高等數(shù)學(xué)下冊電子教案設(shè)計

1、實用標(biāo)準(zhǔn)第四章常微分方程 41基本概念和一階微分方程甲內(nèi)容要點(diǎn)一基本概念1 常微分方程含有自變量、 未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分） 的方程稱為微分方程，若未知函數(shù)是一元函數(shù)則稱為常微分方程， 而未知函數(shù)是多元函數(shù)則稱為偏微分方程， 我們只討論常微分方程，故簡稱為微分方程，有時還簡稱為方程。2 微分方程的階微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該微分方程的階3微分方程的解、通解和特解滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解；通解就是含有獨(dú)立常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解；通解有時也稱為一般解但不一定是全部解；不含有任意常數(shù)或任意常數(shù)確定后的解稱為特解。4微分方程的初始條件要求自變量取某定值時， 對

2、應(yīng)函數(shù)與各階導(dǎo)數(shù)取指定的值， 這種條件稱為初始條件， 滿足初始條件的解稱為滿足該初始條件的特解。5 積分曲線和積分曲線族微分方程的特解在幾何上是一條曲線稱為該方程的一條積分曲線；而通解在幾何上是一族曲線就稱為該方程的積分曲線族。6線性微分方程如果未知函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都是一次項，而且它們的系數(shù)只是自變量的函數(shù)或常數(shù)，則稱這種微分方程為線性微分方程。 不含未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的項稱為自由項， 自由項為零的線性方程稱為線性齊次方程；自由項不為零的方程為線性非齊次方程。文檔實用標(biāo)準(zhǔn)二變量可分離方程及其推廣1 變量可分離的方程（ 1）方程形式： dyP x Q yQ y0dx通解dyCP x dxQ y

3、（注：在微分方程求解中，習(xí)慣地把不定積分只求出它的一個原函數(shù)，而任意常數(shù)另外再加）（ 2）方程形式： M 1 x N1 y dxM 2 x N 2y dy 0通解M 1 x dxN 2 y dyCM 2 x0, N 1 y 0M 2 xN 1y2 變量可分離方程的推廣形式（ 1）齊次方程 dyf ydxx令 y u ，x則 dyux dufudxdxdudxcln | x | cf uux（ 2） dyf axbyc a0,b0dx令 axbycu ，則 du a bf u dxdudxxcabf u（ 3） dya1 xb1 yc1fb2 yc2dxa2 xa1b1a1 x b1 y c10

4、當(dāng)b20 情形，先求出的解 ,a2a2 x b2 y c20文檔實用標(biāo)準(zhǔn)令 ux， vya1b1v則 dvfa1u b1 vfu 屬于齊次方程情形dua2 u b2 va2b2va1b1當(dāng)0 情形，a2b2令 a2b2 a1 b1則 dyfa1 x b1 y c1dxa1 x b1 y c2令 u a1 x b1 y ，dudy則 dxa1 b1 dx a1 b1 f屬于變量可分離方程情形。三一階線性方程及其推廣1一階線性齊次方程uu c1 u c2dydxP x y0它也是變量可分離方程，通解公式y(tǒng)CeP x dx ，（ c 為任意常數(shù)）2一階線性非齊次方程dydxP x yQ x用常數(shù)變易

5、法可求出通解公式令 y C x e P x dx代入方程求出C x則得 yeP x dxQ x e P x dx dxC文檔實用標(biāo)準(zhǔn)3貝努利方程dy0,1P x y Q x ydx令 zy1dz把原方程化為1P x z1Q x再按照一階線性非齊次方程求解。4方程： dyQ y1dxP y x可化為 dxP y xQ ydy以 y 為自變量， x 為未知函數(shù)再按照一階線性非齊次方程求解。四全微分方程及其推廣（數(shù)學(xué)一）1 全微分方程P x, y dx Q x, y dy0，滿足QPxy通解： u x, yC ，其中 u x, y 滿足 du x, yP x, y dxQ x, y dy求 u x,

