泰州市2019屆高三數(shù)學上學期期末考試試卷

1、20182019學年度第一學期期末考試(滿分160分，考試時間120分鐘) 1參考公式：柱體的體積 V= Shi,錐體白體積 V= §Sh一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.1 .函數(shù)f(x) = sin 2x的最小正周期為 .2 .已知集合 A= 4, a2, B= 1, 16,若 AC Bw?,則實數(shù) a =.3 .復數(shù)z滿足zi =4+ 3i (i是虛數(shù)單位)，則|z| =.4 .函數(shù)y= 1 一x2的定義域是 .5 .從1, 2, 3, 4, 5這五個數(shù)中隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為 6的概率為 一I丁一1White2TTX 2i1Encl WhileP

2、rint Tf第6題）6 . 一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的 T的值是.第，J題)a5+ a37 .已知數(shù)列an滿足 log 2an+1- log 2an= 1,則 一- 一=.a3 a18 .若拋物線y2=2px(p>0)的準線與雙曲線x2y2= 1的一條準線重合，則p=.9 .如圖，在直三棱柱 ABCAB1C1中，M為棱AA的中點，記三棱錐 AMBC勺體積為 M,四Vi,一棱車t A1BBGC的體積為V則J的值是 V210 .已知函數(shù)f(x) =2x4+4x2,若f(a +3)>f(a 1),則實數(shù)a的取值范圍為 11 .在平面直角坐標系 xOy中，過圓C：

3、(x k)2+(y+k 4)2=1上任一點P作圓C2： x2 + y2=1的一條切線，切點為 Q則當線段PQ的長最小時，k=12 .已知P為平行四邊形 ABC所在平面上任一點，且滿足PA+PB+ 2PD= 0,入PA+w晶+ PC= 0,貝U 入=x 3x+2a, x>a,13 .已知函數(shù)f（x） =，3+34若存在X0<0'使得f（X0）=。，則實數(shù)a的取值范圍是1tan A1tan B2tan C為定值，則實數(shù)1 fc e=2 0<e<T ?14 .在 ABC中，已知 sin Asin Bsin (C0 )=入 sin 2C,其中 tan,證明過程或演算二、

4、解答題：本大題共 6小題，共計90分.解答時應寫出文字說明步驟.15.(本小題滿分14分)1已知向重 a= (sin x, 1), b= cos x ,其中 x (0 ,兀).2(1)若a/b,求x的值；(2)若 tan x= 2,求 | a+b| 的值.16.（本小題滿分14分）。為對角線BD的中點，E, F分別如圖，在四棱錐 PABCDL底面ABC的平行四邊形,為棱PC, PD的中點，已知 PAL AB, PAL AD.求證:(1) 直線PB/平面 OEF(2) 平面OE吐平面ABCD.21.(本小題滿分16分)如圖，三個小區(qū)分別位于扇形 OAB的三個頂點上，Q是弧AB的中點，現(xiàn)欲在線段

5、OQ上找一處開挖工作坑 P(不與點Q Q重合)，為小區(qū)鋪設三條地下電纜管線PO PA, PB,已知一.兀 一.OA= 2千米，/ AOB=,記/ APQ= 0 rad,地下電纜管線的總長度為 y千米. 3(1)將y表示成0的函數(shù)，并寫出 0的范圍；(2)請確定工作坑P的位置，使地下電纜管線的總長度最小.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:2x2 + a2yb2=1(a>b>0)的左頂點為A, B是橢圓C上異于左、右頂點的任意一點，P是AB的中點，過點B且與AB垂直的直線與直線 OP交于1點Q已知橢圓C的離心率為2,點A到右準線的距離為6.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設點Q的

6、橫坐標為X0,求X0的取值范圍.設A, B為函數(shù)y=f(x)圖象上相異兩點，且點A, B的橫坐標互為倒數(shù)，過點A, B分別作函數(shù)y=f(x)的切線，若這兩條切線存在交點，則稱這個交點為函數(shù) f(x)的“優(yōu)點”.4一，ln x , 0<x<1,(1)右函數(shù)f(x) =i 2不存在 優(yōu)點，求頭數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x) =x2的“優(yōu)點”的橫坐標的取值范圍；(3)求證：函數(shù)f(x) =ln x的“優(yōu)點” 一定落在第一象限.已知首項不為 0的數(shù)列an的前n項和為S, 2ai+a2=a3,且對任意的n C N, n>2都有 2nS+i (2n+5)S+S i = rai.(1)若a

7、2=3ai,求r的值；(2)數(shù)列an能否是等比數(shù)列？說明理由；(3)當r = i時，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列.20i820i9學年度第一學期期末考試數(shù)學附加題（本部分滿分40分，考試時間30分鐘）21.【選做題】本題包括 A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并作答.若多做，則按 作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳42:矩陣與變換（本小題滿分10分）-1 2_ _已知矩陣網(wǎng)=5的一個特征值為-2,向量:求Afa.k jcL16_B.選彳44 44 :坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）1 ,x=2-t,在平面直角坐標系 xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參

