最新全等三角形證明題大全輔助線作法證明中考精選共101題全部有試題解析與答案含空白試卷

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”2) 截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目3) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”4) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)

2、定理或逆定理5) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、 倍長中線（線段）造全等例1.已知：如圖3所示，AD為 ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，但它的左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段

3、轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。 證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE。 3圖 例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.因?yàn)锽D=DC=AC，所以AC=1/2BC因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，所以EC=1/2DC=1/2ACACE=BCA，所以BCAACE所以ABC=CAE因?yàn)镈C=AC，所以ADC=DACADC=ABC+BAD所以ABC+BAD=DAE+CAE所以BAD=DAE即AD平分BAE應(yīng)用：二、截長補(bǔ)短例1.已知：如圖1所示， AD為ABC的中線，且1=2,3=4。求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF ，可利用三角形三 邊關(guān)系定

4、理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF。 延長FD到G , 使DG=FD, 再連結(jié)EG,BG1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC證明：取AB中點(diǎn)E，連接DEAD=BDDEAB，即AED=90º【等腰三角形三線合一】AB=2ACAE=AC又EAD=CAD【AD平分BAC】 AD=ADAEDACD（SAS）C=AED=90ºCDAC2、如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,D

5、BA，CD過點(diǎn)E，求證;ABAC+BD在AB上取點(diǎn)N ,使得AN=ACCAE=EAN ,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE又AC平行BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP證明：做輔助線PMBQ，與QC相交與M。（首先算清各角的度數(shù)）APB=180°BAPABP=180°30°80°

6、=70°且APM=180°APBMPC=180°70°QBC（同位角相等）=180°70°40°=70°APB=APM又AP是BAC的角平分線，BAP=MAPAP是公共邊ABPAMP(角邊角）AB=AM，BP=MP在MPC中，MCP=MPC=40°MP=MCAB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在QBC中QBC=QCB=40°BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP 贊同4、角平分線如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 延長BA,作DFBA的延長線

7、，作DEBC1=2DE=DF（角分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）在RtDFA與RtDEC中AD=DC,DF=DERtDFARtDEC（HL)3=C因?yàn)?+3=180°4+C=180°即A+C=180° 5、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC延長AC至E，使AE=AB，連結(jié)PE。然后證明一下ABPAEP得到PB=PE備用（角邊角證很容易吧）PCE中，EC>PE-PCEC=AE-AC，AE=ABEC=AB-AC又PB=PEPE-PC=PB-PCAB-AC>PB-PC 應(yīng)用：三、平移變換例1 AD為ABC的角平分線，

8、直線MNAD于A.E為MN上一點(diǎn)，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.例2 如圖，在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD在AC上取點(diǎn)F，使AF=AEAD是角A的平分線角EAO角FAE/AO=AO三角形AEO與AFO全等（兩邊夾角相等）EO=FO ，角AOE角AOFCE是角C的平分線角DCO角FCO角B60°角A+角C18060120°角COD=角CAO角OCA角A/2角C/260度角OCF180角AOF-角CO

9、D180606060°角OCF角CODOC=OC三角形OCD與CFO全等 （兩邊夾角相等）CF=CDAC=AF+CFAE+CD即：AE+CD=AC2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.證明：連接BD,CDDGBC于G且平分BC所以GD為BC垂直平分線垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等BD=CD角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等,AD平分BAC，DEAB于E，DFAC的延長線于F所以DE=DF在RTBED,RTCFD中DE=DFBD=CDRTBEDRTCFD(HL)BE

10、=CF應(yīng)用：五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 將三角形ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度 例2 D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。做DPBC，垂足為P，做DQAC，垂足為QD為中點(diǎn)，且ABC為等腰RTABCDP

11、=DQ=½BC=½AC又FDQ=PDE(旋轉(zhuǎn)）DQF=DPE=90°DQFDPESDQF=SDPE又S四邊形DECF=S四邊形DFCP+SDPES四邊形DECF=S四邊形DFCP+SDQF=½BC*½AC=¼AC²（AC=BC=定值）四邊形DECF面積不會改變例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長為 ； 我簡單說一下過D點(diǎn)做DEAB的延長線然后證明DMNDME（注意DBE實(shí)際上是DCN旋轉(zhuǎn)后得來的） 全等三角形證明經(jīng)典50題(含答案