6、 y 的常用方法。第一種：湊全微分法P x, y dx Q x, y dydu x, y把常見的一些二元函數(shù)的全微分公式要倒背如流，就很有幫助。（ 1）（ 2）xdxydydx 2y 2；2xdxydydx 2y 2；2（ 3） ydxxdyd xy ；文檔實用標(biāo)準(zhǔn)（ 4） ydxxdyd ln xy ；xy（ 5） xdxydyd1 ln x 2y 2；x 2y 22（ 6） xdxydyd1 ln x 2y 2；x 2y 22（ 7） xdyydxdy；x2x（ 8） ydxxdydx；y2y（ 9） ydxxdydarctan x；x 2y 2y（ 10） xdyydxd arctan

7、y；x 2y2x（ 11） ydxxdyd1 ln xyx 2y22xy（ 12） xdyydxd1 ln xyx 2y22xy；（ 13） xdxydyd11；x2y 222x 2y 2（ 14） xdxydyd11；x2y 222x2y 2（ 15）xdxydy2d1arctan x2y2；1x 2y 22（ 16）xdxydy2d 1 arctan x 2y2；1x 2y 22第二種：特殊路徑積分法（因為積分與路徑無關(guān)）文檔實用標(biāo)準(zhǔn)x, yu x, yu x0 , y0P x, y dx Q x, y dyx0 , y0xyu x0 , y0x0P x, y0dxQ x, y dyy0第

8、三種：不定積分法由 uP x, y 得xu x, yP x, y dxC y對 y 求導(dǎo)，uP x, y dx C y ，得 Q x, yyy求出 Cy 積分后求出 C y2 全微分方程的推廣（約當(dāng)因子法）設(shè) P x, y dxQ x, y dy 0 不是全微分方程。不滿足QPxy但是存在 R x, y使得 R x, y P x, y dxR x, y Q x, y dy0 為全微分方程，也即滿足RQRPx y則 R x, y 稱為約當(dāng)因子，按全微分方程解法仍可求出R x, y P x, y dxR x, y Q x, y dydu x, y通解 u x, yC 。文檔實用標(biāo)準(zhǔn)這種情形，求約當(dāng)

9、因子是關(guān)鍵。乙典型例題5432 考研論壇（ ）友情提供下載一變量可分離方程及其推廣例 1求下列微分方程的通解。（ 1） xy 2x dx y x2 y dy 0（ 2） ex yex dx ex yey dy 0例 2求下列微分方程的通解。（ 1） dyyyx2 dyxy dyex（ 2） y 2dxxdxdx（ 3） x dyy ln yln x（ 4） dyx 4 y 1 2dxdx解：（ 1）令 yu ，則 dyu x du ，原方程化為xdxdxu x dueuu ，dudxC1dxeuxe uln xC1ln Cxye xln Cxy（注：ex0,0Cx1）2y 2y（ 2） y 2

10、x2xy dy0 ； dyx2xdxdxxyy1x令 yu ，則 ux duu 2xdxu1udxx 1u du01 udxC1udux文檔實用標(biāo)準(zhǔn)ln xuuC1yxueC1 uCe u ，y Ce x（ 3） dyy ln y ，令yu ，則 ux duu ln udxxxxdxdudxln ln u 1ln Cxu ln u1C1xln u 1Cx ， u e1Cx ， yxe1 Cx（ 4）令 x4 y 1 u，則dudx ，dudx C14u 214u 21x 1uC1 arctan2 x4y 1C2arctan22例 3求微分方程 x dyyx2y 2 的通解。dx例 4求微分方程

11、 dyydxxx2y2例 5求微分方程 y x 1 x2 dy1 y232的通解。dx例 6求微分方程dy2y 2xydxx2xyy2 的通解。2例 7求微分方程 dy2y2dxxy 1例 8求微分方程 dyyx1 的通解dxyx5二一階線性方程及其推廣文檔實用標(biāo)準(zhǔn)例求下列微分方程的通解（ 1） dy2 y5（ 2） x dy2 y sin xx1 2dxx 1dx（ 3） dyyy4（4） xsin y dytan ydx 0dxx解：（ 1）直接用常數(shù)變易法對應(yīng)的齊次線性方程為dy2 y，通解 y C x1 2dxx 1dy2y5x 1 2令非齊次線性方程x 1 2 的通解為 y C xd