8、數(shù)），曲線Cy=2+tx=- 1 2cos的參數(shù)方程為（0為參數(shù)）.若直線l與曲線C相交于A, B兩點，求線|y=2sin 0段AB的長.C.選彳45:不等式選講（本小題滿分10分）-.111設正數(shù) a, b, c滿足3a+2b+c=1,求- + +的取小值.a a+b b+c【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(本小題滿分10分)如圖，在正四棱柱 ABCD/BGD中，AA = 3, AB= 1.(1)求異面直線AB與AC所成角的余弦值；(2)求平面A1BC與平面ACD所成二面角的正弦值.23.(本小題滿分10分)已知函數(shù) f(

9、x) =1|2x1| , 0WxW1,設 fn(X)=fn 1(f 1(x),其中 f1(x) =f(x),方fn(x) =0和方程fn(x) =1根的個數(shù)分別為gn(0) , gn(1).求g2(1)的值；(2)證明：gn(0) =gn(1) +1.20182019學年度第一學期期末考試數(shù)學參考答案1.兀2. ±43. 5 4. -1,15. 1 6. 857. 4 8. 審 9. 1 10. (-1, i) 11. 212.3-4 13. 1, 0)14.51015. (1)因為 a / b, 1所以 sin xcos x = 2, 即 sin 2 x=1.一_ 兀因為xC (0

10、 ,兀)，所以x=.4(2)因為 tan x= sn-x=2, cos x所以 sin x= 2cos x.因為a+ b= sin,1 x+2,1 + cos所以| a+ b|x + 2 j + ( 1 + cos x) 2x+2cos x= 1. 216. (1) O 為BD的中點，F(xiàn)為PD的中點，所以 PB/ FO.因為PB?平面 OEF FO?平面OEF所以PB/平面OEF.(2)連結(jié)AC,因為四邊形ABC型平行四邊形，所以AC與BD交于點O,。為AC的中點.因為E為PC的中點，所以 PA/ OE.因為 PAI AB, PAI AD ABA AD= A AB, AD?平面 ABCD所以P

11、A1平面ABCD所以。且平面ABCD.因為OE?平面OEF所以平面OEQ平面ABCD.,_. .，一一一.，.一，,TT17. (1)因為Q為弧AB的中點，由對稱性，知PA= PB, /AOP= / BO已 三,6一，, 兀又/APO= % - 0 , /OAP= 0,由正弦定理，得PAsinOA=/C 、兀 sin (兀一。)6OPPC；,又 OA= 2,兀 isin ve -6)一，1所以 PA= K, OP=所以 y= PA+ PB+ OP= 2PA OP=2+ 2sin (9 一石 / 辰 9cos 0 +2sin 0sin 0因為/ APO / AOP所以0兀 /八八 / _ _1&

12、gt;,ZOAQ= ZOQA= 2(所以0(2)令 f( 0 )=注、12 ./3sin 。 cos sin 00 +2f ' ( 0)=1 2cos 0- 2 sin=0,得 0 =f, 3f( 0 )在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間(:,5，)上單調(diào)遞增，所以當9 =-3,即op= 233千米時，f(。)有唯一的極小值，即是最小值，則 f(0 ) min=2 3. 23答：當工作坑p與。的距離為U一千米時，地下電纜管線的總長度最小.3rc 1a = 2, 解得,c= 1,=一18. (1)a 2'依題意，彳導 2a -I= 6, c所以 b=qa?- c2 = 3J3,所以橢圓C的

13、方程為：+=1.43(2)由知，A( 2, 0),設 AB:x= my 2,廿0,聯(lián)立；3x +4y = 12,26 6m 8x = 2,T ?3m+4x=- 2,解得 <或Q12m|y=0,ly=3m2T7,2口 r 6m 812m8 6m即 B(3n2+4' 3n2+4八 3 P(3n2+4' 3m+ 4) '3m3m所以 ko,OP y=z"x3,因為AB! BQ所以kBQ= m所以直線BQ的方程為BQ y = -m奸啖竦,聯(lián)立3 3my=Ix，3 得6m+ 4my = - mxH- 2,y3m+ 4'xo =一 一 2 一一8 (3m+

14、2)163n2+4=8 汴*，8).19. (1)由題意可知，f ' (x) =f '(寸 xC (0 , 1) U(1 ,十 00）恒成立,不妨取 xC (0 , 1),則 f ' (x)2a = f'（恒成立，即，人1 ”人什一經(jīng)驗證，a = 2符合題意.(2)設 A(t , t2) , B：,圣WO 且 t w± 1),因為 f ' (x) = 2x, c21所以A, B兩點處的切線方程分力1J為y=2txt , y=1x丁，人2 21-1,1令 2tx -t =：x，解得 x=2J + JC ( 8, - 1) U(1 , +8),所以

