第二章的隨機向量地分布和數(shù)字特征習地的題目課

1、實用標準文檔第二章隨機向量的分布和數(shù)字特征的習題課一：選擇題：1.若隨機變量X1,X2 的分布函數(shù)為F 1 ( x ) 與 F 2 ( x ) 則 a ,b取值為（）時，可使 F(x)=a F 1 ( x ) -b F 2 ( x ) 為某隨機變量的分布函數(shù)。A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2分析：由分布函數(shù)在的極限性質(zhì)，不難知 a,b 應(yīng)滿足 a-b=1,只有選項 A正確。 答案選： A2. 設(shè) X ( x), 且 (- x)= ( x), 其分布函數(shù)為 F( x), 則對任意實數(shù) a,F(- a)=()。A. 1-0( x ) d xB.1-

2、0( x ) d xC.F(a)D.2F(a)-1aa2分析： 是偶函數(shù)，可結(jié)合標準正態(tài)分布來考慮；a( x ) d x0F(a) F(0) ；F(0) 0.5 ； F(a) F(-a)=1 答案 選：B3. 設(shè) XN( ,2 ), 則隨著的增大， P(| X-|) （）。A. 單調(diào)增大 B. 單調(diào)減少C. 保持不變D.增減不定 答案選： C4. 設(shè)隨機變量 X 與 Y 均服從正態(tài)分布， X N( ,16) ，YN( ,25),記 PX4=p 1 ,PY+5=p 2 , 則（）正確。A. 對任意實數(shù)，均有 p 1= p 2B.對任意實數(shù)，均有 p 1 p 2 答案選： A精彩文案實用標準文檔5

3、. 設(shè) X 是隨機變量且 E ( X ), D ( X )2 (,0 ) ，則對任意常數(shù)c ，（）成立。A .E ( X222B. E(X2E ( X2c )EXcc )C .E ( X2E ( X2D. E(Xc )22c )E ( X)分析：答案選：D由E(X),D(X)2，得 EX2D(X) (EX )222E ( X2E ( X22 cX2c )c )EX22 cEX2c222222 cc(c )E ( X222X2)E ( X)22EX2EX222222顯然 E(Xc )E ( X)22二：題空題1. 設(shè)在每次伯努里試驗中， 事件 A 發(fā)生的概率均為 p, 則在 n 次伯努里試驗中，

4、 事件 A 至少發(fā)生一次的概率為（），至多發(fā)生一次的概率為（）。 答案填： (1-(1-p)n); (1-p)n+np(1-p) n 1 )由伯努里概型的概率計算公式，據(jù)題意可知，事件 A 至少發(fā)生一次的概率為事件 A 至多發(fā)生一次的概率為nkkn k00n，C n p ( 1p )或 1 C n p (1p )k11Kkn k00n11n 1C N p (1 p )=C n p ( 1p )+C n p ( 1 p )k0精彩文案實用標準文檔2. 設(shè)隨機變量 Y 在區(qū)間 1 ，6 上服從均勻分布，則方程2有實根的概率為（）。xYx 1 0分析：方程 x2Yx1 0 有實根當且僅當0，即 |Y

5、| 2,則 P(|Y| 2)=61dx=0.8 答案填： 0.8252 x ,0x 13. 設(shè) X f ( x )0 ,其他，對 X 的三次獨立重復觀察中，事件 X0.5 出現(xiàn)的次數(shù)為隨機變量Y,則 PY=2=( )。分析：PX0.5=0.25,Y 服 從B(3,0.25)分 布 ,則9PY=2= C 32 0 .25 2 0 .75= 9 答案填: 64644. 設(shè) X B(2,p),YB(3,p), 且 PX1= 5,則PY 1=( ) 。9分 析 ： 由 PX 1=1-PX=0=2 pp2 = 5， 可 得 p= 1, 則9319PY 1 =1-PY=0 =19 答案填： 27275.

6、設(shè)隨機變量 X 服從均值為 10，標準差為 0.02 的正態(tài)分布，設(shè)（ x）為標準正態(tài)分布函數(shù)，已知（ 2.5 ）=0.993 8, 則 X 落在區(qū)間（ 9.95,10.05）內(nèi)的概率為（）。分析：P9.95x10.05=P9.95-10x-1010.05-10精彩文案實用標準文檔=P-2.5(x-10)/0.022.5=(2.5)- (-2.5)= 2 (2.5)-1=2*0.9938-1=1.9876-1=0.9876 答案填： 0.98761x0,1,36. 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為f ( x )2x3,6,90,其他若 k 使得 P Xk = 2/3,則 k 的取值范圍是（）。分析

7、：x0, F ( x )0x110 x 1 , F ( x)dtx033131x3, F ( x)011dt310 dt323x3x 6 , F ( x )1dt0 dt212221dtxx03139393931162x6 , F ( x)dt1dt0339畫圖！ 答案填： 1 ，3精彩文案實用標準文檔7. 設(shè)隨機變量 X f(x) = 1e| x | ,- x+ , 則 XF(x) =( ) 。21xx0 答案填： F ( x )e,211xx02e ,分析： 當 x0 時，F(xiàn)(x )=xf( t ) dtx 1et dt1e x22當 xx01dtx1t dt10 時， F(x)=f (