12、xx1代入方程得 C x x 1 2x 112 x 1C xx 1 2 ， C x35232 C231 2272故所求方程的通解為yx 1 2Cxx 1 2 C x 133（ 2）直接用通解公式（先化標(biāo)準(zhǔn)形式dy2 ysin x ）2sin xdxxxP x， Q xxx2sin x2通解y edxdxCxexdxx1xsin xdx C1sin xxcos xCx2x2x 看作未知函數(shù)， y 看作自變量，（ 3）此題不是一階線性方程，但把所得微分方程dxxy 4即 dx1 xy 3dyydyy是一階線性方程P y1， Q yy3y1dy11 y4x e ydyy3e y dy CCy3（ 4

13、）此題把 x 看作未知函數(shù)，y 看作自變量所得微分方程為dxcot y xcos y ， P ycot y ， Qycos ydyxcot ydycos yecot ydydy C11 sin 2yCesin y2文檔實用標(biāo)準(zhǔn)4 2特殊的高階微分方程（數(shù)學(xué)四不要）甲內(nèi)容要點(diǎn)一可降階的高階微分方程方程類型解法及解的表達(dá)式y(tǒng)n通解 yf x dx nC1 xn 1C2 x n 2Cn 1 x Cnf xn 次令 yp ，則 yp ，原方程yfx, ypf x, p 一階方程，設(shè)其解為pg x, C1 ，即 yg x, C1 ，則原方程的通解為yg x, C1 dxC2 。令 yp ，把 p 看作

14、y 的函數(shù)，則 ydpdpdyp dpdxdydxdy把 y， y 的表達(dá)式代入原方程，得dp1 fy, p 一階方程，yfy, ydyp設(shè)其解為 p gy,C1 , 即 dy g y, C1，則原方程的通解為dxdyxC 2 。g y, C1二線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)， 其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線性微分方程。二階齊次線性方程yp x yq x y0（ 1）二階非齊次線性方程yp x yq x yfx（ 2）1 若 y1 x ， y2x 為二階齊次線性方程的兩個特解，則它們的線性組合文檔實用標(biāo)準(zhǔn)C1 y1 xC 2 y2 x （ C1 ，C 2 為任

15、意常數(shù)） 仍為同方程的解， 特別地， 當(dāng) y1 xy2 x （為常數(shù)），也即 y1 x 與 y2 x 線性無關(guān)時，則方程的通解為yC1 y1 xC2 y2 x2若 y1 x ， y2 x 為二階非齊次線性方程的兩個特解，則y1 xy2 x 為對應(yīng)的二階齊次線性方程的一個特解。3若 y x 為二階非齊次線性方程的一個特解，而y x 為對應(yīng)的二階齊次線性方程的任意特解，則y xy x 為此二階非齊次線性方程的一個特解。4若 y 為二階非齊次線性方程的一個特解，而 C1 y1 xC 2 y2 x 為對應(yīng)的二階齊次線性方程的通解（C1 ， C 2 為獨(dú)立的任意常數(shù)）則yy xC1 y1 xC 2 y2

16、 x 是此二階非齊次線性方程的通解。5設(shè) y1 x 與 y2 x 分別是 yp x yq x yf 1 x 與yp x yq x yf 2 x 的特解，則y1 xy2 x 是yp x yq x yf1 xf 2 x 的特解。三二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程1 二階常系數(shù)齊次線性方程ypyqy 0其中 p ， q 為常數(shù)，特征方程2pq0特征方程根的三種不同情形對應(yīng)方程通解的三種形式（ 1）當(dāng)p24q0，特征方程有兩個不同的實根1 ， 2則方程的通解為yC1e 1 xC 2 e 2 x（ 2）當(dāng)p24q0，特征方程有二重根12則方程的通解為yC1C2 x e 1 x（ 3）當(dāng)p24q 0 ，特

