做幾何證明題方法歸納

1、做幾何證明題方法歸納知識(shí)歸納：1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐 步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再 把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較

2、起來，分析法利于思考，綜合法易于 表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離， 最后達(dá)到證明目的。3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖 形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線， 以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。一. 證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常 用

3、到。例 1.已知：如圖 1 所示， ABC 中， C 90，AC BC，AD DB，AE CF 。 求證：DE= DFAED分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，A B 45，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD,易得CD AD , DCF 45。從而不難發(fā)現(xiàn)DCF DAE證明：連結(jié)CDAC BCA BACB 90 , AD DBCDBDAD,DCBBAAECF ,ADCB , AD CDADECDFDEDF說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中， 平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長E

4、D到G,結(jié)BG,證 EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例 2.已知：如圖 2 所示，AB= CD , AD = BC, AE= CF。求證：/ E=Z FEf 1 / IAD/7/ x /#1陣.lj Jf1W f:BC/F圖2證明：連結(jié)AC在ABC和CDA中，AB CD, BC AD, AC CAABC CDA(SSS)B DAB CD, AE CFBE DF在BCE和DAF中，BE DFB DBC DABCE DAF (SAS)E F說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形,作頂角的 更應(yīng)該連結(jié)CD, 使DG = DE,連這時(shí)應(yīng)注意:(1) 制造的全等

5、三角形應(yīng)分別包括求證中一量；(2) 添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。二. 證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、 錯(cuò)角或同旁角的關(guān)系來證， 也可通過邊對(duì)應(yīng)成比例、 三角形中位線定理證明。 證兩條直線垂 直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于 90。，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是 ABC的角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂 線。求證：KH / BCQ pB MN C圖3分析：由已知，BH平分/ ABC, 又 BH丄AH,延長 AH交BC于N，貝U BA= BN , AH = HN。同

6、理，延長 AK交BC于M，貝U CA= CM , AK= KM。從而由三角形的中位線定理，知 KH / BC。證明：延長AH交BC于N，延長AK交BC于M/ BH平分ZABCZ ABHZ NBH又BH丄AHZ AHBZ NHB 90BH= BHABHNBH (ASA)BA BN, AH HN同理，CA= CM, AK = KMKH是AMN的中位線KH /MN即 KH/BC說明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。 我們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折(軸對(duì)稱)而成一個(gè)等腰三角形。例 4.已知：如圖 4 所示，AB = AC, Z A 90 , A

7、E BF , BD DC。求證：FD丄EDA/1 、EF1JH.2 3/1K17BDC圖4證明一：連結(jié)ADABAC，BDDCZ 1Z 290，Z DAE Z DAB/ BAC 90 , BD DCBD AD/ B / DAB / DAE在ADE和BDF中,AE BF，/ B Z DAE , AD BDADE BDF3 13290FD ED說明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長 ED到M，使DM = ED，連結(jié)FE，F(xiàn)M，BMA/FE/ IfiBDCrM圖5BD DCBDM CDE , DM DEBDM CDECE BM, C

8、 CBMBM / /ACA 90ABM 90 AAB AC, BF AEAF CE BMAEF BFMFE FMDM DEFD ED說明：證明兩直線垂直的方法如下：(1)首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證(2)找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。(3) 證明二直線的夾角等于90 °。三. 證明一線段和的問題(一)在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。(截長法)例5.已知：如圖6所示在 ABC中， B 60 , / BAC、/ BCA的角平分線 AD、CE 相交于0。求證：AC= AE+ CD分析：在AC上

9、截取AF= AE。易知 AEO AFO ,12。由 B 60，知5660 ,160 ,23120123460 ，得：FOC DOC, FC DC證明：在AC上截取AF = AEBAD CAD, AO AOAEO AFO SAS4 2又 B 605 6601 602 3120123460FOC DOC （AAS）FC DC即 AC AE CD（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法）例6.已知：如圖7所示，形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上， EAF 45。求證：EF= BE+ DFADFG BEC圖7分析：此題若仿照例1，將

10、會(huì)遇到困難，不易利用形這一條件。不妨延長CB 至 G, 使BG= DF。證明：延長CB至G,使BG= DF在形 ABCD 中，ABGD 90 , AB ADABG ADF (SAS)AG AF,13又 EAF 4523 4521 45即/ GAE=Z FAEGE EFEF BE DF中考題：如圖8所示，已知 ABC為等邊三角形，延長BC到D,延長BA到E,并且使AE= BD, 連結(jié)CE、DE。求證：EC= EDEBCD圖8證明：作DF/AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又 AE= BDAE FD BFBA AF EF即 EF= ACAC/FDEAC EFDEAC DFE (SAS)

11、EC ED題型展示：2 , AB AC 。證明幾何不等式：例題：已知：如圖 9所示， 1求證：BD DC/I'-.1 2CBDE圖9證明一：延長AC到E,使AE= AB,連結(jié)DE在ADE和ADB中,AE AB, 21, AD ADADE ADBBD DE, EBDCE BDCE EDE DC, BD DC證明二：如圖10所示，在 AB上截取AF = AC,連結(jié)DFAA12/ F 3 4/-IBD C圖10則易證 ADF ADC3 4, DF DCBFD 3,4 BBFD BBD DFBD DC說明：在有角平分線條件時(shí)，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線。實(shí)戰(zhàn)模擬：1.已

12、知：如圖11所示， ABC中， C 90，D是AB上一點(diǎn)，DE丄CD于D，交BC 1于E,且有 AC AD CE。求證：DE CD22.已知：如圖12所示，在 ABC 中,A 2 B , CD是/ C的平分線。求證：BC= AC + ADBC圖123.已知：如圖13所示，過ABC的頂點(diǎn)A，在/ A任引一射線，過 B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MP = MQABC圖13BC4. ABC 中， BAC 90 , AD BC 于 D，求證：AD - AB AC4【試題答案】1.證明：取CD的中點(diǎn)F,連結(jié)AFC4 1/ F3 E/ /ADBAC ADAF CDAFC CDE 90又 1490 ,139043AC CEACF CED (ASA)CF ED1DE CD22.分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一 條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長補(bǔ)短”的手法?！敖亻L”即將長的線段截成兩 部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長出另一條短線段之 長，證明其和等于長的線段。E證明：延長CA至E,使CE= CB,連結(jié)ED 在 CBD和 CED中，CB CEBCD ECDCDCDCBDCEDBEBAC2BBAC2E又 BACADEEADE