12、)1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADADBC解：延長AD到E,使AD=DED是BC中點(diǎn)BD=DC 在ACD和BDE中AD=DEBDE=ADCBD=DCACDBDEAC=BE=2在ABE中 AB-BEAEAB+BEAB=4即4-22AD4+21AD3AD=22. 已知：D是AB中點(diǎn)，ACB=90°，求證：DABC延長CD與P，使D為CP中點(diǎn)。連接AP,BPDP=DC,DA=DBACBP為平行四邊形又ACB=90平行四邊形ACBP為矩形AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：1=2ABCDEF21證明：連接BF和EF

13、 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF 三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊) BF=EF,CBF=DEF連接BE在三角形BEF中,BF=EF EBF=BEF。 ABC=AED。 ABE=AEB。 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF 三角形ABF和三角形AEF全等。 BAF=EAF (1=2)。4. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=ACBACDF21E過C作CGEF交AD的延長線于點(diǎn)GCGEF，可得，EFDCGDDEDCFDEGDC（對頂角）EFDCGDEFCGCGDEFD又，EFAB，EFD1

14、1=2CGD2AGC為等腰三角形，ACCG又 EFCGEFAC5. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CA證明：延長AB取點(diǎn)E，使AEAC，連接DEAD平分BACEADCADAEAC，ADADAEDACD （SAS）ECACAB+BDAEAB+BDAEAB+BEBDBEBDEEABCE+BDEABC2EABC2C6. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：AE=AD+BE證明： 在AE上取F，使EFEB，連接CF CEAB CEBCEF90° EBEF，CECE， CEBCEF BCFE BD180°，CFECFA180

15、6; DCFA AC平分BAD DACFAC ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADADBC解：延長AD到E,使AD=DED是BC中點(diǎn)BD=DC在ACD和BDE中AD=DEBDE=ADCBD=DCACDBDEAC=BE=2在ABE中 AB-BEAEAB+BEAB=4即4-22AD4+21AD3AD=28. 已知：D是AB中點(diǎn)，ACB=90°，求證：DABC解：延長AD到E,使AD=DED是BC中點(diǎn)BD=DC在ACD和BDE中AD=DEBDE=ADCBD=DCACDBDEAC=BE=2在ABE中

16、AB-BEAEAB+BEAB=4即4-22AD4+21AD3AD=29. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：1=2ABCDEF21證明：連接BF和EF。 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。 三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)。 BF=EF,CBF=DEF。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF。 EBF=BEF。又 ABC=AED。 ABE=AEB。 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。 三角形ABF和三角形AEF全等。 BAF=EAF (1=2)。10. 已知：1=2，CD=DE，

17、EF/AB，求證：EF=ACBACDF21E過C作CGEF交AD的延長線于點(diǎn)GCGEF，可得，EFDCGDDEDCFDEGDC（對頂角）EFDCGDEFCGCGDEFD又EFABEFD11=2CGD2AGC為等腰三角形，ACCG又 EFCGEFAC11. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CACDB證明：延長AB取點(diǎn)E，使AEAC，連接DEAD平分BACEADCADAEAC，ADADAEDACD （SAS）ECACAB+BDAEAB+BDAEAB+BEBDBEBDEEABCE+BDEABC2EABC2C12. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：

18、AE=AD+BE在AE上取F，使EFEB，連接CF CEAB CEBCEF90° EBEF，CECE， CEBCEF BCFE BD180°，CFECFA180° DCFA AC平分BAD DACFAC 又ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE12. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。在BC上截取BF=AB，連接EFBE平分ABCABE=FBE又BE=BEABEFBE（SAS）A=BFEAB/CDA+D=180ºBFE+CFE=180ºD=CFE

19、又DCE=FCE CE平分BCD CE=CEDCEFCE（AAS）CD=CFBC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求證：F=CDCBAFEABED，得：EAB+AED=BDE+ABD=180度，EAB=BDE，AED=ABD，四邊形ABDE是平行四邊形。得：AE=BD，AF=CD,EF=BC，三角形AEF全等于三角形DBC，F(xiàn)=C。14. 已知：AB=CD，A=D，求證：B=CABCD證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E，（當(dāng)AD<BC時，E點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn)，當(dāng)AD>BC時，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)）。則：AED是等

