高二定積分地計算(理科)

1、實用標準文案年級高二學科數(shù)學內容標題定積分的計算編稿老師胡居化一、教學目標：1.理解定積分的基本概念并能利用定積分的幾何意義解決一些簡單的積分計算問題.2.理解微積分的基本定理，并會用定積分公式解決簡單函數(shù)的定積分問題.二、知識要點分析b1.定積分的概念：函數(shù)f (x) 在區(qū)間 a ， b 上的定積分表示為：f ( x) dxa2.定積分的幾何意義：b（ 1 ）當函數(shù)f （ x）在區(qū)間 a ， b 上恒為正時，定積分f (x)dx 的幾何意義是： y=fab（x）與 x=a ，x=b及 x 軸圍成的曲邊梯形面積，在一般情形下. f ( x)dx 的幾何意義是介a于 x 軸、函數(shù) f（ x）的圖

2、象、以及直線 x=a ， x=b 之間的各部分的面積代數(shù)和，在x 軸上方的面積取正號，x 軸下方的面積取負號 .bbb在圖（ 1 ）中： f ( x )dx s0 ，在圖（ 2）中： f(x )dx s 0 ，在圖（ 3 ）中： f (x )dxaaa表示函數(shù) y=f （ x）圖象及直線x=a ，x=b 、 x 軸圍成的面積的代數(shù)和 .b注：函數(shù) y=f （ x）圖象與 x 軸及直線 x=a ， x=b圍成的面積不一定等于f ( x)dx ，abf (x)dx .僅當在區(qū)間 a， b 上 f （x）恒正時，其面積才等于a3. 定積分的性質， （設函數(shù) f （ x）， g （ x）在區(qū)間 a，

3、b 上可積）bbb（ 1）f (x )g(x ) dxf ( x)dxg( x )dxaaa文檔實用標準文案bb（ 2）kf ( x)dxk f ( x)dx ，（ k 為常數(shù)）aabcb（ 3） f ( x)dxf ( x) dxf ( x)dxaac（ 4）若在區(qū)間 a， b 上， f ( x)0,則b0f ( x)dxa推論：（ 1）若在區(qū)間 a ，b 上， f ( x)bbg( x), 則f ( x)dxg(x)dxaa（2） |bbf ( x) dx | f ( x) | dxaaaaf ( x)dx ，若（fa（ 3）若（f x）是偶函數(shù)，則f ( x)dx2x）是奇函數(shù)，則f (

4、x)dx 0a0a4. 微積分基本定理：一般地，若'()(),且(在,上可積，則b( )( )()Fxfxfx)bfaaxdx F bFa注：（ 1 ）若 F ' ( x)f ( x) 則 F（ x）叫函數(shù) f（ x）在區(qū)間 a ，b 上的一個原函數(shù)，根據(jù)導數(shù)定義知： F（ x） +C 也是 f （x）的原函數(shù)，求定積分bf ( x)dx 的關鍵是求 f （x）的a原函數(shù)，可以利用基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)的四則運算法則從反方向求F（ x）.（ 2）求導運算與求原函數(shù)的運算互為逆運算.【典型例題】知識點一：定積分的幾何意義例 1根據(jù)2x=0 ，x= 2， y=0y=sinx

5、所圍sin xdx 0 推斷：求直線和正弦曲線0成的曲邊梯形面積下列結論正確的是（）A面積為0B曲邊梯形在C曲邊梯形在D曲邊梯形在x 軸上方的面積大于在x 軸下方的面積x 軸上方的面積小于在x 軸下方的面積x 軸上方的面積等于在x 軸下方的面積2題意分析： 本題考查定積分的幾何意義，注意sin xdx 與 y=sinx及直線 x=a ，x=b和 x0軸圍成的面積的區(qū)別 .文檔實用標準文案思路分析： 作出函數(shù) y=sinx 在區(qū)間 0 ， 2 內的圖象及積分的幾何意義及函數(shù)的對稱性可判斷 .解：對于（ A ）：由于直線 x=0 ，x= 2 ，y=0和正弦曲線 y=sinx 所圍成的曲邊梯形面積為

6、正可判斷 A 錯.對于（ B），（ C）根據(jù) y=sinx 在 0 ， 2 內關于（,0) 對稱知兩個答案都是錯誤的 .根據(jù)函數(shù) y=sinx 的圖象及定積分的幾何意義可知：答案（D ）是正確的 .解題后的思考： 本題主要考查定積分的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)與形結合的思想的應用，易錯點是混淆函數(shù) y=sinx 與 x 軸、直線 x=0 ， x= 22圍成的面積等于f (x)dx .0例 2 利用定積分的幾何意義，說明下列等式的合理性12xdx 1（ 1）011x2 dx.（ 2）04題意分析： 本題主要考查定積分的幾何意義：在區(qū)間0 ，1 上函數(shù) y=2x，及 y=1x2恒111x2 dx為正時，定

