段AB有公共點(diǎn)，所以直線1的斜率的取值范圍是 與巧考點(diǎn)：本題主要考查直線的斜率公式，考查直線1與線段AB有公共點(diǎn)，應(yīng)注意結(jié)合圖象理解.【例】在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn) A （1, 2）距離為1,且與點(diǎn)B （3, 1）距離為2的直線共有（A 1條B 2條C 3條D 4條答案：B分析：由題意，A、B

9、到直線距離是1和2,則以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線的條 數(shù)即可.解：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求.考點(diǎn)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想【例】將直線11 ： y=2x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60彳導(dǎo)直線12,則直線12到直線13： x+2y-3=0的角為（）A 30B 60 C 120 D 150 答案：A分析：結(jié)合圖象，由題意知直線1113互相垂直，不難推出12到直線13： x+2y-3=0的角.解：記直線11的斜率為k1,直線13的斜率為k3,注意到k1k3= - 1, 11 13,依題意畫(huà)出示意圖，結(jié)合圖形 分析可知，直線12

10、到直線13的角是30 需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.：高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題精講（詳細(xì)解答） 或者搜.店鋪.：龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】考點(diǎn)：本題考查直線與直線所成的角，涉及到角公式【例】方程x |y 1所表示的圖形的面積為 。答案：2解：方程x |y 1所表示的圖形是一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為22【例】設(shè)a b k(k Q k為常數(shù))，則直線ax by 1恒過(guò)定點(diǎn).-1 1答案：( ，) k k解：ax by 1 變化為 ax (k a)y 1,a(x y) ky 1 0,x y 0對(duì)于任何a R都成立，則ky 1 0【例】一直線過(guò)點(diǎn)M ( 3,4),并且在兩

11、坐標(biāo)軸上截距之和為12,這條直線方程是答案:4x y 16 0 ,或 x 3y 94斛：設(shè) y 4 k(x 3), y 0, x 3; xk423k 11 0,3k11k 4 0,kk【例】已知A (1, 2) , B (3, 4),直線11：40,y 3k 4;3 3k 4 12k14,或 k 一3x=0 , 12： y=0 和 13： x+3y 1=0、設(shè) Pi 是 li (i=1 ,2, 3)上與A、B兩點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)，則4P1P2P3的面積是答案:分析：設(shè)出P1 , P2, P3,求出 P1 到 A ,B兩點(diǎn)的距離和最小時(shí),P1坐標(biāo)，求出P2, P3的坐標(biāo),然后再解三角形的面積即

12、可.解：設(shè)P1(0, b),P2(a,0),P3(x0,y0)由題設(shè)點(diǎn)P1到A, B兩點(diǎn)的距離和為(4-b) 2+12+ C2-b)所以顯然當(dāng)b=3即P1(0,3)時(shí)，點(diǎn)P1到A, B兩點(diǎn)的距離和最小，同理P2(2, 0) ,P3(1 ,0),SAP.P：PX 3考點(diǎn)：本題考查得到直線的距離公式，函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題.【例】已知直線（a- 2） y= （3a- 1） x-1,為使這條直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù) a的范圍是 答案：2, +8）分析：由已知中直線（a-2） y= （3a-1） x-1不經(jīng)過(guò)第二象限，我們分別討論 a- 2=0 （斜率不存在），a-2W0 （斜率

13、存在）兩種情況，討論滿足條件的實(shí)數(shù) a的取值，進(jìn)而綜合討論結(jié)果，得到答案.解：若a-2=0,即a=2時(shí)，直線方程可化為 x=l,此時(shí)直線不經(jīng)過(guò)第二象限，滿足條件；若a-2WQ直線方程可化為 y=皂二Lx-此時(shí)若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則 里二解a- 2 a- 2|a_ 2 a_ 2得a 0綜上滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍是2, +8）考點(diǎn)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是確定直線位置的幾何要素，其中根據(jù)直線的斜截式方程中，當(dāng)k0且bwo時(shí),直線不過(guò)第二象限得到關(guān)于 a的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵， 但解答時(shí)，易忽略對(duì)a-2=0（斜率不存在） 時(shí)的討論，而錯(cuò)解為（2, +8）。【例】過(guò)點(diǎn)A（ 5, 4）作一直線l ,使

