(完整版)《復(fù)變函數(shù)》考試試題與答案(十三)

1、復(fù)變函數(shù)考試試題（十三）一、填空題（每題分）設(shè) z r (cosi sin)，則 1_ z設(shè)函數(shù)f ( z)u(x, y)iv (x, y) ， Au0 iv 0 ， z0x0 iy 0 ，則 lim f ( z)A 的充z z0要條件是 _ 設(shè)函數(shù)f ( z) 在單連通區(qū)域 D 內(nèi)解析，則f (z) 在 D 內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線C 的積分f ( z)dz_ C設(shè) z a 為 f ( z) 的極點(diǎn)，則 limf (z)_ z a設(shè) f ( z)zsin z ，則 z 0 是 f ( z) 的 _階零點(diǎn)設(shè) f (z)1，則 f ( z) 在 z0 的鄰域內(nèi)的泰勒展式為 _1z2設(shè) z a za

2、b ，其中 a, b 為正常數(shù)，則點(diǎn)z 的軌跡曲線是 _ 設(shè) zsini cos，則 z 的三角表示為 _ 664 z coszdz_ 0設(shè) f ( z)e z，則 f ( z) 在 z0 處的留數(shù)為 _ z2二、計算題計算下列各題 （分）(1)cosi ；(2) ln(23i ) ;(3) 33 i2求解方程z380（分） 設(shè) ux2y2xy ， 驗 證 u 是 調(diào) 和 函 數(shù) ， 并 求 解 析 函 數(shù) f (z) uiv ， 使 之f (i )1i （分）計算積分 （ 10 分）(1)(x2iy) dz，其中 C 是沿 yx2 由原點(diǎn)到點(diǎn) z1i 的曲線C1 iy)ix 2 dz ，積分

3、路徑為自原點(diǎn)沿虛線軸到i ，再由 i 沿水平方向向右到1 i (2)( x0試將函數(shù)f (z)1分別在圓環(huán)域 0z1 和 1 z 2 內(nèi)展開為洛朗級(z1)(z 2)數(shù)（分）計算下列積分 （分）5z2(2) ?zsin 2z(1)?z 2 z(z1)2dz；4 z2 ( z1)dz 計算積分x24 dx （分）1x求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分）(1)nzn 1 ；(2)( 1)n zn n 1n 1n!2討論f ( z)z 的可導(dǎo)性和解析性 （分）三、證明題設(shè)函數(shù)f ( z) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，f (z) 為常數(shù)，證明f (z) 必為常數(shù)（分）試證明 azazb0 的軌跡是一直線，其中a 為復(fù)

4、常數(shù)， b 為實(shí)常數(shù)（分）復(fù)變函數(shù)考試試題（十三）參考答案一、填空題（每題分）1.1 e i2.lim u(x, y)rxxoyyo5.26.1z2z4u0 及z6limv(x, y) v03.04.xxoyyo(1)n z2n7.橢圓8.1 (12i )9.2 (14)110.122二、計算題計算下列各題 （分）解: (1)cosi1 (ee 1 )2(2)ln(23i )ln23ii arg(23i )1i (3ln13arctan)22(3)33ie(3i)ln3e(3 i )(ln3i 2k)e3ln32 k i (6 kln3)27 e2 kcos(ln 3)i sin(ln 3)3

5、3ii2 k332.解 :8 0z82e(k0,1,2)z8e故 z380 共有三個根 :z013 ,z12 , z2 1 33.解 :ux2y 2xyux2xy,uy2 yx2u2u220u 是調(diào)和函數(shù) .x22yv(x, y)( x, y)uxdyc( x, y )(2 yx)dx(2 xy)dyc( uy ) dx(0,0)(0,0)xx)dxyy)dyc(2 x00x2y2c2xy22f (z)uiv(x2y2xy)x2y21i(2xy2)221(2i ) z21i22154.解 (1)(x2iy )dz1( x2ix 2 )d ( xix 2 )i0c661 iy)ix 2 dzi1

6、1( x1)ix 2 dx(2)( x(y)dy000ii11 (3i )2326n5. 解:0 z 1 時 f ( z)1111( z)zn( z 1)(z 2) z 2 z 12 n o 2n 0(11) znn0zn11z2 時 f ( z)11111(z1)(z2)z2z12(1z)z(11)2zzn1no 2n1n0 zn6.解 :(1)cz25z22 dz2iRe s( f ,)4iz( z1)?(2)?zsin 2 zdz2i Re s( f ,)04 z2 ( z1)7.解 :設(shè) f (z)1z2z12 (1i ) 和 z22 (1i) 為上半平面內(nèi)的兩個一級極點(diǎn) ,z422且

7、 Res f ( z), z1limz21i2 (42iz z1 z1i )( z2i )2Re s f ( z), z2 limz21iz z22 (1i )( z2i )42i z21x2dx2i( 1i1i )2x442i42i8. (1) R1(2)R9. 解 : 設(shè) zxiy ,則 f (z)z22y 2ux2x,uy2 y, vx vy 0x當(dāng)且僅當(dāng) xy0時,滿足 CR 條件 ,故 f (z) 僅在 z0 可導(dǎo) ,在 z 平面內(nèi)處處不解析 .三、1. 證明 : 設(shè) fuiv ,因為 f ( z) 為常數(shù) ,不妨設(shè) u2v2C (C為常數(shù) )則 u uxv vy0u u yv vy0由于f (z)在D,ux vy,uyvx內(nèi)解析 從而有將此代入上述兩式可得uxuyvxvy0于是 uC1 ,vC2 因此f ( z) 在 D 內(nèi)為