空間向量知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、空間向量知識點(diǎn)歸納總結(jié)知識要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（ 2）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPa(R)運(yùn)算律：加法交換律：abba加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3. 共線向量。(ab )ca(bc)(ab )ab（ 1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量， a 平行于 b ，記作

2、a / b 。當(dāng)我們說向量 a 、 b 共線（或 a / b ）時，表示 a 、 b 的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（ 2）共線向量定理： 空間任意兩個向量 a 、b（ b 0 ），a / b 存在實(shí)數(shù) ，使 a b 。4. 共面向量（ 1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（ 2）共面向量定理：如果兩個向量a, b 不共線， p 與向量 a,b 共面的條件是存在實(shí)數(shù)x, y 使 pxayb 。5. 空間向量基本定理：如果三個向量 a, b, c 不共面，那么對空間任一向量 p ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y,

3、z ，使 p xa yb zc 。若三向量 ab,c不共面，我們把 a, b, c 叫做空間的一個基底，a,b , c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè) O , A, B,C 是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P ，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x, y, z ，使 OPxOAyOBzOC 。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（ 1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中，對空間任一點(diǎn)A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組( x, y, z) ，使OA xi yi zk ，有序?qū)崝?shù)組( x, y, z) 叫作向量 A 在空間直角坐標(biāo)系O xyz 中的坐標(biāo)，記作 A(x,

4、 y, z) ， x 叫橫坐標(biāo)，y 叫縱坐標(biāo)， z 叫豎坐標(biāo)。（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位正交基底，用 i , j ,k 表示。（ 3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若 a (a1 , a2 , a3 ) ， b(b1, b2 , b3 ) ，則 a b(a1 b1 , a2b2 ,a3 b3 ) ，a b (a1b1, a2b2 ,a3b3 ) ，a ( a1 , a2 , a3 )(R) ，a b a1b1a2b2 a3b3 ，a / b a1b1, a2b2 , a3b3 ( R) ，a b a1b1 a2 b2a3b30 。若 A( x1, y1,

5、z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則 AB ( x2x1, y2y1, z2z1 ) 。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。（ 4）模長公式：若 a(a,a , a ) ， b(b ,b , b ) ，123123則 | a |a aa12a22a32， | b |b bb1 2b22b32（ 5）夾角公式： cos a ba ba1b1a2 b2a3b3。22222| a | | b |2a1a2a3 b1b2b3（ 6）兩點(diǎn)間的距離公式：若A( x1, y1, z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，2( y2 y1

6、)2( z2z1 )2則|AB|AB( x2 x1 )2，或 dA,B( x2x1) 2( y2y1) 2( z2z1) 27. 空間向量的數(shù)量積。（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a, b，在空間任取一點(diǎn)O ，作OAa, OBb，則AOB 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作 a,b；且規(guī)定 0a,b，顯然有a,bb, a；若a,b，則稱 a 與 b 互相垂直，記作： ab 。2（ 2）向量的模： 設(shè) OAa ，則有向線段 OA 的長度叫做向量a 的長度或模， 記作：| a |。（ 3）向量的數(shù)量積：已知向量a, b ，則 | a | b | cos a,b 叫做 a, b 的數(shù)量

7、積，記作 a b ，即 a b |a| |b | cos a,b。（ 4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： a e| a | cosa, e。 ab a b0 。 | a |2a a 。（ 5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律： ( a) b(a b)a ( b) 。 a bb a （交換律）。 a (bc)a ba c （分配律）。（ 6）：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：1. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a (a1 , a2 , a3 ) ， b (b1 ,b2, b3 ) 則(1)a b (a1b1, a2 b2 , a3 b3 ) ；(2)a b ( a1b1 , a2b2 ,a3 b3 ) ；(3) a (a1,a2 ,

8、a3 ) ( R)；(4)a · b a1b1a2b2a3b3 ；2. 設(shè) A( x1, y1 , z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則 ABOBOA = (x2rr3、設(shè) a( x1 , y1 , z1 ) ， b(x2 , y2 , z2 ) ，則rrrrrrr rrr0a Pbab(b0) ；aba b4. 夾角公式設(shè) a (a,1 a2 ,a3) ，b (b,b12,b3) ，則 cos, a b5異面直線所成角rrr rcos| a b | x1x2y1 y2z1 z2 | cos a,b|= rry12z12x2 2y22| a | | b |x126平面

9、外一點(diǎn) p 到平面的距離x1 , y2y1 , z2z1 ) .x1 x2y1 y2z1z20 .ababab112 23 3.222222bba1a23a12b 3z22.n已知 AB 為平面的一條斜線，n 為平面的一個法向量， A 到平面| ABn |的距離為： d| n |【典型例題】例 1. 已知平行六面體ABCDABCD，化簡下列向量表達(dá)式， 標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。 ABBC ； ABADAA ； ABAD1CC；1(ABADAA)。D'C'23A'B'MGDC例 2. 對空間任一點(diǎn) O 和不共線的三點(diǎn)A, B,C，問滿足向量式：ABOPxOAyOBzO