7、積分2xdx 表示函數(shù)y=2x 圖象與 x=0 ，x=1 圍成的圖形的面積，00表示函數(shù) y=1x2 圖象與 x=0 ，x=1圍成的圖形的面積 .思路分析： 分別作出函數(shù) y=2x及 y=1 x2的圖象，求此圖象與直線x=0 ， x=1圍成的面積 .解：（ 1 ）在同一坐標系中畫出函數(shù)y=2x的圖象及直線 x=0 ，x=1 （如圖），它們圍成的圖11形是直角三角形 .其面積 S =2 11.由于在區(qū)間 0 ，1 內 f（x）恒為正， 故2 xdx1.20（ 2）由 y1 x 2x2y 21, x 0,1 ，故函數(shù) y 1 x2（ x0,1的圖象如圖所示，所以函數(shù)y1 x 2與直線 x=0 ，

8、x=1圍成的圖形面積是圓x 2y 21 面積的四分之一，又 y1 x 21x 2 dx在區(qū)間 0 ，1 上恒為正 .104文檔實用標準文案解題后的思考： 本題主要考查利用定積分的幾何意義來驗證函數(shù)y=2x 及函數(shù) y=1x 2 在區(qū)間 0 ， 1上的定積分的值，體現(xiàn)了數(shù)與形結合的思想的應用，易錯點是畫函數(shù)圖象的不準確造成錯誤的結果 .例 3 利用定積分的幾何意義求4(| x 1| | x3 |)dx 的值 .04題意分析：本題考查定積分的幾何意義，(| x 1| | x 3 |)dx 的 值 是 函 數(shù)0y | x 1| x3 | 的圖象與直線x=0 ，x=4所圍成圖形的面積 .思路分析：首先

9、把區(qū)間 0 ，4 分割為 0 ，1 ， 1 ， 3 ， 3 ， 4 ，在每個區(qū)間上討論x1 ，x 3的符號， 把函數(shù) y | x1 | x 3 | 化為分段函數(shù)， 再根據(jù)定積分的幾何意義求4| x3 |)dx 的值 .(| x 1 |02x4,( x0,1解： 函數(shù) y| x1 | | x 3 |化為 y2, ( x1,32x4, ( x3,42x4, (x 0,1由于函數(shù) y 2, ( x1,32 x4, (x 3,4在區(qū)間 0， 1，1 ，3 ， 3， 4都恒為正 .設函數(shù) y= 2x+4 的圖象與直線x=0 ， x=1 圍成的面積為 S1函數(shù) y=2的圖象與直線x=1 ， x=3 圍成的

10、面積是 S2函數(shù) y=2x4 的圖象與直線x=3 ， x=4 圍成的面積是 S3由圖知： S1=S 3= 1 (42)13, 2=22 42S由定積分的幾何意義知：4(| x1 | x3 |)dx = S1S3 S2100解題后的思考：本題考查的知識點是定積分的幾何意義，利用其幾何意義求定積分4| x 3 |)dx 的值，體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想（把區(qū)間(| x 1 |0 ， 4 分割，把函數(shù)0y=|x 1|+|x 3| 化成分段函數(shù)） 、數(shù)與形結合的思想的應用.易錯點是：區(qū)間0， 4分割文檔實用標準文案不當及畫函數(shù)圖象不準確，造成錯誤的結果.當被積函數(shù)含有絕對值時，常采用分割區(qū)間把函數(shù)化為分

11、段函數(shù)的方法求定積分的值.小結： 本題主要考查定積分的幾何意義，要分清在區(qū)間a ，b 上 f（ x）恒為正時， f（ x）在區(qū)間 a ， b 上定積分值才等于函數(shù)圖象與直線x=a ，x=b圍成的面積 .在畫函數(shù)圖象時注意 x 的取值區(qū)間 .當被積函數(shù)含有絕對值時，恰當?shù)姆指顓^(qū)間把函數(shù)畫為分段函數(shù)再求定積分的值 .知識點二：定積分的計算1， x=2 ，曲線 y1）例 1 由直線 x及 x 軸圍成的面積是（2x15171D 2ln2ABC ln 2442題意分析： 本題表面上考查定積分的幾何意義，實質是考查定積分的基本運算，關鍵是理解2 1所求圖形面積是定積分1dx 的值 .2 x思路分析： 利用

12、導數(shù)求出1 的原函數(shù)是 ln x .再利用微積分的基本定理求 .x解： (ln x)'12 12ln 2 ln1，1dx = ln x |12 ln 2 .x2 x22故選（ D）解題后的思考： 求定積分的值關鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，可利用導數(shù)求被積函數(shù)的原函數(shù)，易錯的地方是：求被積函數(shù)的原函數(shù)有誤.例 2 求下列定積分的值13)dx（ 1）(2x01x3 )dx（ 2）(12（ 3）0(cos t et )dt題意分析： 本題考查定積分的基本計算，先直接求被積函數(shù)的原函數(shù)，再利用定積分的運算性質和微積分基本定理求定積分的值.思路分析：（1） 利 用 導 數(shù) 求 被 積 函 數(shù) 2 x

