統(tǒng)計知識點及常見題型

1、統(tǒng)計知識點及常見題型1. 總體和樣本：在統(tǒng)計學中，把研究對象的全體叫做總體.把每個研究對象叫做個體.把總體中個體的總數叫做總體容量.為了研究總體T的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：，心，,研究，我們稱它為樣本.其中個體的個數稱為樣本容量.2. 簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、戈咲、排隊等， 完全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣 是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少 時，才采用這種方法。3. 簡單隨機抽樣常用的方法：（1）抽簽法

2、；隨機數表法；計算機模擬法；使用統(tǒng)計軟件直接抽取。 在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：總體變異情況；允 許誤差范圍；概率保證程度。4 .抽簽法:（1）給調查對象群體中的每一個對象編號；（2）準備抽簽的工具，實施抽簽（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。5.隨機數表法：例：利用隨機數表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。1. 系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽 取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。K （抽樣距離）二N （總體規(guī)模）/n （樣本規(guī)模）前提條件

3、：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在 某種與研究變量相關的規(guī)則分布。可以在調查允許的條件下，從不同的樣本幵始 抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種 循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。2. 系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的 要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助 變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大 大提高估計精度。1. 分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或

4、層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一 個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。兩種方法：1. 先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2. 先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊 排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2. 分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同 的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標準：(1) 以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。(2) 以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變 量作為分層變量。(3) 以那

5、些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3. 分層的比例問題：(1) 按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比 重來抽取子樣本的方法。(2) 不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小， 其樣本量就會非常少， 此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。 如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整 樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。1、 樣 本均值：X 厘丄2Xnn2、.樣本標準差：S礙J% X)2 % X)2 區(qū)k»n3. 用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理， 那么樣本可以反映

6、總體的信息， 但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我 們用樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實 反映了總體的信息。4. (1)如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準 差不變(2) 如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變?yōu)樵瓉?的k倍(3) 組數據中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(X 3s,x 3s)的應用; “去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理1、 概念:(1)回歸直線方程(2)回歸系數2. 回歸直線方程

7、的應用(1) 描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系(2) 利用回歸方程進行預測；把預報因子(即自變量x )代入回歸方程對預報量(即因變量 Y)進行估計，即可得到個體 Y值的容許區(qū)間。(3) 利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定 Y值的變化，通過控制x的范圍來實現統(tǒng)計控制的目標。如已經得到了空氣中 NO的濃度和汽車流量間的 回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO的濃度。4應用直線回歸的注意事項（1）做回歸分析要有實際意義；（ 2）回歸分析前 , 最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。題型一選擇合適的抽樣方法簡單隨機抽樣 ，也叫純隨機抽樣。 就是從總體

8、中不加任何分組、劃類、排隊 等，完全隨機地抽取調查單位系統(tǒng)抽樣 （等距抽樣或機械抽樣） ：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距 離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡 單隨機抽樣的辦法抽取。分層抽樣 （類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、 年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采 用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這 些子樣本合起來構成總體的樣本。1. 現有以下兩項調查：某裝訂廠平均每小時大約裝訂圖書362冊，要求檢驗員 每小時抽取40冊圖書，檢查其裝訂質量狀況；某市有大型、中型與小型的商店共1500家，三者數量之比為

9、1 : 5 : 9.為了調查全市商店每日零售額情況，抽取 其中15家進行調查. 完成、這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是（）A. 簡單隨機抽樣法，分層抽樣法B. 分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法D .系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法2. 某社區(qū)有 400個家庭，其中高等收入家庭 120 戶，中等收入家庭 180戶，低收入家庭 1 0 0戶.為了調查社會購買力的某項指標， 要從中抽取一個容量為 100的樣 本記作；某校高一年級有 12名女排球運動員，要從中選出 3人調查學習負擔情 況，記作；那么，完成上述 2項調查應采用的抽樣方法是（）A.用隨機抽樣法，用系統(tǒng)抽樣法B.用分層抽樣法，用隨

10、機抽樣法C.用系統(tǒng)抽樣法，用分層抽樣法D. 用分層抽樣法，用系統(tǒng)抽樣法題型二： 系統(tǒng)抽樣剔除個體數計算 當系統(tǒng)抽樣中樣本總量除以樣本容量不是整數時，需要用簡單隨機抽樣法剔除部分個體，剔除個35體的數量=樣本總量一組距卅羊本容量。例.若總體中含有 1650 個個體，現在要采用系統(tǒng)抽樣，從中抽取一個容量為的樣本，分段時應從總體中隨機剔除 個個體，編號后應均分為 _段，每段有 個個體.5,35,47題型三：分層抽樣有關計算 樣本容量分層抽樣特點：各層抽樣比例 =總體抽樣比例=，每層抽取個體數量=該層個體總量 抽樣總體容量比例。經典例題：某校高中部有三個年級，其中高三有學生1000人，現采用分層抽樣法

