挑中考數(shù)學(xué)壓軸題全套含答案

1、第一部分 函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題§11因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例1 2014年衡陽市中考第28題例2 2014年益陽市中考第21題例3 2015年湘西州中考第26題例4 2015年張家界市中考第25題例5 2016年常德市中考第26題例6 2016年岳陽市中考第24題例7 2016年上海市崇明縣中考模擬第25題例8 2016年上海市黃浦區(qū)中考模擬第26題§12因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題 例9 2014年長沙市中考第26題例10 2014年張家界市第25題例11 2014年邵陽市中考第26題例12 2014年婁底市中考第27題例13 2015年懷化市中考第22題例14 2

2、015年長沙市中考第26題例15 2016年婁底市中考第26題例16 2016年上海市長寧區(qū)金山區(qū)中考模擬第25題例17 2016年河南省中考第23題例18 2016年重慶市中考第25題§13因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題例19 2015年益陽市中考第21題例20 2015年湘潭市中考第26題例21 2016年郴州市中考第26題例22 2016年上海市松江區(qū)中考模擬第25題例23 2016年義烏市紹興市中考第24題§14因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題例24 2014年岳陽市中考第24題例25 2014年益陽市中考第20題例26 2014年邵陽市中考第25題例27 2015年郴州市中

3、考第25題例28 2015年黃岡市中考第24題例29 2016年衡陽市中考第26題例30 2016年上海市嘉定區(qū)寶山區(qū)中考模擬中考第24題例31 2016年上海市徐匯區(qū)中考模擬第24題§15因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題例32 2014年常德市中考第25題例33 2014年永州市中考第25題例34 2014年懷化市中考第24題例35 2015年邵陽市中考第26題例36 2015年株洲市中考第23題例37 2015年衡陽市中考第28題例38 2016年益陽市中考第22題例39 2016年永州市中考第26題例40 2016年邵陽市中考第26題例41 2016年陜西省中考第25題§16因動(dòng)

4、點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題例42 2014年衡陽市中考第27題例43 2014年株洲市中考第23題例44 2015年湘潭市中考第25題例45 2015年湘西州中考第25題例46 2016年婁底市中考第25題例47 2016年湘潭市中考第26題例48 2016年上海市閔行區(qū)中考模擬第24題例49 2016年上海市普陀區(qū)中考模擬中考第25題§17因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題例50 2014年郴州市中考第26題例51 2014年湘西州中考第25題例52 2015年岳陽市中考第24題例53 2015年濟(jì)南市中考第28題例54 2015年沈陽市中考第25題例55 2016年福州市中考第26題例56 2016

5、年張家界市中考第24題例57 2016年益陽市中考第21題第二部分 圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)關(guān)系問題§21由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例1 2014年常德市中考第26題例2 2014年湘潭市中考第25題例3 2014年郴州市中考第25題例4 2015年常德市中考第25題例5 2015年郴州市中考第26題例6 2015年邵陽市中考第25題例7 2015年婁底市中考第26題例8 2016年郴州市中考第25題例9 2016年湘西州中考第26題例10 2016年上海市靜安區(qū)青浦區(qū)中考模擬第25題例11 2016年哈爾濱市中考第27題第三部分 圖形運(yùn)動(dòng)中的計(jì)算說理問題§31代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)

6、計(jì)算進(jìn)行說理問題例1 2014年長沙市中考第25題例2 2014年懷化市中考第23題例3 2014年湘潭市中考第26題例4 2014年株洲市中考第24題例5 2015年衡陽市中考第27題例6 2015年婁底市中考第25題例7 2015年永州市中考第26題例8 2015年長沙市中考第25題例9 2015年株洲市中考第24題例10 2016年懷化市中考第22題例11 2016年邵陽市中考第25題例12 2016年株洲市中考第26題例13 2016年長沙市中考第25題例14 2016年長沙市中考第26題§32幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題例15 2014年衡陽市中考第26題例16 20