20、腰三角形。AE=DE而AB=CDBE=CE (等量加等量，或等量減等量）BEC是等腰三角形B=C.15. P是BAC平分線AD上一點(diǎn)，AC>AB，求證：PC-PB<AC-ABPDACB在AC上取點(diǎn)E，使AEAB。AEAB APAP EAPBAE，EAPBAPPEPB。PCECPEPC（ACAE）PBPCPBACAB。16. 已知ABC=3C，1=2，BEAE，求證：AC-AB=2BE證明：在AC上取一點(diǎn)D，使得角DBC=角CABC=3CABD=ABC-DBC=3C-C=2C；ADB=C+DBC=2C;AB=ADAC AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD

21、的角平分線，AE垂直BDBEAE點(diǎn)E一定在直線BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD點(diǎn)E也是BD的中點(diǎn)BD=2BEBD=CD=AC-ABAC-AB=2BE17. 已知，E是AB中點(diǎn)，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCFAEDCB作AGBD交DE延長線于GAGE全等BDE AG=BD=5AGFCDF AF=AG=5DC=CF=2 18如圖，在ABC中，BD=DC，1=2，求證：ADBC解：延長AD至BC于點(diǎn)E, BD=DC BDC是等腰三角形 DBC=DCB 又1=2 DBC+1=DCB+2 即ABC=ACB ABC是等腰三角形 AB=AC 在ABD和ACD中 AB=AC 1

22、=2 BD=DC ABD和ACD是全等三角形（邊角邊） BAD=CAD AE是ABC的中垂線 AEBC ADBC19如圖，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N求證：OAB=OBA證明：OM平分POQPOMQOMMAOP，MBOQMAOMBO90OMOMAOMBOM （AAS）OAOBONONAONBON （SAS）OAB=OBA，ONA=ONBONA+ONB180ONAONB90OMAB20（5分）如圖，已知ADBC，PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D求證：AD+BC=AB做BE的延長線，與AP相交于F點(diǎn)，PA/BCPAB+CBA=180

23、°，又，AE，BE均為PAB和CBA的角平分線EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB為直角三角形在三角形ABF中，AEBF，且AE為FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB，三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21如圖，ABC中，AD是CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：C=2B延長AC到E 使AE=AC 連接 ED AB=AC+CD CD=CE可得B=ECDE為等腰ACB=2B22（6分）如圖，E、F分別

24、為線段AC上的兩個動點(diǎn)，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn)M（1）求證：MB=MD，ME=MF（2）當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動到如圖的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由 （1）連接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA（HL），DE=BF四邊形BEDF是平行四邊形MB=MD，ME=MF；（2）連接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=C

25、E，AB=CD，RtDECRtBFA（HL），DE=BF四邊形BEDF是平行四邊形MB=MD，ME=MF23已知：如圖，DCAB，且DC=AE，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AEDEBC（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除EBC外，請?jiān)賹懗鰞蓚€與AED的面積相等的三角形（直接寫出結(jié)果，不要求證明）：證明：DCABCDEAEDDEDE，DCAEAEDEDCE為AB中點(diǎn)AEBEBEDCDCABDCEBECCECEEBCEDCAEDEBC24（7分）如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE證明

26、：CEB=CAB=90°ABCE四點(diǎn)共元AB E=CB EAE=CEECA=EAC 取線段BD的中點(diǎn)G，連接AG，則：AG=BG=DGGAB=ABG而：ECA=GBA (同弧上的圓周角相等）ECA=EAC=GBA=GAB而：AC=ABAECAGBEC=BG=DGBE=2CE25、如圖：DF=CE，AD=BC，D=C。求證：AEDBFC。證明：DF=CE，DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在AED和BFC中， AD=BC， D=C ，DE=CF AEDBFC（SAS） 26、（10分）如圖：AE、BC交于點(diǎn)M，F(xiàn)點(diǎn)在AM上，BECF，BE=CF。求證：AM是ABC的中線。證明：BE

27、CFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中線. 27、（10分）如圖：在ABC中，BA=BC，D是AC的中點(diǎn)。求證：BDAC。ABD和BCD的三條邊都相等ABD=BCDADB=CDADB=CDB=90°BDAC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點(diǎn)。求證：BF=CF在ABD與ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDACDADB=ADCBDF=FDC在BDF與FDC中BD=DCBDF=FDCDF=DFFBDFCDBF=FC29、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。AB=DCAE=DF,C

