復(fù)習(xí)專題：導(dǎo)數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)公式（ 1）、幾種常見的導(dǎo)數(shù)C；( x )(R)；(ax)=；(ex)；(logax)=；(ln x)； (sin x)；(cos x)（2）、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)則： k f ( x)； f ( x) g( x)；f(x) f ( x) g( x)；g(x)練習(xí)：sin x1、函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為 _ ；x2、若f (x)x2ln x, 則f( x)3、若f (x)sincos x, 則f( )二、函數(shù)的單調(diào)性f (x)C , f ( x)在區(qū)間A單調(diào)遞增f( x)0在 A 恒成立f (x)C , f ( x)在區(qū)間A單調(diào)遞減f( x)0在 A 恒成立作用：可求單調(diào)區(qū)間解不等式；

2、或判定函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)；常識(shí)：看到單調(diào)，就想到導(dǎo)數(shù)大于等于（或小于等于）0 在給定區(qū)間恒成立練習(xí)： 1、已知f ( x)ax33x2x1在 R 上是減函數(shù)，則a的取值范圍是2、設(shè)f( x)是函數(shù)f ( x)的導(dǎo)函數(shù)，yf (x)的圖象如圖（ 1）所示，則yf ( x)的圖象最有可能為（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、已知函數(shù)yf ( x),yg( x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么yf ( x),yg (x)的圖象可能是（）4、已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f ( x)f x() g (，x) gx()，且x0時(shí)，f ( x)0， g (x)0，則x 0時(shí)（）Af (x)0， g ( x)0B f ( x)0， g

3、(x) 0Cf (x) 0， g (x)0D f (x) 0， g (x) 05、若f (x)1x31ax2(a1) x 1在（ 1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在（6，+）上為增函數(shù)，則a的范圍是32三、極值和極值點(diǎn)（1）、極值點(diǎn)的判別法-函數(shù)草圖中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)或?qū)?shù)草圖中與x軸的交點(diǎn)函數(shù)的草圖導(dǎo)數(shù)的草圖注意點(diǎn)：如圖，( x1, f ( x1)是邊界點(diǎn)不是極值點(diǎn)；(x2, f (x2)，(x3, f (x3)是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，才是極值點(diǎn)，其中(x2, f ( x2)極大值點(diǎn)，(x3, f (x3)極小值點(diǎn)，f (x2)是極大值，f ( x3)極小值； -極大值、極小值統(tǒng)稱極值-是函數(shù)值由于極值點(diǎn)由橫坐標(biāo)決定，因此，

4、 常稱x2為極大值點(diǎn)，x3極小值點(diǎn)； 所以求極值點(diǎn) - 求橫坐標(biāo)（即f (x)0的解）導(dǎo)數(shù)的草圖需畫x軸；x軸上方，導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增；下方導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)遞減 -畫x軸學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）、求函數(shù)yf (x)的極值的方法：求出f ( x)0的根xi；利用導(dǎo)數(shù)草圖判定xi是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；求出極值（ 3）求最值的方法求出f ( x)0的根xi；作出導(dǎo)數(shù)草圖；作出函數(shù)草圖；計(jì)算比較得到最值練習(xí)： 1、已知函數(shù)f (x)x312x8在區(qū)間 3,3上的最大值為f ( x)x2x2在（，）的值域是2、已知f (x)x3bx2cx。如圖，yf (x)的圖象過點(diǎn)（ 1， 0），（ 2，

5、 0），則下列說法中：不正確的有x3f (x)取到極小值；時(shí)，函數(shù)y2函數(shù)yf ( x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；c6；x1時(shí)，函數(shù)yf (x)取到極大值；O123、設(shè)ab，函數(shù)y( xa)2( x b)的圖像可能是（）yyabxoxoabAByabxoyoaxbCD學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、若函數(shù)f ( x)x2a在x1處取極值，則ax1四、切線： 曲線yf ( x)在xx0處切線的斜率kf (x0)，切點(diǎn)(x0, f(x0)，從而切線方程為yf ( x0)f (x0)( xx0)-求切線方程 -關(guān)鍵在求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)練習(xí)： 1、設(shè)點(diǎn)P( x, y)是yx3x上一點(diǎn)，則在P點(diǎn)處的斜率取值范圍是2、曲線yxex2

6、 x1在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為3、已知曲線yx21，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3ln x的一條切線的斜率為244、設(shè) P 為曲線 C：yx22x 3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為0，則點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的取值范圍為45、在曲線yx33x26x10的切線中，則斜率最小的切線方程是6、若曲線y=x2ax b0bxy1=0，則a，b在點(diǎn)（ ， ）處的切線方程式7、若曲線fxax2Inx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解答題1、已知函數(shù)的切線方程為f (xx3bx2ax d的圖象過點(diǎn))6xy70.（）求函數(shù)yf ( x)的解析式；（）求函數(shù)yf ( x)的單調(diào)區(qū)間 .2、已知f (x)

7、是二次函數(shù)， 不等式f (x)0的解集是(0,5),且f (x)在區(qū)間1,4上的最大值是 12。（ I）求f (x)的解析式；（II ）是否存在自然數(shù)m,使得方程f (x)371)內(nèi)0在區(qū)間(m, mx有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、設(shè)函數(shù)f ( x)tx22t2xt1( x R， t0)（）求f ( x)的最小值h(t )；（）若h(t)2tm對(duì)t (0，2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍4、已知函數(shù)f ( x)x3mx2nx 2的圖象過點(diǎn)（1， 6），且函數(shù)g(x)f ( x) 6x的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱 .( )求 m、n 的值及函數(shù) y