7、14年婁底市中考第26題例17 2014年岳陽市中考第23題例18 2015年常德市中考第26題例19 2015年益陽市中考第20題例20 2015年永州市中考第27題例21 2015年岳陽市中考第23題例22 2016年常德市中考第25題例23 2016年衡陽市中考第25題例24 2016年永州市中考第27題例25 2016年岳陽市中考第23題例26 2016年株洲市中考第25題例27 2016年湘潭市中考第25題第四部分 圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)§41圖形的平移例1 2015年泰安市中考第15題例2 2015年咸寧市中考第14題例3 2015年株洲市中考第14題例4 2016年上海

8、市虹口區(qū)中考模擬第18題§42圖形的翻折例5 2016年上海市奉賢區(qū)中考模擬第18題例6 2016年上海市靜安區(qū)青浦區(qū)中考模擬第18題例7 2016年上海市閔行區(qū)中考模擬第18題例8 2016年上海市浦東新區(qū)中考模擬第18題例8 2016年上海市普陀區(qū)中考模擬第18題例10 2016年常德市中考第15題例11 2016年張家界市中考第14題例12 2016年淮安市中考第18題例13 2016年金華市中考第15題例14 2016年雅安市中考第12題§43圖形的旋轉(zhuǎn)例15 2016年上海昂立教育中學(xué)生三模聯(lián)考第18題例16 2016年上海市崇明縣中考模擬第18題例17 2016

9、年上海市黃浦區(qū)中考模擬第18題例18 2016年上海市嘉定區(qū)寶山區(qū)中考模擬第18題例19 2016年上海市閘北區(qū)中考模擬第18題例20 2016年邵陽市中考第13題例21 2016年株洲市中考第4題§44三角形例22 2016年安徽省中考第10題例23 2016年武漢市中考第10題例24 2016年河北省中考第16題例25 2016年婁底市中考第10題例26 2016年蘇州市中考第9題例27 2016年臺州市中考第10題例28 2016年陜西省中考第14題例29 2016年內(nèi)江市中考第11題例30 2016年上海市中考第18題§45四邊形例31 2016年湘西州中考第11題

10、例32 2016年益陽市中考第4題例33 2016年益陽市中考第6題例34 2016年常德市中考第16題例35 2016年成都市中考第14題例36 2016年廣州市中考第13題例37 2016年福州市中考第18題例38 2016年無錫市中考第17題例39 2016年臺州市中考第15題§46圓例40 2016年濱州市中考第16題例41 2016年寧波市中考第17題例42 2016年連云港市中考第16題例43 2016年煙臺市中考第17題例44 2016年煙臺市中考第18題例45 2016年無錫市中考第18題例46 2016年武漢市中考第9題例47 2016年宿遷市中考第16題例48 2

11、016年衡陽市中考第17題例49 2016年邵陽市中考第18題例50 2016年湘西州中考第18題例51 2016年永州市中考第20題§47函數(shù)的圖象及性質(zhì)例52 2015年荊州市中考第9題例53 2015年德州市中考第12題例54 2015年煙臺市中考第12題例55 2015年中山市中考第10題例56 2015年武威市中考第10題例57 2015年呼和浩特市中考第10題例58 2016年湘潭市中考第18題例59 2016年衡陽市中考第19題例60 2016年岳陽市中考第15題例61 2016年株洲市中考第9題例62 2016年永州市中考第19題例63 2016年岳陽市中考第8題例6

12、4 2016年岳陽市中考第16題例65 2016年益陽市中考第14題例66 2016年株洲市中考第10題例67 2016年株洲市中考第17題例68 2016年東營市中考第15題例69 2016年成都市中考第13題例70 2016年泰州市中考第16題例71 2016年宿遷市中考第15題例72 2016年臨沂市中考第14題例73 2016年義烏市紹興市中考第9題例74 2016年淄博市中考第12題例75 2016年嘉興市中考第16題§11 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題課前導(dǎo)學(xué)相似三角形的判定定理有3個(gè)，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相似的動(dòng)態(tài)問題，一般情