8、t ) dte te1ex20228.設(shè) X U(0,2),則 Y= X 2 在(0,4) 內(nèi)的概率密度f Y ( y )（）。均勻分布！ 答案填： 14y分析： 當 0y4 時，F(xiàn) Y ( y )P Yy P X2P Xy F X ( y )y 此時， f Y ( y )F Y ( y )F x (y )1f X( y )1=12y2y4y注：由于 Y= X 2 在(0,4) 內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，可直接用公式做！1f Y ( y )g ( y )f X ( g ( y )0x09. 設(shè) X 的分布函數(shù) F ( x ) A sin x0x2 , 則 A=( ),P |x| 61x2=() 。 答案填

9、：1； 1210.設(shè) X 的分布函數(shù)F(x) 為：精彩文案實用標準文檔0x1F ( x )0 . 41x 1 , 則 X的概率分布為（）。0 . 81 x31x3分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x 是離散型的隨機變量畫圖 答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.11.設(shè) 隨 機 變 量X 的 概 率 密 度 函 數(shù) f ( x )1e x 2 2 x 1 , 則E(X)=( ),D ( X ) =().分析： 由 X 的概率密度函數(shù)可見 X N(1,1) , 則 E(X)=1 ，2D(X)= 1 . 答案 填：1； 1 .2212. 設(shè)隨機變量 X 服從參

10、數(shù)為 2 的泊松分布，且 Z=3X-2, 則E(Z)=( ).答案填： 4泊松分布： P ( Xmm )e(0 , m0 ,1,)m !13. 設(shè) XN(2 ， 2) 且 P2 X4=0.3,則 P X96)=1- P( X 96)=1- ( 24 )=0.023,即( 24 )=0.977, 查表得 24 =2，則=12 ，即且 XN(72,144) ，故 P(60X 84)= P(-1X72121)=2(1)-1=0.682excel 計算的函數(shù)為NORMINV NORMDIST8. 設(shè)測量誤差 XN(0 ， 100) ，求在 100 次獨立重復測量中至少有三次測量誤差的絕對值大于 19.

11、6 的概率，并用泊松分布求其近似值（精確到 0.01 ）。精彩文案實用標準文檔解：由于 XN(0 ，100) ，則P(| X| 19.6)=1-P(| X|19.6)=21-(1.96)=0.05且顯然Y B(100,0.05),故 P(Y3)=1-P( Y2)=1- 0 .951000 .050.95C1000 .050 .95100992298設(shè) =np=100 0.05=5 ，且 Y P(5),則P( Y3)=1-P( Y2)=1-2=0.87534815 ke510 . 124652k 0 k !9. 設(shè)一大型設(shè)備在任何長為 t 的時間內(nèi)，發(fā)生故障的次數(shù) N(t)服從參數(shù)為t 的泊松分

12、布，求：（ 1）相繼兩次故障之間的時間間隔 T 的概率分布；（ 2）在設(shè)備已無故障工作 8 小時的情況下， 再無故障工作 8 小時的概率。解：（ 1） 只需求出 T 的分布函數(shù) F(t) ：當 t t )=10tt1- P( N( t )=0) =1( t )e1e0 !精彩文案實用標準文檔可見 T 服從參數(shù)為的指數(shù)分布 。（ 2） P( T 16| T 8)= P (T1 6 )1 P(T1 6 )1 (1 e1 6 t)8 te8 tP (T8 )1 P(T8 )1 (1 e)10. 設(shè) X 服從參數(shù)為 2 的指數(shù)分布，求證： Y=1- e 2 X 在 0 ，1 上服從均勻分布。證明： 由

13、 X 的分布可見其有效取值范圍是0 ，+), 則 Y的有效取值范圍是 0 ，1 ，從而：當 y 0 時， F( y)=0;當 y1 時， F( y)=1;當 0y1, F( y)= P( Yy)=2 XyP1- e1=P X12 ln( 1 y )y)= yln( 1 y ) =1- e2=1-(1-2對 F( y) 關(guān)于 y 求導數(shù)即得 Y 的密度函數(shù)：1,0y 1f ( y )0 ,其他故 Y 在0 ， 1 上服從均勻分布。11.從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，其概率均為0.4 ，用 X 表示途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學期

14、望。解：顯然 XB(3,0.4),其分布律為 P XiC 30 . 40 . 61，i=0,1,2,3,i130x0270x11256，E(X)=分布函數(shù)為： F ( x )5811x212512x2xx20 ，求隨機變量 Y1的期望 E(Y)。12. 設(shè) X f ( x )2 e2 a,xaX0,x0精彩文案實用標準文檔2xx2解：由 X f ( x)ae 2 a20, x 0 ，可知, x 02111xx2E(Y)E ()f ( x ) dx2e 2 a dxXx0 xa11x 2x()e 2ada 0a22x1t2x2te2(泊松分布e 2 dx令dt)aa02a0232， 013.設(shè)

