(完整版)三角形四心與平面向量(用)

1、向量與三角形內心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹（ 1）重心中線的交點：重心將中線長度分成2： 1；（ 2）垂心高線的交點：高線與對應邊垂直；（ 3）內心角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（ 4）外心中垂線的交點（外接圓的圓心） ：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結合（1） OAOBOC0O 是ABC 的重心.（2） OAOBOB OCOC OAO 為ABC 的垂心.（ 3）設a ,b ,c 是三角形的三條邊長，O是ABC的內心aOAbOBcOC0O 為ABC 的內心 .（ 4） OAOBOCO 為ABC 的外心。典型例題：例1：

2、O是平面上一定點， A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足OPOA( ABAC) ，0,，則點 P 的軌跡一定通過ABC 的（）A外心B內心C重心D垂心例 2 ：O是平面上一定點， A、B、C是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足OPOAABAC) ，0,，則點 P 的軌跡一定通過ABC 的（）(ACABA外心B內心C重心D垂心例 3：O是平面上一定點， A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足OPOAABAC)，0,，則點 P 的軌跡一定通過ABC 的(AC cosCAB cosB（）A外心B內心C重心D垂心例 4：若存在常數(shù),滿足 MGMAABAC0 , 則點 G可能

3、通過AB sin BAC sin CABC 的 _.若P點舉一反三： 通過上述例題及解答, 我們可以總結出關于三角形“四心”的向量表達式為ABC 內任意一點，若P點滿足 :uuuruuuruuurABAC0AP( uuuruuur ),1ABACP為VABC的內心 ;uuuruuuruuurBABC)， t0BPt ( uuuruuurBABC2. D、E 兩點分別是ABC 的邊 BC、CA 上的中點 , 且uuuruuuruuuruuurDPgPBDP gPCP為VABC的外心 ;uuuruuuruuuruuurggEP PCEP PAuuur1uuuruuurAP( ABAC ),3.uu

4、ur3uuuruuurP為VABC的重心 ;1BP( BABC)，3uuuruuur04.AP gBCP為VABC的垂心 .uuur uuurg0BP AC練習：1已知ABC 三個頂點 A、B、 C 及平面內一點P ，滿足 PAPBPC0 ，若實數(shù)滿足： ABACAP ，則的值為（）A 2B3C3D 622若ABC 的外接圓的圓心為 O，半徑為1， OAOBOC0，則 OA OB( )A1B0C 1D122點O在ABC內部且滿足 OA2OB2OC0，則ABC面積與凹四邊形ABOC面積3之比是（）A 0B3542CD434ABC的外接圓的圓心為OOAOBOC ，則H是ABC的（），若 OHA外心

5、B內心C重心D垂心5 OABC222是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若OABCOB、 、CA2OC22ABC 的（AB ，則 O是）A外心B內心C重心D垂心6ABC 的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H， OH m(OAOBOC) ，則實數(shù) m = 1ABACABAC7已知非零向量 AB與 AC滿足( + )· BC=0 且· =2 , 則 ABC為 ()|AB |AC|AB |AC |A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D 等邊三角形8已知 ABC 三個頂點2ABC 為、 、C，若ABAB ACAB CB BC CA，則AB（）A等腰三角形B

6、等腰直角三角形C直角三角形D既非等腰又非直角三角形9已知 A、B、 C 是平面上不共線的三點，O 是三角形 ABC的重心，動點 P 滿足OP =1(1 OA+1OB+2OC ),則點 P 一定為三角形ABC的（）322A.AB 邊中線的中點B.AB 邊中線的三等分點（非重心）C.重心D.AB 邊的中點222 AB ? CP ，則 P 點軌跡一定通過 ABC10在三角形 ABC 中，動點 P 滿足： CACB的：（） 外心內心C 重心D垂心11.若 O 點是 ABC 的外心 , H 點是uuuruuuruuuruuurABC 的垂心 , 且 OHm(OAOBOC ) , 求實數(shù) m 的值 .uuuruuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuur12、已知向量 O