13、況下首先尋找一組對應(yīng)角相等判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn)如果已知AD，探求ABC與DEF相似，只要把夾A和D的兩邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）還有一種情況，討論兩個(gè)直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個(gè)直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個(gè)三角形是直角三角形的問題求線段的長，要用到兩點(diǎn)間的距離公式，而這個(gè)公式容易記錯(cuò)理解記憶比較好如圖1，如果已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，怎

14、樣求A、B兩點(diǎn)間的距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了水平距離BC的長就是A、B兩點(diǎn)間的水平距離，等于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相減；豎直距離AC就是A、B兩點(diǎn)間的豎直距離，等于A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減圖1例 1 2014年湖南省衡陽市中考第28題二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象與x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3m)（m0），頂點(diǎn)為D（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，當(dāng)m2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及

15、S的最大值；（3）如圖2，當(dāng)m取何值時(shí)，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與OBC相似？圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14衡陽28”，拖動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)的正下方時(shí)，APC的面積最大拖動(dòng)y軸上表示實(shí)數(shù)m的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，拋物線的形狀會(huì)改變，可以體驗(yàn)到，ACD和ADC都可以成為直角思路點(diǎn)撥1用交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便2連結(jié)OP，APC可以割補(bǔ)為：AOP與COP的和，再減去AOC3討論ACD與OBC相似，先確定ACD是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)直角三角形是否相似4直角三角形ACD存在兩種情況圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x

16、3)(x1)代入點(diǎn)C(0,3m)，得3m3a解得am所以該二次函數(shù)的解析式為ym(x3)(x1)mx22mx3m（2）如圖3，連結(jié)OP當(dāng)m2時(shí)，C(0,6)，y2x24x6，那么P(x, 2x24x6)由于SAOP(2x24x6)3x26x9， SCOP3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOPSAOC3x29x所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為圖3 圖4 圖5（3）如圖4，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為E過點(diǎn)A作x軸的垂線交DE于F由ym(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，OBOC13m如果ADC與OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為13m如

17、圖4，當(dāng)ACD90°時(shí)，所以解得m1此時(shí)，所以所以CDAOBC如圖5，當(dāng)ADC90°時(shí)，所以解得此時(shí)，而因此DCA與OBC不相似綜上所述，當(dāng)m1時(shí)，CDAOBC考點(diǎn)伸展第（2）題還可以這樣割補(bǔ)：如圖6，過點(diǎn)P作x軸的垂線與AC交于點(diǎn)H由直線AC：y2x6，可得H(x,2x6)又因?yàn)镻(x, 2x24x6)，所以HP2x26x因?yàn)镻AH與PCH有公共底邊HP，高的和為A、C兩點(diǎn)間的水平距離3，所以SSAPCSAPHSCPH(2x26x) 圖6例 2 2014年湖南省益陽市中考第21題如圖1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADAB，B60°，AB10，BC4，點(diǎn)P

18、沿線段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)APx2·1·c·n·j·y（1）求AD的長；（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)ADP與PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若SS1S2，求S的最小值. 動(dòng)感體驗(yàn) 圖1請打開幾何畫板文件名“14益陽21”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓心O的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BC的垂直平分線上的一條線段觀察S隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圖象，可以看到，S有最小值，此時(shí)點(diǎn)P看上去象是AB的中點(diǎn)，其實(shí)離得很近而已思路點(diǎn)撥1第（2）題先確定P

19、CB是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)三角形是否相似2第（3）題理解PCB的外接圓的圓心O很關(guān)鍵，圓心O在確定的BC的垂直平分線上，同時(shí)又在不確定的BP的垂直平分線上而BP與AP是相關(guān)的，這樣就可以以AP為自變量，求S的函數(shù)關(guān)系式圖文解析（1）如圖2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60°，BC4，所以BH2，CH所以AD（2）因?yàn)锳PD是直角三角形，如果APD與PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如圖3，當(dāng)CPB90°時(shí)，AP1028所以，而此時(shí)APD與PCB不相似圖2 圖3 圖4如圖4，當(dāng)BCP90°時(shí)，BP2BC8所以AP2所以所以APD60°