14、它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5。4解：設(shè)直線為y 4 k（x 5）,父x軸于點(diǎn)（5,0）,交y軸于點(diǎn)（0,5 k 4）, k105, 4022得25k30k 16 0,或25k50k 16 02 .8.斛得k 一，或k 一 2x 5y 10 0 ,或8x 5y 20 0為所求。55【例】直線y y x 1和x軸，y軸分別交于點(diǎn) A, B ,在線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊 ABC,1如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn) P（m,1）使得 ABP和 ABC的面積相等，求 m的值。 2解：由已知可得直線 CP/AB ,設(shè)CP的方程為yx c,(c1)c1-3-八.31、則 AB v3, c3,

15、y x3 過(guò) P(m, )12321 3/日 13 q 5.3得一 一 m 3,m 2 32122【例】已知點(diǎn)A(1,1), B(2,2),點(diǎn)P在直線y x上，求|pa PB取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè) P(2t,t),則 PA2 PB2 (2t 1)2 (t 1)2 (2t 2)2 (t 2)2 10t2 14t 107i |22 77當(dāng)t 一時(shí)，PA PB取得最小值，即 P(-)105 10【例】求函數(shù)f（x） Jx2 2x 2 Jx2 4x 8的最小值。解：f(x)；(x 1)2 (0 1)2點(diǎn)（1,1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)（1, 1）f(x)min12 3210BC方程，解出C點(diǎn)坐標(biāo).逐

16、步解答.解：點(diǎn)A為y=0與x - 2y+1=0兩直線的交點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）.【例】在4ABC中，已知BC邊上的高所在直線的方程為x- 2y+1=0, / A的平分線所在直線的方程為kAB =2-0=1J（x 2）2 （0 2）2可看作點(diǎn)（x,0）到點(diǎn)（1,1）和點(diǎn)（2, 2）的距離之和，作又 / A的平分線所在直線的方程是y=0，.二kAC= - 1 . 直線AC的方程是y= - x - 1.而 BC 與 x-2y+1=0 垂直，kBC= - 2,直線 BC 的方程是 y-2=-2(xT).由 y= x 1 , y= - 2x+4 , 解得 C (5, 6)考點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程。本

17、題可以借助圖形幫助理解題意，將條件逐一轉(zhuǎn)化求解【例】直線l過(guò)點(diǎn)P （2, 1）,且分別與x , y軸的正半軸于 A, B兩點(diǎn)，。為原點(diǎn).分析：（1）設(shè)AB方程為（1）求4AOB面積最小值時(shí)l的方程；（2） |PA|?|P耶最小值時(shí)l的方程.二，點(diǎn)P （2, 1）代入后應(yīng)用基本不等式求出 ab的最小值，即得三角形OAB,點(diǎn)P （2, 1）代入得面積面積的最小值.（2）設(shè)直線l的點(diǎn)斜式方程，求出 A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入|PA|?|PB的解析式，使用基 本不等式，求出最小值，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立條件.解：(1)設(shè) A (a, 0)、B (0, b ), a0, b0, AB 方程為-1-ab8 （當(dāng)且

18、僅當(dāng) a=4, b=2 時(shí)，等號(hào)成立），故三角形OAB面積S=ab 此時(shí)直線方程為:李詩(shī)二 1,即 x+2y 4=0.(2)設(shè)直線 l： y- 1=k (x-2),分別令 y=0, x=0 ,得 A (2-, 0), B (0, 1 2k). k2）八則|PA|?|PB|j（4+比工）（1+j）二小的 仙 當(dāng)且僅當(dāng)k2=1,即k= 十時(shí)，|PA|?|PB取最小值,又 k0),Saaob =1|-2-71|2k+1| =1(2 + ；)(2k+1) =1(4k+ 1 + 4) |(4+4) = 42 k2 k2 k 2當(dāng)且僅當(dāng)4k=1,即k=1時(shí)取等號(hào)。1即 AOB的面積的最小值為 4,此時(shí)直線l的萬(wàn)程為y+1+1 = 0 ,即x2y+4=0【例】已知函數(shù)f (苫)=Vx, g (x) =x+a (a0)(1)求a的值，使點(diǎn)M (f (x), g (x)到直線x+y - 1=0的最短距離為(2)若不等式 I 土匚*在xS