歸納法的各種例子(7)

1、歸納法的各種例子（7） 習(xí)題與評(píng)注1將級(jí)數(shù)相乘，你會(huì)得到展開的前兩項(xiàng)。(a)再算出若干項(xiàng)，并嘗試猜測(cè)其一般項(xiàng)。(b)驗(yàn)證y滿足微分方程，利用此方程證明你的猜測(cè)。2將級(jí)數(shù)，相乘，你會(huì)得到展開式的前兩項(xiàng)。(a)再算出若干項(xiàng)，并嘗試猜測(cè)其一般項(xiàng)。(b)如果你的猜測(cè)是正確的，它將引出一個(gè)念頭，y滿足一個(gè)簡單的微分方程。建立此方程，證明你的猜測(cè)。3冪級(jí)數(shù)滿足函數(shù)方程。檢驗(yàn)這些系數(shù)，如果必要，再導(dǎo)出一些來，嘗試猜測(cè)其一般項(xiàng)。4冪級(jí)靈敏f(x)=1+x+x2+2x3+4x4+anxn+滿足函數(shù)方程證明an等于CnH2n+1OH（醇類）同分異構(gòu)化合物的數(shù)目。在n=4的場(chǎng)合，答案是正確的。丁醇C4H9OH的種數(shù)

2、是a4=4，它們表示在圖5·1，每一種化合物描畫成一個(gè)“樹”箭頭；H略去了。檢驗(yàn)n的其他值。圖5·1 C4H9OH化合物5證明：當(dāng)n=0，1，2，3，4，5（mod6）時(shí)，分別有。6一個(gè)橢圓繞它的長軸或短軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，分別形成一長旋轉(zhuǎn)橢球面或扁旋轉(zhuǎn)橢球面。對(duì)于長旋轉(zhuǎn)橢球面的表面積，分別表示其精確值和近似值（a，b和的意義如§2所述）。求(a)相對(duì)誤差的首項(xiàng)，(b)當(dāng)b=0時(shí)的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差的符號(hào)應(yīng)如何解釋？7對(duì)于扁旋轉(zhuǎn)橢球面的表面積，分別表示其精確和近似值。求(a)相對(duì)誤差的首項(xiàng)，(b)當(dāng)b=0時(shí)的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差的符號(hào)應(yīng)如何解釋。8比較習(xí)題6和7，你認(rèn)為哪一個(gè)

3、近似值比較符合半軸為a，b，c的橢球面的表面積？相對(duì)誤差的符號(hào)應(yīng)如何解釋？9§2從橢圓的參數(shù)表達(dá)式x=asint，y=bcost出發(fā)，證明并由此導(dǎo)出在§2中援引但未證明的首項(xiàng)。10（續(xù)）利用冪的展開式，證明0<1時(shí)，E>P。11§2決定的數(shù)值，使得式子P=P+（1-）P對(duì)于很小的數(shù)，給出E的最佳近似值。（也就是使得誤差（P-E）/E展開式首項(xiàng)的冪次盡可能的高。）12（續(xù)）按照§2的方法（歸納地?。┭芯拷浦礟。13給定正整數(shù)p和一個(gè)正數(shù)序列a1，a2，a3，an，證明。14（續(xù)）指出使上式成為等式的一個(gè)序列a1，a2，a3，。15解釋觀察到的