20、;此時(shí)APDCBP綜上所述，當(dāng)x2時(shí)，APDCBP（3）如圖5，設(shè)ADP的外接圓的圓心為G，那么點(diǎn)G是斜邊DP的中點(diǎn)設(shè)PCB的外接圓的圓心為O，那么點(diǎn)O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F設(shè)AP2m作OMBP于M，那么BMPM5m在RtBEF中，BE2，B60°，所以BF4在RtOFM中，F(xiàn)MBFBM4(5m)m1，OFM30°，所以O(shè)M所以O(shè)B2BM2OM2在RtADP中，DP2AD2AP2124m2所以GP23m2于是SS1S2(GP2OB2)所以當(dāng)時(shí)，S取得最小值，最小值為圖5 圖6考點(diǎn)伸展關(guān)于第（3）題，我們再討論個(gè)問題問題1，為什么設(shè)A

21、P2m呢？這是因?yàn)榫€段ABAPPMBMAP2BM10這樣BM5m，后續(xù)可以減少一些分?jǐn)?shù)運(yùn)算這不影響求S的最小值問題2，如果圓心O在線段EF的延長線上，S關(guān)于m的解析式是什么？如圖6，圓心O在線段EF的延長線上時(shí)，不同的是FMBMBF(5m)41m此時(shí)OB2BM2OM2這并不影響S關(guān)于m的解析式例 3 2015年湖南省湘西市中考第26題如圖1，已知直線yx3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）求拋物線

22、的解析式；（2）問：當(dāng)t為何值時(shí)，APQ為直角三角形；（3）過點(diǎn)P作PE/y軸，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF/y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)EF，當(dāng)EF/PQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連結(jié)BP、BM、MQ，問：是否存在t的值，使以B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)、B、P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15湘西26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，APQ有兩個(gè)時(shí)刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF有一個(gè)時(shí)刻可以成為平行四邊形，MBQ與BOP有一次機(jī)會(huì)相似思路點(diǎn)撥1在APQ中，A45°，夾A的兩條邊AP、AQ都

23、可以用t表示，分兩種情況討論直角三角形APQ2先用含t的式子表示點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，根據(jù)PEQF列方程就好了3MBQ與BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況討論圖文解析（1）由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)將A(3, 0)、B(0, 3)分別代入yx2bxc，得 解得所以拋物線的解析式為yx22x3（2）在APQ中，PAQ45°，AP3t，AQt分兩種情況討論直角三角形APQ：當(dāng)PQA90°時(shí)，APAQ解方程3t2t，得t1（如圖2）當(dāng)QPA90°時(shí)，AQAP解方程t(3t)，得t1.5（如圖3）圖2 圖3（3）如圖4，

24、因?yàn)镻E/QF，當(dāng)EF/PQ時(shí)，四邊形EPQF是平行四邊形所以EPFQ所以yEyPyFyQ因?yàn)閤Pt，xQ3t，所以yE3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t因?yàn)閥EyPyFyQ，解方程3t(t24t)t，得t1，或t3（舍去）所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2, 3)圖4 圖5（4）由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，AB3由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，BM所以MBQBOP90°因此MBQ與BOP相似存在兩種可能：當(dāng)時(shí)，解得（如圖5）當(dāng)時(shí)，整理，得t23t3

25、0此方程無實(shí)根考點(diǎn)伸展第（3）題也可以用坐標(biāo)平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照PE方向，將點(diǎn)Q向上平移，得F(3t, 3)再將F(3t, 3)代入yx22x3，得t1，或t3 §12 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先回顧兩個(gè)畫圖問題：1已知線段AB5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2已知線段AB6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個(gè)點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外在討論等腰三角形

