(完整版)因式分解的十二種方法(已整理)

1、因式分解的十二種方法:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下：1 、 提公因法如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考題 )x -2x -x=x(x -2x-1)2 、 應(yīng)用公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。例 2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)解： a +4ab+4b =（ a+2b ）3 、 分組分解法要把多項(xiàng)式 am+

2、an+bm+bn 并提出公因式 b，從而得到分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n ，從而得到a ，把它后兩項(xiàng)分成一組， (a+b)(m+n)例 3、分解因式 m +5n-mn-5m解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4 、 十字相乘法對(duì)于 mx +px+q形式的多項(xiàng)式，如果a×b=m,c× d=q 且 ac+bd=p ，則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)例 4、分解因式 7x -19x-6分析：

3、1 -37 22-21=-19解： 7x -19x-6= （ 7x+2 ） (x-3)5 、配方法對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。例 5、分解因式 x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6 、拆、添項(xiàng)法可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+

4、b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、 換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。例 7、分解因式 2x -x -6x -x+2解： 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6= x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (

5、x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多項(xiàng)式f(x)=0, 求出其根為x ,x ,x ,x則,多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x )例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通過綜合除法可知，f(x)=0 根為，-3 ， -2 ， 1則 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 圖象法令 y=f(x) ，做出函數(shù)y=f(x) 的圖象，找到函數(shù)圖象與X 軸的交點(diǎn) x ,x ,x ,x ，則多項(xiàng)式可因式

6、分解為f(x)=f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x )例 9、因式分解x +2x -5x-6解：令 y= x +2x -5x-6作出其圖象，見右圖，與x 軸交點(diǎn)為 -3 ， -1， 2則 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10 、 主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此題可選定a 為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解： a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(

7、b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11 、 利用特殊值法將 2 或 10 代入 x，求出數(shù) P ，將數(shù) P 分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2 或10 的和與差的形式，將2 或 10 還原成 x，即得因式分解式。例 11、分解因式 x +9x +23x+15解：令 x=2 ，則 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105將 105 分解成 3 個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3× 5×7注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而 3、 5、 7 分別為 x+1 ， x+3 ， x+5 ，在 x=2 時(shí)的值則 x +9x +23x+15= （x+1 ）（ x+3 ）（ x+5 ）12 、待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例 12、分解因式 x -x -5x -6x-4分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