28、E=FB CE+EF=EF+FBABE=CDFDCB=ABFAB=DC BF=CEABF=CDEAF=DE30.公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BECF，M在BC的中點(diǎn)，試說明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.證明：連接EFABCDB=CM是BC中點(diǎn)BM=CM在BEM和CFM中BE=CFB=CBM=CMBEMCFM（SAS）CF=BE31已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上， AFCE，BEDF，BEDF求證：ABECDFAF=CE,FE=EF.AE=CF.DF/BE,AEB=CFD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）B

29、E=DF：ABECDF（SAS） 32.已知：如圖所示，ABAD，BCDC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證： AEAF。 DBCcAFE連接BD；AB=AD BC=DADB=ABD CDB=ABD;兩角相加，ADC=ABC；BC=DC EF是中點(diǎn)DE=BF；AB=AD DE=BFADC=ABCAE=AF。33如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，1=2，3=4，求證: 5=6 證明：在ADC，ABC中AC=AC，BAC=DAC，BCA=DCAADCABC（兩角加一邊）AB=AD，BC=CD在DEC與BEC中BCA=DCA，CE=CE，BC=CDDECBEC（兩邊夾一角）DEC=BEC

30、34已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求證：ABCDEFAD=DFAC=DFAB/DEA=EDF又BC/EFF=BCAABCDEF（ASA） 35已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，求證：BE=CDACBDEF證明：BDACBDC=90°CEABBEC=90°BDC=BEC=90°AB=ACDCB=EBCBC=BCRtBDCRtBEC（AAS)BE=CD36、 如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F。求證：DE=DFAEBDCF證明：AD是BAC的平分線EAD=FADDE

31、AB，DFACBFD=CFD=90°AED與AFD=90°在AED與AFD中EAD=FADAD=ADAED=AFDAEDAFD（AAS） AE=AF在AEO與AFO中 EAO=FAO AO=AOAE=AFAEOAFO（SAS）AOE=AOF=90°ADEF37.已知：如圖, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的長？DCBAEADABBAC=ADE又ACBC于C，DEAC于E根據(jù)三角形角度之和等于180度ABC=DAEBC=AE，ABCDAE（ASA）AD=AB=538如圖：AB=AC，MEAB，MFAC，垂

32、足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明：AB=ACB=CMEAB，MFACBEM=CFM=90°在BME和CMF中 B=C BEM=CFM=90° ME=MF BMECMF（AAS）MB=MC39.如圖，給出五個等量關(guān)系： 請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結(jié)論，推出一個正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明已知：AD=BC，DAB=CBA求證：DABCBA證明：AD=BC，DAB=CBA又AB=ABDABCBA40在ABC中，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若

33、成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1）ADC=ACB=BEC=90°，CAD+ACD=90°，BCE+CBE=90°，ACD+BCE=90°CAD=BCEAC=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BEDE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90°，ACD=CBE又AC=BC，ACDCBECE=AD，CD=BEDE=CECD=ADBE41如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1）AEAB，AFAC，BAE=CAF=90°，BAE

34、+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF，在ABF和AEC中，AE=AB，EAC=BAF，AF=AC，ABFAEC（SAS），EC=BF；（2）如圖，根據(jù)（1），ABFAEC，AEC=ABF，AEAB，BAE=90°，AEC+ADE=90°，ADE=BDM（對頂角相等），ABF+BDM=90°，在BDM中，BMD=180°-ABF-BDM=180°-90°=90°，ECBF 42如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。證明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90

35、76;，ACN+BAC=90°ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90°BAM+BAN=90°即MAN=90°AMAN43如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEF在ABF和CDE中,AB=DEA=DAF=CDABFCDE（邊角邊）FB=CE在四邊形BCEF中FB=CEBC=EF四邊形BCEF是平行四邊形BCEF44如圖,已知ACBD，EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由在AB上取點(diǎn)N ,使得AN=AC CAE=EAN A

36、E為公共,CAEEANANE=ACE又AC平行BDACE+BDE=180而ANE+ENB=180ENB=BDENBE=EBNBE為公共邊EBNEBDBD=BNAB=AN+BN=AC+BD45、（10分） 如圖,已知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE求證:BECF證明：AD是ABC的中線 BD=CD DF=DE（已知） BDE=FDC BDEFDC 則EBD=FCD BECF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。 46、(10分)已知：如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，求證：ADECBF證明：DEAC，BFACCED=AFB=90º又AB=CD，BF=DERtABFRtCDE