26、的存在性問題時(shí)，一般都要先分類如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算哪些題目適合用幾何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是確定的，夾A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法如圖1，如果ABAC，直接列方程；如圖2，如果BABC，那么；如圖3，如果CACB，那么代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）

27、就可以羅列出來圖1 圖2 圖3 例 9 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P始終與x軸相交；（3）設(shè)P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動(dòng)圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況思路點(diǎn)撥1不算不知道，一算真奇妙，原來P在x軸上截得的弦長MN4

28、是定值2等腰三角形AMN存在五種情況，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)有三個(gè)值，根據(jù)對稱性，MAMN和NANM時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的圖文解析（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2，得解得（舍去了負(fù)值）（2）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng)AMAN時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0圖2 圖3如圖4，當(dāng)MAMN時(shí)，

29、在RtAOM中，OA2，AM4，所以O(shè)M2此時(shí)xOH2所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為如圖5，當(dāng)NANM時(shí)，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為圖4 圖5如圖6，當(dāng)NANM4時(shí)，在RtAON中，OA2，AN4，所以O(shè)N2此時(shí)xOH2所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為如圖7，當(dāng)MNMA4時(shí)，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為圖6 圖7考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0, 1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P始終與直線y1相切這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，P始終與直線y1相切例 10 2014年湖南省張家界市

30、中考第25題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線yax2bxc（a0）過O、B、C三點(diǎn)，B、C坐標(biāo)分別為(10, 0)和，以O(shè)B為直徑的A經(jīng)過C點(diǎn)，直線l垂直x軸于B點(diǎn)（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是A上一動(dòng)點(diǎn)（不同于O、B），過點(diǎn)M作A的切線，交y軸于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想mn的值，并證明你的結(jié)論；（4）若點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從B出發(fā)，以相同速度向點(diǎn)C作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t（0t8）秒時(shí)恰好使BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值 圖 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名

31、“14張家界25”，拖動(dòng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，EAF保持直角三角形的形狀，AM是斜邊上的高拖動(dòng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，BPQ有三個(gè)時(shí)刻可以成為等腰三角形 思路點(diǎn)撥1從直線BC的解析式可以得到OBC的三角比，為討論等腰三角形BPQ作鋪墊2設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便3第（3）題連結(jié)AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜邊上的高 4第（4）題的PBQ中，B是確定的，夾B的兩條邊可以用含t的式子表示分三種情況討論等腰三角形圖文解析（1）直線BC的解析式為（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(10, 0)兩點(diǎn)，設(shè)yax(x10)代入點(diǎn)C，得解得所以拋物線的頂點(diǎn)為（3）如圖2，因?yàn)镋F切

32、A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得RtAOERtAME所以12同理34于是可得EAF90°所以51由tan5tan1，得所以ME·MFMA2，即mn25 圖2（4）在BPQ中，cosB，BP10t，BQt分三種情況討論等腰三角形BPQ：如圖3，當(dāng)BPBQ時(shí)，10tt解得t5如圖4，當(dāng)PBPQ時(shí)，解方程，得如圖5，當(dāng)QBQP時(shí)，解方程，得圖3 圖4 圖5考點(diǎn)伸展在第（3）題條件下，以EF為直徑的G與x軸相切于點(diǎn)A如圖6，這是因?yàn)锳G既是直角三角形EAF斜邊上的中線，也是直角梯形EOBF的中位線，因此圓心G到x軸的距離等于圓的半徑，所以G與x軸相切于點(diǎn)A圖6例 11

33、 2014年湖南省邵陽市中考第26題在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2(mn)xmn（mn）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（1）若m2，n1，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，求ACB的大小；（3）若m2，ABC是等腰三角形，求n的值動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14邵陽26”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動(dòng)點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，ABC保持直角三角形的形狀點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)，觀察ABC的頂點(diǎn)能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗(yàn)到，等腰三角形ABC有4種情況思路點(diǎn)撥1拋物線的