11、抽取一個容量為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了 60人，則高中部共有多少學生？練習.某單位業(yè)務人員、管理人員、后勤服務人員人數之比依次為15 : 3： 2.為了了解該單位職員的某種情況，采用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中業(yè)務人員人數為30，則此樣本的容量 門為（ ）C. 40D . 80題型四：頻率分布直方圖畫法步驟作頻率分布直方圖分布的步驟求極差（即一組數據中最大值與最小值的差）決定組距與組數，一般樣本容量越大組數越多，經常分為512組，組距盡量取整。將數據分組，通過唱票計算各組的頻數列頻率分布表，根據各組頻數計算頻率，列出頻率分布表畫出頻率分布直方圖,橫

12、軸只畫最小值與最大值之間部分，縱軸表示頻率組距的值題型五:由頻率分布直方圖估計眾數、平均數、中位數（由頻率分布直方圖估計眾數：一般先計算各部分小矩形的面積，找到面積最大的矩形，取該矩形橫邊中點對應的數即為所求（由頻率分布直方圖估計平均數：一般利用平均數公式 X X.P, x2p2xnpn來計算，其中Xn表示第n個矩形橫邊中點對應的數，Pn表示第n個矩形的面積。（由頻率分布直方圖估計中位數：就是平分直方圖面積且垂直于橫軸的直線對應的數。前n個小矩形面積不足時,不足部分數值中位數=下一個矩形橫邊左端點+x組距該小矩形面積題型六：頻率分布表中未知量計算各組頻數之和二樣本容量，各組頻率之和 =1,各組

13、頻數我率二樣本容 數據落在某區(qū)間的概率 V區(qū)間包括的各組頻率之和經典例題：為了了解小學生的體能情況，抽取了某小學同年級部分學生進行跳繩測試，將所得的數據整理后畫出頻率分布直方圖（如下圖），已知圖中從左到右的 前三個小組的頻率分別是，.第一小組的頻數是5.（1）求第四小組的頻率和參加這次測試的學生人數；（2）在這次測試中，學生跳繩次數的中位數落在第幾小組內？（3）參加這次測試跳繩次數在100次以上為優(yōu)秀，試估計該校此年級跳繩成績優(yōu)秀率是多少?組試估計該年級學生平均跳繩次數，中位數、眾數練習一.2005年降雨量的概率如下表所示:次數（1）求年降雨量在100,200范圍內的概率；（2）求年降雨量在1

14、50,200或250,300范圍內 的概率; 求年降雨量不在150,300范圍內的概率；（4）求年降雨量在100,300范圍內的概率.年降雨量/mm概率0. 120. 250. 160. 14練習2某地區(qū)的年降水量在下列范圍內的概率如下表所示年降水量（單位：:100，:150，:200，:250，mm150)200)250)300)概率則年降水量在150, 300 （mm范圍內的概率為（）A. B . C .D練習3. （2014重慶文17）（本小題滿分13分.（I ）小問4分，（II ）小問4分,（III ）小問5分）20名學生某次數學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示： 洞穿高考

15、預測題六（I）求頻率分布直方圖中a的值；（II ）分別求出成績落在50,60與60,70中的學生人數；（III ）從成績在50,70的學生中任選2人，求此2人的成績都在60,70中的概率.題型七：用平均數和方差判斷產品質量、成績好壞、產量高低等平均數和方差（標準差）都是反映數據離散程度的工具。成績好壞、產量高低等指標首先看平均數越高越好，當平均數相近或相同時，可以用方差（標準差）來刻畫樣本的穩(wěn)定性。題型八：求線性相關的兩個變量的回歸直線方程，并作出適當預測第一步：作散點圖第二步：求回歸方程第三步：代值計算nn_xx nX y（Xj x）（yi y）求線性回歸方程系數公式：I?匕,? y bX.X2 nX2（xi x）2i 1i 1重要結論正相關則 b> 0,負相關則bv 0,當解釋變量增加一個單位時，預報變量相應增加（b>0）或減少（b v 0） | b丨個單位? y bx , （x, y）稱為樣本點的中心，此點一定在回歸直線上。用回歸直線方程計算出的 y值不是真實值，真實值在計算值的左右，可能大，可能小也可能相等。相關指數R2用來刻畫擬合效果，R2的值越大，擬合效果越好，反之則越差，一般選擇 氏值大的模型。