37、（HL）AF=CEBAF=DCEAB/CD47、(10分)如圖，已知1=2，3=4，求證：AB=CD ,3=4OB=OC在AOB和DOC中1=2OB=OCAOB=DOCAOBDOCAO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB在ACB和DBC中AC=DB,3=4BC=CBACBDBCAB=CD48、 (10分)如圖，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.ACEDBCE>DE。當(dāng)AEB越小，則DE越小。證明：過D作AE平行線與AC交于F，連接FB由已知條件知AFDE為平行四邊形，ABEC為矩形 ，且DFB為等腰三角形。RTBAE中

38、，AEB為銳角，即AEB<90°DF/AE FDB=AEB<90°DFB中 DFB=DBF=(180°-FDB)/2>45°RTAFB中，F(xiàn)BA=90°-DBF <45° AFB=90°-FBA>45°AB>AFAB=CE AF=DECE>DE49、 (10分)如圖，已知ABDC，ACDB，BECE，求證：AEDE.ABECDAB=DC,AC=DB，BC=BCABCDCB，ABC=DCB又BE=CE，AB=DCABEDCEAE=DE50如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，A

39、CB90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求證：ADCBDEABCDEF圖9作CGAB,交AD于H,則ACH=45º,BCH=45ºCAH=90º-CDA, BCE=90º-CDA CAH=BCE又AC=CB, ACH=B=45ºACHCBE, CH=BE又DCH=B=45º, CD=DBCFDBEDADC=BDE 51.已知：AB=10，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADADBC證明: 延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中

40、,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整數(shù),則AD=552.如圖，在ABC中，AB=AC，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE求證：MD=ME證明：（法一）AB=AC，B=CM為BC的中點(diǎn)，BM=CMAB=AC，AD=AE，BD=CE在DBM和ECM中，BD=CE，B=C，BM=CMDBMECMMD=ME（法二）連接AM，（1分）AB=AC，M為BC的中點(diǎn)，AM平分BAC，BAM=CAM在ADM和AEM中，AD=AE，DAM=EAM，AM=AM，ADMAEMMD=ME53在ABC中，ACB=90&

41、#176;，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明（1）證明：ACB=90°，ACD+BCE=90°，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD=CBE在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBEAC=CB，RtADCRtCEB

42、（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）證明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90°ACD=CBEAC=CB，ADCCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；（3）DE=BE-AD證明的方法與（2）相同54如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBF證明：(1)AEAB，AFACEAB=90°=FACEAB+BAC=FAC+BAC又EAC=EAB+BAC，BAF=FAC+BACEAC=BAF在EAC與BAF中，AE=ABEAC=BAFAF=ACEACBAFE

43、C=BFAEBMCF(2) AEAB EAB=90°AEB+ABE=90°AEC+CEB+ABE=90° CEB+ABE+=90°（由全等可知AEC=ABF）EMF=90° ECBF55如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。證明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90°，ACN+BAC=90°ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90°BAM+BAN=90°即MAN=90°AMA

44、N56已知：如圖ACBD，AE和BE分別平分CAB和DBA，CD過點(diǎn)E求證：（1）AEBE； （2）AB=AC+BD證明：（1）ACBD，CAB+DBA=180°（1分）又AE和BE分別平分CAB和DBA，EAB=12CAB，EBA=12DBA，EAB+EBA=12(CAB+DBA)=90°，AEBE （4分）（2）在AB上截取AF=AC，連接EF，在CAE和FAE中AC=AFCAE=FAEAE=AE，CAEFAE，則CEA=FEA，（8分）又CEA+BED=FEA+FEB=90°，F(xiàn)EB=DEB，在DEB和FEB中DEB=FEBEB=EBDBE=FBE， DEB

45、FEB（ASA），（10分）BD=BF，AB=AF+FB=AC+BD （12分）57、如圖,已知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE求證:BECF證明：AD是BC上的中線，BD=DC又DF=DE（已知），BDE=CDF（對頂角相等），BEDCFD（SAS）E=CFD（全等三角形的對應(yīng)角相等）CFBE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）58、已知：如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，ADECBF求證：證明：（1）DEAC，BFAC，在RtDCE和RtBAF中，AB=CD，DE=BF，RtDCERtBAF（HL），AF=CE；（2）由（1）中RtDCERtBAF，可得C=A，ABCD59、如圖，已知1=2，3=4，求證：AB=CD 設(shè)對角線交點(diǎn)為O3=4BO=CO在ABO與DCO中1=2（已知）BO=CO（已證）AOB=DOC（對頂角）ABO全等于DCO所以AB=CDACEDB60、如圖，已知