17、征方程有共軛復(fù)根i ，則方程的通解為ye xC1 cos x C2 sinx文檔實用標(biāo)準(zhǔn)2 n 階常系數(shù)齊次線性方程y np1 y n 1p2 y n 2pn 1 ypn y 0其中 pii1,2, n 為常數(shù)。相應(yīng)的特征方程nn1p2n2pn 1pn 0p1特征根與方程通解的關(guān)系同二階情形很類似。（ 1）若特征方程有 n 個不同的實根1,2 ,n則方程通解 yC1e 1xC2 e 2 xCn e n x（ 2）若0 為特征方程的k 重實根kn則方程通解中含有C1C 2 xC k xk 1e 0 x（ 3）若i 為特征方程的 k 重共軛復(fù)根2kn則方程通解中含有e x C1C2 xC k xk

18、 1 cosxD1D 2 xD k xk 1 sinx由此可見， 常系數(shù)齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定，但是三次及三次以上代數(shù)方程的根不一定容易求得，因此只能討論某些容易求特征方程的根所對應(yīng)的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解。四二階常系數(shù)非齊次線性方程方程： ypyqyf x其中 p,q 為常數(shù)通解： yyC1 y1 xC 2 y2 x其中 C1 y1 xC 2 y2 x 為對應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個特解y 如何求？我們根據(jù)f x 的形式，先確定特解y 的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方程確定這些系數(shù)就得到特解y

19、 ，常見的f x 的形式和相對應(yīng)地y 的形式如下：1 f x Pn x ，其中 Pn x 為 n 次多項式（1）若 0不是特征根，則令 y Rn x a0 xna1 x n 1an 1 x an其中 ai i0,1,2, , n 為待定系數(shù)。文檔實用標(biāo)準(zhǔn)（ 2）若0是特征方程的單根，則令yxRn x（ 3）若0 是特征方程的重根，則令yx2 Rnx2 f xPnx e x 其中 Pnx 為 n 次多項式，為實常數(shù)（ 1）若不是特征根，則令yRn x e x（ 2）若是特征方程單根，則令yxRn x e x（ 3）若是特征方程的重根，則令yx2 Rnx e x3 f xPnx e x sinx或

20、f xPn x e x cosx其中 Pnx為 n次多項式，, 皆為實常數(shù)（ 1）若i不是特征根，則令ye x Rnx cosxTnx sinx其中 Rn x a0 xna1x n 1an 1 x anaii0,1,n 為待定系數(shù)Tn x b0 x nb1 xn 1bn 1x bnbi i0,1, n 為待定系數(shù)（ 2）若i是特征根，則令 yxe x Rn x cosxTnx sinx五歐拉方程（數(shù)學(xué)一）xn y np1 xn 1 y n 1pn1 xypn y0 ，其中 pi i 1,2,n 為常數(shù)稱為 n 階歐拉方程。令 xet代入方程，變?yōu)閠 是自變量， y 是未知函數(shù)的微分方程，一定是

21、常系數(shù)齊次線性微分方程。注意下面變換公式：dydydte t dy1 dy ，x dydy ，dxdtdxdtx dtdxdtd 2 y dt ddye t de t dye 2t d 2 ye 2t dydx2dx dtdxdtdtdt 2dt1 d 2 y dy，x2 d 2 y d2 y dy，x 2dt 2dtdx 2dt 2dt文檔實用標(biāo)準(zhǔn) 。乙典型例題一可降階的高階微分方程例 1求下列微分方程的通解（ 1） x2 y2xyy 20（2） 1x yylnx1解：（ 1）令 yp ，則 yp ，原方程化為x 2 p2xpp 20p2 p1p 2屬于貝努里方程xx2dz2 z1再令 z