4、規(guī)律。物理學(xué)的發(fā)現(xiàn)時(shí)常是由兩個(gè)步驟得到，即先從觀察材料是看出某種規(guī)律性，然后將這種規(guī)律性解釋成某一個(gè)普遍法則的推論。這兩個(gè)步驟的間隔時(shí)間可能很長也可能由不同的人作出。一個(gè)很好的例子是關(guān)于刻卜勒和牛頓的：由刻卜勒觀察到的有關(guān)行星運(yùn)行的規(guī)律性，牛頓發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律得到解釋。類似的情況也發(fā)生在數(shù)學(xué)研究上，下面有一個(gè)很好的例子，它要求你具備不多的預(yù)備知識(shí)。普通的四位常用對(duì)數(shù)表列有900個(gè)尾數(shù)，包括了從100到999的整數(shù)的對(duì)數(shù)尾數(shù)。在觀察前，我們或許會(huì)以為0，1，9這些數(shù)字在表中出現(xiàn)的次數(shù)會(huì)一樣多，其實(shí)不然：從尾數(shù)的第一個(gè)有效數(shù)字來看，它們確實(shí)不一樣多，計(jì)算第一個(gè)有效數(shù)字相同的尾數(shù)的個(gè)數(shù)，得出表I（

5、檢驗(yàn)它?。?。第一個(gè)有效數(shù)字尾數(shù)數(shù)量比率0123456789263341526582103129164205合計(jì)900觀察表I的第二欄，我們可以看到，這里任意兩個(gè)連續(xù)數(shù)的比都大致相同。這促使我們把這些比率算到若干位小數(shù)：它們列于表的最后一欄。為什么這些比率近乎相等？試通過觀察到的近似規(guī)律考察出某種精確規(guī)律。表I第二欄的數(shù)字接近于幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)，你能發(fā)現(xiàn)跟近似級(jí)數(shù)的項(xiàng)有簡單聯(lián)系的精確幾何級(jí)數(shù)嗎？也許精確級(jí)數(shù)的公比應(yīng)該是表I最后一欄比率的某處平均數(shù)。16觀察到的事實(shí)的分類。博物學(xué)家的工作的重要部分是對(duì)其觀察到的對(duì)象進(jìn)行描述和分類。這種工作在林奈以后長期占優(yōu)勢(shì)。從那時(shí)起，博物學(xué)家的主要工作就包括描述新的

6、動(dòng)植物品種和將已知的品種分類。他們描述和分類的不僅是動(dòng)物和植物，還包括了其它對(duì)象，特別是礦物。晶體的分類，以其對(duì)稱為依據(jù)。正確的分類很重要，它能將觀察的不同種類縮小到一定數(shù)量的明確而有條理的程度。實(shí)在令人遺憾，數(shù)學(xué)家并不常有可能進(jìn)行描述和分類，但有時(shí)也會(huì)遇上。如果人熟悉平面幾何的某些簡單概念（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）的話，那么，你就會(huì)對(duì)花紋感興趣。圖5·2展示的是十四條裝飾條帶，每個(gè)條帶上都繪有循環(huán)重復(fù)的簡單縱（橫）線圖案。我們稱其為“花邊”。請(qǐng)你為左邊（用數(shù)字記號(hào)的）的每一種花邊，選配一種右邊（用字母記號(hào)的）的花邊，以使其具有同一種對(duì)稱類型。此外，請(qǐng)你觀察你能在形形色色的物體表面或古建筑上發(fā)現(xiàn)的條狀花紋，并設(shè)法使其與圖5·2的花邊相配。最后，請(qǐng)你編制一張完整的、包括有花邊的各種對(duì)稱類型的表格，并對(duì)每一類型的對(duì)稱做全面的描述?？梢园鸦ㄟ吙闯墒窍騼啥藷o限延伸的，并把產(chǎn)生的圖案當(dāng)作無限次周期性地重現(xiàn)的。注意：“對(duì)稱的類型”這個(gè)術(shù)語是尚未正式定義的。對(duì)這個(gè)術(shù)語作出合適的解釋，則是你工作的重要部分。圖5·2花邊的對(duì)稱17在圖上5·3上找出屬于同一對(duì)稱類型的兩種圖案。每一種圖案都可以想象成是以其重復(fù)的塊狀覆蓋在整個(gè)平面上的。圖5·3 兩種對(duì)稱18區(qū)別何在？拉丁字母表的二十六個(gè)大寫字母按下列方式分成為五組：A