15、“優(yōu)點”的橫坐標取值范圍為（一8, 1）U（1, +OO）.(3)設 A(t , ln t) , b1-, Tn t -6(0, 1),一，1因為 f (x)= 一,x所以A, B兩點處的切線方程分別為1y=-x+ ln t 1, y=tx ln t - 1,人1令x+ In t - 1 = tx - In21n t解得 x=1>0,t設 h(m) = ln則 h' (m) =21n tr+ 1n t1-12/m 1t2+t21t=E(1n t -Em-m2T7，me(0，1)，(m 1) 222>0m (m+ 1)'所以h(m)單調(diào)遞增,所以 h(m)<h(

16、1) = 0,口口t2- 1即 In t - 12+ 1 <0.t2 + 1因為H <0,1 21n t所以 y= , -+ 1n t 1>0,tt所以“優(yōu)點”的橫坐標和縱坐標均為正數(shù)，在第一象限.20. (1)令 n=2,得 4s39S2+S = ra1,即 4(a 3+a2+ a1) 9(a2 + a) + a= ra 1,化簡，得 4a35a2 4a= ra 1.因為 2& + a2=a3, a2=3日,所以 4X 5a1 5X 3a1 4a= ra 1,解得r = 1.(2)假設數(shù)列an是等比數(shù)列,公比為q,則由2a+a2= a3得2a1 + aq= a1q2

17、解得q= 2或q= - 1,由 2nSn+i(2n + 5)Sn+& i=rai,得 4Sn = 2nan+i an ra i(n >2),所以 4s i = 2(n 1)anan 1rai(n R3),兩式相減，整理得2nan+i + an i= (2n + 3)a n,兩邊同除以ani,可得2n(q 2q) = 3q1.因為q= 2或一1,所以 q2qw。，所以上式不可能對任意n>3恒成立，故數(shù)列a n不可能是等比數(shù)列.r = 1時，令n=2,整理得一4a1 5az+4a3= a1，又由 2a + a2=a3 可知 a2= 3a1, a3= 5a1,令 n = 3,可得

18、 6$ 11$+S = a1,解得 a4= 7a1,由(2)可知 4Sn = 2n3n+1 an a1(n >2),所以 4S-1 = 2(n 1)a n an1 a1(n >3),兩式相減，整理得 2nan+1+ an 1= (2n + 3)an(n >3),所以 2(n 1)a n+ an-2= (2n + 1)a n 1(n >4),兩式相減，可得2n(a n+ 1 an) (a n an- 1) = (a n an1) (a n- 1 an2)(n、4).因為(a4 as) 一 (a 3 % ) = 0,所以(a n an-1) (a n 1 an2) = 0(

19、n 才 4),即 an an-1= an-1 an-2(n >4),又因為 a3 a2= a2 a1 = 2a1 )所以數(shù)列an是以a1為首項，2a1為公差的等差數(shù)列.入 +1221. A. 將入=2 代入 5=入2(x1)入一(x + 5)=0,得 x=3,r-i281L16L58-B.由題意得曲線 C的直角坐標方程為（x+1）2+y2 = 4.1 £ x=t, 將直線l的參數(shù)方程代入（x+1）2+y2=4得1ly=2+t-t+ih>t3,即 4t24t 3=0, 一 13斛得 11= 5 12=2，LL 131 L則 AB=5|t1 12|=啦 一2一| = 2 5.

20、C.因為 3a+ 2b+ c= 1,a+b+b+一 .11= (2a+ a+b+b+c) _+ - a a十=(啦+1 + 1)2 1=6+ 4 啦,111所以a+0+臺所以a+的最小值為6+ 4表.22. （1）以AB, AD, AA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系 Oxyz,則A（0 , 0, 3) , B(1 , 0, 0), G(1 , 1, 3),所以 BA= ( -1, 0, 3) , AC= (1 , 1, 3),所以 cosBA, aC)=二 1 十 /=巫邠 X 1155(2)由題意得 0(1, 1, 0), D(0, 1,0),所以 AB= (1 , 0, 3)

21、 , AC= (1,1,-3) , AC= (1 , 1, 3) , AD= (0 , 1, 0),ACn1 = 0,n1 = 0,"AC - n2 = 0,AD。n2= 0,X2 + y2+ 3Z2= 0, 即y2= 0,設平面ABC的一個法向量為 m=(x1, y1, Z1),則X1-3Z1 = 0,即 一|X1 + y1 3z1 = 0,令 z= 1,則 n1= (3 ,0,1).設平面AGD的一個法向量為n2=(X2, y2, Z2),則令 Z2=1,則 n2= ( -3, 0, 1), n1 . 112-9+14所以 cos( n1, n2)= I .I1 = I1 = 一 ,1n111n 2| 回 x 回53所以平面ABG與平面AGD所成二面角的正弦值為 -.523. (1) 當 n=2 時，f2(x) =f 1(1 - |2x -1|) =f(1 |2x 1|) = 1 |2(1 |2x 1|) 1| = 1,所以 2(1 |2x 1|) =1,一,1所以 1 |2x -1| =2, ,1所以 2x- 1 = ± 2,所以x=J或x = |, 44所以 g2(1) =2.(2)因為 f(0) =f(1) =0,所以 fn(0) =fn(1) =0.因為 f1(x) =1 |2x1| C0, 1,當 xC2 "，f1(x)單調(diào)遞增