22、p 1則有dxxx22121xx通解： zedxedxdx Cx C1x2x2p1x 2zC1xyx 2dx C21 x C12C12 ln x C1 C2C1x2（ 2）令 yp ，則 yp ，原方程化為x1 pplnx1p1plnx1屬于一階線性方程x1x11dx1 dxp e x 1ln x 1 e x 1 dxC1x1文檔實用標(biāo)準(zhǔn)1C1ln x 1 dx C1ln x 1 1x 1x 1yln x 1C1dx C21x1xC1 ln x1 2xC 2例 2求下列微分方程的通解（ 1） yyy 2 1 0（ 2） 2yyy 21二常系數(shù)齊次線性微分方程例 1求下列微分方程的通解。（ 1）

23、 y7 y6 y 0（ 2）（ 3） y6 y13y 0（ 4）y6 y9 y0y4y4 y2 y 0解：（ 1）特征方程2特征根11，2760，即1606微分方程通解yC1exC 2e6 x（ 2）特征方程特征根微分方程通解2690，即3203 二重根yC1C 2 x e3 x（ 3）特征方程26130特征根32微分方程通解ye3xC1 cos2xC 2 sin 2x（ 4） 特征方程342420即122 0特征根11二重根，22文檔實用標(biāo)準(zhǔn)微分方程通解yC1C 2 x exC3 e2x例 2設(shè)方程 y3 y 4 y 0 ，求滿足 y0 ， y5 的特解。x0x 0三二階常系數(shù)非齊次線性微分

24、方程例 1求微分方程y2 y3 yx1 ex 的一個特解。解 ： 這 是 二 階 線 性 常 系 數(shù) 非 齊 次 方 程 ， 其 自 由 項 呈 Pm x e x 的 形 狀 ， 其 中Pm xx1 m1 ，1。而該微分方程的特征方程是：2230特征根是11，23 。由于1不是特征根，故設(shè)特解為yb1xb0 ex為了確定 b1 和 b0 ，把 y 代入原方程，經(jīng)化簡，可得4b1 x4b0x1令此式兩端同次冪系數(shù)相等，有4b114b01由此解得 b111， b0，因此特解為441 xy1 ex4例 2求微分方程y5 y6 yxe2 x的通解。答案：最后得原方程通解為 y Y yc1e2 xc2e

25、3x 1 x22x e2 x2文檔實用標(biāo)準(zhǔn)例 3求 y 4y 4ye2x 的通解。答案：因此原方程的通解為y c1e2xc2 xe2 xx 2 e2 x2例 4求方程y3 y2 y2x 2x1的通解。答案：原方程的通解為y C1e 2 xC2e xx 25 x 1324例 5求 y2y3y2ex 的通解。答案：原方程的通解為yC1 e 3xC2ex1 xex2例 6求方程yy2 y2 cos2x 的通解。答案：原方程的通解為y C1 e 2xC2 ex 3cos2x1sin 2 x1010例 7求微分方程yysin x 的通解。答案：原方程的通解為：yC1C2ex1 cos x sin x 。

26、2第五章向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）51向量代數(shù)文檔實用標(biāo)準(zhǔn)甲內(nèi)容要點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系從空間某定點(diǎn)O 作三條互相垂直的數(shù)軸，都以O(shè) 為原點(diǎn)，有相同的長度單位，分別稱為 x 軸， y 軸， z 軸，符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，稱O 為坐標(biāo)原點(diǎn)。1兩點(diǎn)間距離設(shè)點(diǎn) M 1 x1 , y1, z1， M 2x2 , y2 , z2為空間兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)間的距離可以表示為d M 1 M 2x2 x1222y2y1z2 z12中點(diǎn)公式設(shè) Mx, y, z 為 M 1x1 , y1, z1， M 2 x2 , y2 , z2聯(lián)線的中點(diǎn)，則xx1x2 , yy1y2, zz1 z2222二向量