15、X f ( x )8xx2且Y與X同分布，A( Xa )與0，其它B( Ya ) 獨立， P ( AB )3，求：（ 1） a 值；（ 2） 12的期望。4X解：（1）由設(shè) X f ( x )3x2， 0x 2 且 Y 與 X 同分布， A8( Xa )0，其它與 B( Ya ) 獨立，可知當 a0時021P(A)P ( Xa )f ( x ) dx323210 dxx dx0 dxx0aa0 828P(B)P (Ya )f ( y ) dy1 ，即aP ( AB)P(A)P(B)P( A)P(B)11111與P(A B)3相矛盾，因4而 a0 ，即精彩文案實用標準文檔211P( A)P (

16、Xa )f ( x ) dx320 dx323x dxxa(8a )aa 8288P(B)P (Ya )f ( y ) dy1 ( 8a 3 ) ， 即a8P ( AB )P(A)P(B)P( A)P(B)1a 3 )1a 3 )1(81( 8a 3 )3(8( 8a 3 )88884即 ( 8a3) 216 (8a3 )480，即 a34 ， a34（不合題意，舍去）2112 f ( x ) dx13232（2）E(2 )28x dx8x 0Xx0x3 。414.由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N (,1) ，內(nèi)徑小于10 或大于 12 的為不合格品，其余為合格品，銷售每件

17、合格品獲利，銷售每件不合格品虧損。設(shè)銷售利潤L（元）與銷售零件的內(nèi)徑X 的關(guān)系為1,X10L20,10X125,X12問平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤 最大？,1) ，即 X1x 2解：由 X N (1 N ( 0 ,1) 且 ( x )e2 ，可知2P ( X10 )P ( X10)(10)P(10X12 )P (10X12)(12)(10)P ( X12 )P ( X12)1(12)1,X10由 L20,10X125,X12得 EL(10)20 (12)20( 10) 55(12)精彩文案實用標準文檔25(12) 21 (10)5dEL25(12)21( 10)d112112(

18、12)( 10)令 dEL220 ，即252e21e0d2211212( 12)( 10)2 (11 )即 25e22e即 2 (11 )ln21，111ln2110 .925225平均內(nèi)徑取10.9時，銷售一個零件的平均利潤最大。15.設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0 . 2 ，機器發(fā)生故障時，全天停止工作。一周五個工作日，若無故障，可獲利10 萬元；若發(fā)生一次故障，仍可獲利5 萬元；若發(fā)生兩次故障，獲利為零；若至少發(fā)生三次故障，要虧損 2 萬元。 求一周內(nèi)的利潤期望。解：設(shè)X 一周共五個工作日，機器發(fā)生故障的天數(shù) 且X B(5,0.2)則： P(X0 )C 50. 200 . 850.

19、 327680P ( X1)10 .140 .4096C 520 . 8P ( X2 )20 .220 . 830. 2048C 5P ( X3)1P ( X3 )精彩文案實用標準文檔1 P(X0 )P ( X1)P ( X2 )0 . 0579210 ,X05 ,X1L(X)0 ,X22 ,X3EL10 0 . 3276850 .409600 . 2048(2 )0 . 057925 . 20896所以一周內(nèi)的利潤期望為5 . 20896萬元。16. 設(shè)商店經(jīng)銷某種商品的每周需求量X 服從區(qū)間10 , 30 上的均勻分布，而進貨量為區(qū)間 10 , 30 中的某一個 整數(shù)，商店每售一單位商品可

20、獲利 500 元，若供大于求， 則削價處理， 每處理一單位商品虧損 100 元，若供不應(yīng)求， 則從外部調(diào)劑供應(yīng)， 此時每售出一單位商品僅獲利300 元，求此商店每周最小進貨量為多少，可使獲利的期望不少于9280 元。解：設(shè)一商店經(jīng)銷某種商品的每周進貨量為a 且10a30當 10Xa 時， L500X100 ( aX )600X100a當 aX30時， L500a300 (Xa )300X200a即L600X100 a10Xa300X200 aaX30精彩文案實用標準文檔且1， 1 0x 30X f ( x )200，其它E ( L ( X )L ( x ) f ( x ) dxa1301( 6

21、00 x 100 a )( 300 x 200 a )dxdx1020a202a15 x5 ax 1015230(x10 ax ) a25250350 a7 .5 a2令E(L(X)9280 ，即 5250350 a29280 ，即 202，取 a21。7 .5 aa263答：此商店每周最小進貨量為21 個單位，可使獲利的期望不少于 9280 元。17. 設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立，均在區(qū)間 1,3 上服從均勻分布，引進事件 AXa ， B Ya 且 P ( AB )7 。求：（ 1） a 值；（ 2）91 的數(shù)學期望。X解：（1）由 X與 Y在 1 ,3上均服從均勻分布，可知1， 1x3， Y f ( y )1， 1y3X f ( x )22，0其它0其它當 a1 時aP( A)P ( Xa )f ( x ) dx0 dx0aaP ( B ) P ( Ya )1 P (Ya )1f ( y ) d y 10 d y 1 01由隨機變量 X與 Y相互獨立， 可知事件A Xa 與 B Ya 也是精彩文案實用標準文檔相互獨立的。P ( AB )P(A)P(B)P( A)P(B