13、 3,1 x3 , costet 的 原 函 數(shù) 分 別 是x 23x, x1 x 4 , sin t et ，再由微積分基本定理可求 .4文檔實用標準文案解：（1）( x 23x) '2x3，13x) |10 1 3 4(2x 3) dx ( x 20（ 2 ） (x1 x 4 )' 1 x 34(1 x3 )dx ( x1 x4 ) |1 2(11) 2( 2)427124444（ 3 ）(sin tet) 'costet ，0et)dt(sin t et) |000(cos tsin tdtet dt= sin x |0et|011e解題后的思考： 本題是定積分的

14、簡單的運算，解題的關鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，能利用求導的方法求原函數(shù)，體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想的應用 .易錯點是求原函數(shù) .要注意定積分運算法則的應用 .例 3 求下列定積分的值（ 1）2 sin 2 x dx0 2（ 2）cos(x)dx36題意分析： 本題仍是定積分的運算，被積函數(shù)不是我們學過的基本初等函數(shù)，要把被積函數(shù)轉化為基本的初等函數(shù) .思路分析： 利用三角函數(shù)的降冪公式把被積函數(shù)化為：sin 2x1 (1 cos x) ，利用余弦的22差角公式把被積函數(shù)化為：cos( x)3 cos x1 sin x ，再利用定積分的運算法則及622微積分的基本原理求 .解：（1）2 sin 2x

15、 dx =2 1cos x dx =12 (1cosx)dx =1 (2 dx2 cos xdx)020220200=1 ( x |02sin x |02 )1 (1)22224（ 2）cos(x)dx =(3 cosx1 sin x)dx =3cosxdx1sin xdx363222323文檔實用標準文案=3 sin x |1 cosx |3 sin1 (coscos)023232323解題后思考： 本題的解題關鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導數(shù)的方法求原函數(shù)，若被積函數(shù)不是初等函數(shù)要轉化為基本的初等函數(shù)，這樣便于利用導數(shù)求原函數(shù)，其中體現(xiàn)等價轉化的數(shù)學思想的應用.小結： 本題組主要是考查定

16、積分的計算，求被積函數(shù)的原函數(shù)是解題的關鍵，要熟練的掌握導數(shù)的運算法則、 公式便于求被積函數(shù)的原函數(shù)，同時對較復雜的被積函數(shù)要轉化為基本的初等函數(shù) .同時注意定積分的運算的性質、法則的應用.會給解題帶來很大的方便.【本講涉及的數(shù)學思想、方法】：本講主要講述定積分的幾何意義及定積分的基本運算， 在考查定積分幾何意義的知識點上體現(xiàn)了數(shù)與形相結合數(shù)學思想的應用， 在定積分的運算過程中體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想的應用 .【模擬試題】（答題時間： 60分鐘，滿分 60分）一、選擇題 （每題5 分，計 30分）b1設連續(xù)函數(shù) f （ x） >0恒成立，則當a<b 時，定積分f ( x) 的符號是

17、（）aA一定是正的B一定是負的C當 0<a<b時是正的，當a<b<0 時是負的D 以上都不對k3x2 )dx 0, 則 k= （2若(2 x）0A 0B 1C0或1D 以上都不對33與定積分1 cos xdx 相等的是（）0A3sinx dxB3| sinx | dx2202022 |3Csin x dx |D以上都不對 .024 2 (3xsin x) dx = （）0321321321321AB CD 84486f ( x)dx6f ( x)dx （5已知 f（ x）是偶函數(shù)，且08，則）6文檔實用標準文案A 0B4C8D1662 (1 cos x) dx 等于（）

18、2AB 2C2D 2二、計算題7求下列定積分的值： （每題 5 分，計 20 分）222x 1)dx（ 1） ( x（2 ）10221 )dx（ 3） ( x x（4 ）1x11(x 1)2x)dx （10 分）8求定積分10(sin xcos x)dx( 1cos x)dxx文檔實用標準文案【試題答案 】一、選擇題1（ A ）解析：由定積分的幾何意義可知：選（A ）k2dxx 2 |0kx 3|0kk2k 2xdx3x2（ C）解析：( 2x3x )dx 00,002k 30k 0或 k1k3（ B）解析：1cos x1(12 sin 2 x )24（ A ）解析：當 x0, 時， sin x0,| sin x |當 x , 3 時， sin x0,| sin x |sin x2x2 | sin|2sin x ；065（D ）解析：原式 =f ( x)dxf ( x) dx ，由 f（ x）是偶函數(shù)， f（x）圖象在 y 軸60兩側對稱 .故原式 =166（ D ）解析：2 (1cos x) dx = (x sin x) |2 =222二、計算題7解：（1 ）( x 22x 1)dx = x3|12x 2 |12x |12192133（ 2 ）(sin xcosx) dx = (cos x) |0sin x |0 202（ 3 ）