10、C （其中 xyz1 ）的四點(diǎn) P, A, B, C 是否共面？例 3. 已知空間四邊形OABC ，其對角線 OB, AC ， M , N 分別是對邊 OA, BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) G 在線段 MN 上，且 MG 2GN ，用基底向量 OA, OB,OC 表示向量 OG。例 4. 如圖，在空間四邊形OABC中， OA 8， AB6，AC4 ，BC5， OAC45 ，OAB 60 ，求 OA 與BC 的夾角的余弦值。O說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如切記！例 5. 長方體 ABCDA1 B1C1D1 中， AB與 BC 的交點(diǎn)，又 AFBE ，求長方體的高1ACBOA, AC135 易錯寫成OA,

11、 AC45 ，BC4，E為AC 與BD 的交點(diǎn)， F 為BC11111BB1 。空間向量與立體幾何練習(xí)題一、選擇題z1. 如圖，棱長為 2 的正方體 ABCD ABC111D1 在空間直角坐標(biāo)D 1C1系中，若 E, F 分別是 BC, DD1 中點(diǎn)，則 EF 的坐標(biāo)為（A 1B1）FA. (1,2,1)B.( 1,2,1)C.( 1,2,1)D.(1, 2,1)D(O)Cy2如圖， ABCD A1B1C1D1 是正方體， B1E1D1F1 A1 B1 ，則 BE1 與 DF1EAB4x所成角的余弦值是（） 15BA178DC1712323. 在四棱錐PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，

12、 E 為 PD 中點(diǎn)，若圖PA a ， PBb ， PCc ， 則 BE（）A. 1 a1 b1 cB.1 a1 b1 c222222C. 1 a3 b1 cD.1 a1 b3 c222222圖二、填空題4. 若點(diǎn) A(1,2,3) , B( 3,2,7) , 且 AC BC0 , 則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 _.5在正方體 ABCD ABC111D1 中，直線 AD 與平面 A1 BC1 夾角的余弦值為三、解答題1、在正四棱柱ABCD-AB C D 中 , AB1與底面 ABCD所成的角為，11114（1）求證 BD1面AB 1C （ 2）求二面角 B1AC B 的正切值2在三棱錐 P ABC中，

13、ABAC3AP4, PA 面ABC , BAC90 ,D是PA中點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且 BE2CE ,(1) 求證： ACBD ； (2)求直線 DE 與 PC 夾角 的余弦值； (3) 求點(diǎn) A 到平面 BDE 的距離 d 的值 ._.PDACEB3在四棱錐PABCD中，底面 ABCD是一直角梯形， BAD=90°，AD BC，AB=BC=a，AD=2a，且 PA底面 ABCD， PD與底面成 30°角（1）若 AE PD， E為垂足，求證： BE PD；（2）求異面直線 AE與 CD所成角的余弦值4、已知棱長為 1 的正方體 AC1，E、F 分別是 B1C1、C1D 的中

14、點(diǎn)（ 1）求證： E、F、D、B共面；（2）求點(diǎn) A1 到平面的 BDEF的距離；（ 3）求直線 A1D與平面 BDEF所成的角5、已知正方體ABCD A1B1C1D1 的棱長為 2，點(diǎn) E為棱 AB的中點(diǎn)，求：（） D1E與平面 BC1D所成角的大??； （）二面角D BC1 C的大??；【模擬試題】1. 已知空間四邊形ABCD ，連結(jié) AC, BD ，設(shè) M ,G 分別是 BC, CD 的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1） AB BCCD ； （2） AB1 (BDBC) ；2（3） AG1(AB AC)。22. 已知平行四邊形 ABCD ，從平面 AC 外一點(diǎn) O 引向量。O

15、EkOA, OFkOB,OGkOC,OHkOD 。（ 1）求證：四點(diǎn)E, F ,G, H 共面；（ 2）平面 AC / 平面 EG 。3. 如圖正方體 ABCDA1 BC11 D1 中， B1E1 D1 F11 A1B1 ，4求 BE1與 DF1 所成角的余弦。4. 已知空間三點(diǎn) A （ 0，2， 3）， B（ 2， 1， 6）， C（ 1， 1， 5）。求以向量 AB, AC 為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量 a 分別與向量AB, AC垂直，且|3，求向量 a 的坐標(biāo)。a 5.已知平行六面體ABCDABCD 中， AB 4,AD 3,AA5, BAD 90 ，BAADAA60 ，求 A

16、C 的長。AC / 平面 參考答案 1. 解：如圖，（1） ABBC CD ACCDAD ；（2） AB1 (BDBC )AB1 BC1BD 。222AB BMMGAG ；（3） AG1AC )AGAMMG 。( AB22. 解：（ 1）證明：四邊形ABCD 是平行四邊形，ACABAD ， EGOGOE ，k OCk(OBk OAOAODk (OC OA)OA)OFk AC OEk (ABOHOEAD )EFEH E,F ,G,H 共面；（ 2）解： EFOFOEk (OBOA)k AB ，又 EGk AC ， EF / AB,EG / AC 。所以，平面EG 。3.解：不妨設(shè)正方體棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz ，則 B(1,1,0) ， E1 (1,3， F1 (0,1,1) ， D (0,0,0),1) ，44 BE1(0,1 ,1) ， DF1(0, 1 ,1) ，44 BE1DF117，4BE1 DF111) 1 1150 0 (4。4161515cos BE1 , DF116。171717444.分析：AB(2,1,3), AC(1, 3,2),cosB