34、解析式可以化為交點(diǎn)式，用m，n表示點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)2第（2）題判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比3第（3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程圖文解析（1）由yx2(mn)xmn(xm)(xn)，且mn，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，可知A(m, 0)，B(n, 0)若m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)（2）如圖1，由于C(0, mn)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1)，mn1，OC1若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，那么OA·OBm(n)mn1所以O(shè)C2OA·OB所以所以tan1tan2所以12又因?yàn)?與3互余，所以

35、2與3互余所以ACB90°圖1 圖2 圖3（3）在ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點(diǎn)間的距離公式，得AB2(n2)2，BC25n2，AC244n2當(dāng)ABAC時(shí)，解方程(n2)244n2，得（如圖2）當(dāng)CACB時(shí)，解方程44n25n2，得n2（如圖3），或n2（A、B重合，舍去）當(dāng)BABC時(shí)，解方程(n2)25n2，得（如圖4），或（如圖5）圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1)，mn1由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,1)，得AB2(m

36、n)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以AB2BC2AC2于是得到RtABC，ACB90°第（3）題在討論等腰三角形ABC時(shí)，對于CACB的情況，此時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，可以直接寫出B(2, 0)，n2例 12 2014年湖南省婁底市中考第27題如圖1，在ABC中，ACB90°，AC4cm，BC3cm如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0t4），解答下列問題：（1）設(shè)APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如圖2

37、，連結(jié)PC，將PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC，當(dāng)四邊形PQPC為菱形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，APQ是等腰三角形？圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14婁底27”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況還可以體驗(yàn)到，當(dāng)QC2HC時(shí)，四邊形PQPC是菱形思路點(diǎn)撥1在APQ中，A是確定的，夾A的兩條邊可以用含t的式子表示2四邊形PQPC的對角線保持垂直，當(dāng)對角線互相平分時(shí)，它是菱形，圖文解析（1）在RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA，cosA作QDAB于D，那么QDAQ sinAt所以SSAPQ

38、當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為（2）設(shè)PP與AC交于點(diǎn)H，那么PPQC，AHAPcosA如果四邊形PQPC為菱形，那么PQPC所以QC2HC解方程，得圖3 圖4（3）等腰三角形APQ存在三種情況：如圖5，當(dāng)APAQ時(shí)，5tt解得如圖6，當(dāng)PAPQ時(shí)，解方程，得如圖7，當(dāng)QAQP時(shí)，解方程，得圖5 圖6 圖7考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果點(diǎn)Q是PPC的重心，求t的值如圖8，如果點(diǎn)Q是PPC的重心，那么QCHC解方程，得 圖8例 13 2015年湖南省懷化市中考第22題如圖1，已知RtABC中，C90°，AC8，BC6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從ABC

39、方向運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運(yùn)動(dòng)，求ABC被直線PQ掃過的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在時(shí)間t，使得PQC為等腰三角形若存在，求出此時(shí)的t值，若不存在，請說明理由（，結(jié)果保留一位小數(shù)）圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況 思路點(diǎn)撥1過點(diǎn)B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值2線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點(diǎn)Q分別在AB、BC上3等腰三角形PQC

40、分三種情況討論，先羅列三邊長圖文解析（1）在RtABC中，AC8，BC6，所以AB10如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，作BD/PQ交AC于點(diǎn)D，那么所以AD5所以CD3如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，又因?yàn)?，所以因此PQ/BD所以PQ的最大值就是BD在RtBCD中，BC6，CD3，所以BD所以PQ的最大值是圖2 圖3 圖4（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，0t5，SABD15由AQPABD，得所以SSAQP如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，5t8，SABC24因?yàn)镾CQP，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t40（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，CQ2CP，C90°，所以PQC不可能成為等腰三角形