8、=f(x)的單調(diào)區(qū)間；( )若 a 0，求函數(shù) y=f(x)在區(qū)間（ a-1,a+1）內(nèi)的極值 .5、已知函數(shù) f （ x） =1x3x2ax b的圖像在點(diǎn) P（ 0,f(0) ）處的切線方程為y=3x-23( )求實(shí)數(shù) a,b 的值；( )設(shè) g（ x） =f(x)+m是2, 上的增函數(shù)。x1i）求實(shí)數(shù) m 的最大值；(ii) 當(dāng) m 取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等Q，使得過點(diǎn)Q 的直線若能與曲線y=g(x) 圍成兩個(gè)封閉?若存在，求出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。6、已知函數(shù)f ( x)ln x1 aR)ax1(ax1（ I ）當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf ( x)在

9、點(diǎn)(2, f (2)處的切線方程；（ II ）當(dāng)a時(shí)，討論f ( x)2的單調(diào)性7、已知函數(shù)f (x)x2a( x0，常數(shù) a R ) 討論函數(shù)f (x)的奇偶性， 并說明理由；x若函數(shù)f ( x)在 x2 ，) 上為增函數(shù)，求a的取值范圍8、已知函數(shù)f ( x)x3x求曲線yf ( x)在點(diǎn)M (t， f (t)處的切線方程；設(shè)a 0，如果過點(diǎn)(a， b)可作曲線yf (x)的三條切線，證明：a bf (a)9、已知函數(shù)f ( x)3ax42(3a 1)x24 x1（ I）當(dāng)a時(shí)，求f ( x)的極值 ;（ II ）若f ( x)在1,1上是增函數(shù)，求a的取值范圍6學(xué)習(xí)必備歡迎下載二階導(dǎo)數(shù)的

10、意義二階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)一次，意義如下：1）斜線斜率變化的速度，表示的是一階導(dǎo)數(shù)的變化率2）函數(shù)的凹凸性。3）判斷極大值極小值。結(jié)合一階、二階導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的極值。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，為極小值點(diǎn)；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，為極大值點(diǎn)；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)都等于零時(shí)，為駐點(diǎn)。一、用二階導(dǎo)數(shù)判斷極大值或極小值定理設(shè)f (x)在x0二階可導(dǎo)，且f ( x0)0, f ( x0)0(1)f (x0)0f (x)在x0取得極大值；若，則(2)f ( x0)0，則f (x)在x0取得極小值若例試問a為何值時(shí)，函數(shù)f ( x)a sin x1sin 3x3在x處取得極值

11、？它3是極大值還是極小值？求此極值解f ( x)a c o sx c o s3xf ( )0，從而有a由假設(shè)知1 0，即a232又當(dāng)a2時(shí)，f (x)2sin x3sin 3x，且學(xué)習(xí)必備歡迎下載f ( )3 0，所以f xx1sin 3x在處取得極大3x( )2sin33值，且極大值f ( )33例求函數(shù)f ( x) x33x29x 5的極大值與極小值解f ( x)在 2,4上連續(xù)，可導(dǎo)令f ( x)3x26x 9 3( x1)( x 3)0，得x1和x3，思考：f ( x)在x1取得極大還是極小值？在x3取得極大還是極小值？f (x)6x6-1 代入二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為-12，f ( x)在x

12、1取得極大值3 代入二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式12，在x3取得極小值三、函數(shù)圖像凹凸定理若f (x)在(a, b)內(nèi)二階可導(dǎo)，則曲線yf (x)在(a,b)內(nèi)的圖像是凹曲線的充要條件是曲線yf (x)在(a, b)內(nèi)的圖像是凸曲線的充要條件是f(x)0，x( a, b)f ( x)0，x ( a,b)。幾何的直觀解釋：如果如果一個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間I 上有f ( x)0恒成立，那么在區(qū)間I上 f(x) 的圖象上的任意兩點(diǎn)連出的一條線段，這兩點(diǎn)之間的函數(shù)圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。學(xué)習(xí)必備歡迎下載. 曲線的凸性對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值進(jìn)行了討論，使我們知道了函數(shù)變化的大致情況但這還不夠，因?yàn)橥瑢賳卧龅膬蓚€(gè)可導(dǎo)函數(shù)的圖形，雖然從左到右曲線都在上升，但它們的彎曲方向卻可以不同如圖11 中的曲線為向下凸，而圖1 2 中的曲線為向上凸yyoxox圖 11圖 12f ( x1)f ( x2)f (x1x2)22定義 4.5.1 設(shè)yf (x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，若曲線yf (x)位于其每點(diǎn)處切線的上方，則稱它為在(a,b)內(nèi)下凸 (或上凹 )；若曲線yf ( x)位于其每點(diǎn)處切線的下方，則稱它在(a, b)內(nèi)上凸 ( 或下凹 )相應(yīng)地，也稱函數(shù)yf ( x)分別為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù)和上凸函數(shù)(通常把下凸函數(shù)稱為凸函數(shù) )從圖 1 1 和圖