27、的概念1向量既有大小又有方向的量稱為向量。方向是一個幾何性質(zhì)，它反映在兩點(diǎn)之間從一點(diǎn)A 到另一點(diǎn) B 的順序關(guān)系，而兩點(diǎn)間又有一個距離。常用有向線段AB 表示向量。 A 點(diǎn)叫起點(diǎn)，B 點(diǎn)叫終點(diǎn)，向量AB 的長度叫做模，記為AB 。模為 1的向量稱為單位向量。文檔實用標(biāo)準(zhǔn)2 向量的坐標(biāo)表示若將向量的始點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)O ，記其終點(diǎn)M ，且點(diǎn) M 在給定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為x, y, z 。記以三個坐標(biāo)軸正向為方向的單位向量依次記為i , j , k ，則向量 OM 可以表示為OMxi yjzk稱之為向量 OM 的坐標(biāo)表達(dá)式，也可以表示為OMx, y, z稱 xi , yj , zk 分別為向量 OM在

28、 x 軸， y 軸， z 軸上的分量。稱x, y, z 分別為向量 OM在 x 軸， y 軸， z 軸上的投影。記 OM 與 x 軸、 y 軸、 z 軸正向的夾角分別為, ,，則cosxx 2y2z2cosyx2y2z2coszx 2y 2z2方向余弦間滿足關(guān)系cos2cos2cox 21, ,描述了向量 OM 的方向，常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪?。OM 的?？梢员硎緸镺Mx2y 2z 2與向量 OMx, y, z 同方向的單位向量可以表示為1OM 。與向量 OM 平行的單OM位向量可以表示為1 OM。OM向量 a 同方向上的單位向量常記為 a 。三向量的運(yùn)算a a1i a2 j a3 ka1 ,

29、a2 , a3b b1i b2 j b3 kb1 ,b2 ,b3文檔實用標(biāo)準(zhǔn)c c1 i c2 j c3kc1 , c2 , c31加法。 aba1b1 ,a2b2 , a3b3減法。 aba1b1 , a2b2 , a3b32數(shù)乘。a1 ,a2 , a3（ 是常數(shù)）向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。3 數(shù)量積。 a b a b cosa, ba1b1a2 b2a3b3其中a, b 為向量 a,b 間夾角a b 為數(shù)量也稱點(diǎn)乘。a b 0 表示向量 a 在向量 b 上的投影，即a b0Pr j b a4 向量積 a b 也稱為叉乘。aba b sin a, bab 的方向按右手法則垂直于a,

30、b 所在平面，且ijkaba1a2a3b1b2b3ab 是向量， abba 。 ab 等于以 a, b為鄰邊的平行四邊形的面積。文檔實用標(biāo)準(zhǔn)a1a2a35 混合積：定義a, b,ca b c ，坐標(biāo)公式 a, b, c b1b2b3c1c2c3幾何意義 a,b,c表示以 a, b,c 為棱的平行大面體的體積。四兩向量間的關(guān)系設(shè) aa1 , a2 , a3 , bb1 , b2 ,b3關(guān)系向量表示向量坐標(biāo)表示a bcosa1b1a2 b2a3b3a22a32b12b22b32a,b 間夾角cosa12a ba 與 b 垂直a b 0a1b1a2b2b3b3 0a 與 b 平行a b 0a1a2a

31、3b1b2b3乙典型例題例設(shè) a,b 為兩個非零向量，為非零常數(shù)，若向量 ab 垂直于向量 b ，則 等于（）。（ A）a b（ B）a b（C） 1（ D） a b22bb分析：所給向量為抽象向量，宜用向量運(yùn)算公式。如果ab 垂直于向量 b ，因此應(yīng)有 ab b 0即a bb b02a bb0由于 b 為非零向量，因而應(yīng)有a 2b ，故應(yīng)選（ B）。b文檔實用標(biāo)準(zhǔn)52平面與直線甲內(nèi)容要點(diǎn)一空間解析幾何1 空間解析幾何研究的基本問題（ 1）已知曲面（線）作為點(diǎn)的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。（ 2）已知坐標(biāo)x, y 和 z 間的一個方程（組） ，研究這方程（組）所表示的曲面（線）。2距離公式空間兩點(diǎn) A x1 , y1 , z1與 B x2 , y2 , z2間的距離 d 為dx2 x12y2