41、當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，我們先用t表示PQC的三邊長：易知CP8t如圖2，由QP/BD，得，即所以如圖4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA，AH在RtCQH中，由勾股定理，得CQ分三種情況討論等腰三角形PQC：（1）當(dāng)PCPQ時(shí)，解方程，得3.4（如圖5所示）當(dāng)QCQP時(shí)，整理，得所以(11t40)(t8)0解得3.6（如圖6所示），或t8（舍去）當(dāng)CPCQ時(shí)，整理，得解得3.2（如圖7所示），或t0（舍去）綜上所述，當(dāng)t的值約為3.4，3.6，或等于3.2時(shí)，PQC是等腰三角形圖5 圖6 圖7考點(diǎn)伸展第（1）題求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值，可以用代數(shù)計(jì)算說理的方法：如圖8，當(dāng)點(diǎn)Q在A

42、B上時(shí)，PQ當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ最大，此時(shí)t5，PQ的最大值為如圖9，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQ當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ最大，此時(shí)t5，PQ的最大值為綜上所述，PQ的最大值為圖8 圖9§13 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先看三個(gè)問題：1已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？3已知點(diǎn)A(4,0)，如果OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)圖1 圖2 圖3如圖1，點(diǎn)C在垂線上，垂足除外如圖2，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點(diǎn)除外如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個(gè)正

43、方形，除了O、A兩點(diǎn)以外的頂點(diǎn)和正方形對角線的交點(diǎn)，都是符合題意的點(diǎn)B，共6個(gè)解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便如圖4，已知A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓

44、，快速找到兩個(gè)符合條件的點(diǎn)C如果作BDy軸于D，那么AOCCDB設(shè)OCm，那么這個(gè)方程有兩個(gè)解，分別對應(yīng)圖中圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn) 圖4例 19 2015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知拋物線E1：yx2經(jīng)過點(diǎn)A(1,m)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過點(diǎn)B(2,2)，點(diǎn)A、B關(guān)于y 軸的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交

45、于點(diǎn)P，求PAA與PBB的面積之比 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線E1上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P始終是線段OP的中點(diǎn)還可以體驗(yàn)到，直角三角形QBB有兩個(gè)思路點(diǎn)撥1判斷點(diǎn)P是線段OP的中點(diǎn)是解決問題的突破口，這樣就可以用一個(gè)字母表示點(diǎn)P、P的坐標(biāo)2分別求線段AABB，點(diǎn)P到AA的距離點(diǎn)P到BB的距離，就可以比較PAA與PBB的面積之比圖文解析（1）當(dāng)x1時(shí)，yx21，所以A(1, 1)，m1設(shè)拋物線E2的表達(dá)式為yax2，代入點(diǎn)B(2,2)，可得a所以yx2（2）點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB存在兩種情況：圖3 圖4如圖3，過點(diǎn)B作BB的

46、垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2, 4)如圖4，以BB為直徑的圓D與拋物線E1交于點(diǎn)Q，那么QD2設(shè)Q(x, x2)，因?yàn)镈(0, 2)，根據(jù)QD24列方程x2(x22)24解得x此時(shí)Q（3）如圖5，因?yàn)辄c(diǎn)P、P分別在拋物線E1、E2上，設(shè)P(b, b2)，P(c, )因?yàn)镺、P、P三點(diǎn)在同一條直線上，所以，即所以c2b所以P(2b, 2b2)如圖6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA2，BB4由A(1, 1)、P(b, b2)，可得點(diǎn)P到直線AA的距離PM b21由B(2,2)、P(2b, 2b2)，可得點(diǎn)P到直線BB的距離PN2b22所以PAA與PBB的面積比2(b21)4(2b22)14圖5 圖6考點(diǎn)延伸第（2）中當(dāng)BQB90°時(shí)，求點(diǎn)Q(x, x2)的坐標(biāo)有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方法三，作QHBB于H，那么QH2BH·BH所以(x22)2(x2) (2x) 例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)B