最新八年級數(shù)學(xué)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)專用--專題15多邊形的邊與角

1、專題15多邊形的邊與角閱讀與思考兩個幾何圖形的全等是指兩個圖形之間的一種關(guān)系，其中最基本的關(guān)系是兩個圖形的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān) 系，以及對應(yīng)邊之間、對應(yīng)角之間的相等關(guān)系.全等三角形是研究三角形、四邊形等圖形性質(zhì)的主要工 具，是解決有關(guān)線段、角等問題的一個出發(fā)點(diǎn)，證明線段相等、線段和差相等、角相等、兩直線位置關(guān) 系等問題總要直接或間接用到全等三角形，我們把這種應(yīng)用全等三角形來解決問題的方法稱為全等三角形法.我們實(shí)際遇到的圖形，兩個全等三角形并不重合在一起，而是處于各種不同的位置，但其中一個是 由另一個經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換而成的.了解全等變換的這幾種形式，有助于發(fā)現(xiàn)全等三角形、 確定對應(yīng)元素.善于在復(fù)

2、雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵，應(yīng)熟悉涉及有 關(guān)會共邊、公共角的以下兩類基本圖形：例題與求解【例1】考查下列命題：全等三角形的對應(yīng)邊上的中線、高、角平分線對應(yīng)相等；兩邊和其中一邊上的中線（或第三邊上的中線）對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角和其中一角的角平分線（或第三角的角平分線）對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上高）對應(yīng)相等的兩個三角形全等.其中正確命題的個數(shù)有（）A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個（山東省競賽試題）解題思路：真命題給出證明，假命題舉出一個反例【例2】如圖，已知 BD、CE是 ABC的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP=AC,點(diǎn)Q

3、在CE上，CQ =AB.求證：(1) AP=AQ; (2) APXAQ.（第十六屆江蘇省競賽試題解題思路：（1）證明對應(yīng)的兩個三角形全等；（2）證明ZPAQ=90°.【例3】如圖，已知為 AD為4ABC的中線，求證：AD<1（AB2AC).（陜西省中考試題解題思路：三角形三邊關(guān)系定理是證明線段不等關(guān)系的基本工具，關(guān)鍵是設(shè)法將AB, AC, AD中到同一個三角形中，從構(gòu)造2AD入手.【例4】如圖，已知 AC/BD, EA、EB分別平分/ CAB、/ DBA, CD過點(diǎn)E.求證：AB=AC+BD.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：本例是線段和差問題的證明，截長法（或補(bǔ)短法）是證明這

4、類問題的基本方法，即在AB上截取AF,使AF = AC,以下只要證明 FB=BD即可，于是將問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等ED【例5】如圖1, CD是經(jīng)過/ BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA = CB, E, F分別是直線 CD上兩點(diǎn)，且 / BEC = Z CFA=Z（1）若直線CD經(jīng)過/ BCA內(nèi)部，且E, F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖 2,若/ BCA=90°, /=90°,貝 U BE CF, EF BE AF （填 、“V”或“=”）；如圖3,若0°<Z BCAV180。，請?zhí)砑右粋€關(guān)于/ 與/ BCA關(guān)系的條件,使中的兩 個結(jié)論仍然成立，并證明

5、這兩個結(jié)論；（2）如圖4,若直線CD經(jīng)過/ BCA的外部，/=/BCA,請?zhí)岢鯡F, BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）.（臺州市中考試題）解題思路：對于，可用進(jìn)彳T逆推，尋找BCEACAF應(yīng)滿足的條件.對于（2）可用歸納類比方法提出猜想【例 6】如圖，在四邊形 ABCD 中，Z ACB=Z BAD= 105°, Z ABC = Z ADC= 45°.求證：CD = AB.（天津市競賽試題）解題思路：由已知易得/ CAB= 30°, /GAC=75°, Z DCA=60°, Z ACB+Z DAC = 180°,由特殊

6、 度數(shù)可聯(lián)想到特殊三角形、共線點(diǎn)等.能力訓(xùn)練1.如圖，在 4ABC 中，/ C=90°,BC=40, AD是/ BAC的平分線交BC 于 D,且 DC ： DB = 3 ：5,則點(diǎn)D到AB的距離是第2題2.如圖，在RtAABC中，/BAC=90°, AB=AC,分別過B, C作經(jīng)過點(diǎn)BD, CE,若 BD=3cm, CE=4cm,則 DE=3 .如圖， ABE和 ACF分別是以 ABC的邊AB、AC為邊的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O,則/ EOB=4 .如圖，四邊形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點(diǎn) E,若AC平分/ DAB,且AB=AE, AC =AD,

7、有如下四個結(jié)論： ACXBD;BC=DE;/ DBC = - / DAB; ABE是等邊三角形.請寫2出正確結(jié)論的序號.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）（天津市中考試題）5.如圖，點(diǎn) E在 ABC外部，點(diǎn) D在BC邊上,DE 交 AC 于 F,若/ 1 = 7 2=7 3, AC = AE,則A. ABDA AFDC. AFEA DFCB. AFEA ADCD. ABCA ADE第5題6 .如圖，4ABC 中，/ C=90°, AC= BC, AD 平分/ CAB 交 BC 于 D, DEAB 于 E.若 AB = 6cm, 則 DEB的周長為（）A. 5cmB. 6cmC. 7cm

8、D. 8cm7 .如圖，從下列四個條件： BC=B'C;AC = A'C;/ACA=/B'CB;AB=AB中，任取三 個為題設(shè)，余下的一個為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成的正確命題的個數(shù)是（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個（北京市東城區(qū)中考試題）8 .如圖1,在銳角 ABC中，AD, BC于D, BEX AC于E, AD與BE交于F,且BF = AC.（1）求證：ED平分/ FEC;（2）如圖2,若4ABC中，/ C為鈍角，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，請給予證明.9 .在等腰 RtAOB 和等腰 RtDOC 中，/ AOB =

9、/ DOC = 90°,連 AD , M 為 AD 中點(diǎn)，連 OM .(1)如圖1,請寫出OM與BC的關(guān)系，并說明理由;(2)將圖1中的 COD旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由.O10.如圖，已知/ 1 = /2, EFLAD于P,交BC延長線于M.1求證：/ M = ( ACB B).2（天津市競賽試題）11.如圖，已知 4ABC中，/ A=60°, BE, CD分別平分/ ABC, /ACB, P為BE, CD的交點(diǎn).求證：BD + CE=BC.A12.如圖,已知點(diǎn) D為等腰直角 4ABC內(nèi)一點(diǎn)，/ CAD = Z CBD = 15 &#

10、176;, E為AD延長線上的一點(diǎn),且 CE=CA.（1）求證:DE 平分/ BDC;（2）若點(diǎn)M 在 DE 上，且 DC=DM,求證：ME=BD.1 .在 ABC中，高 AD和BE交于H點(diǎn)，且 BH =AC,則/ ABC =.（武漢市競賽試題）2 .在 ABC中，AD為BC邊上的中線，若 AB=5, AC= 3,則AD的取值范圍是.（“希望杯”競賽試題）3 .如圖，在 ABC中，AB>AC, AD是角平分線，P是AD上任意一點(diǎn)，在 AB AC與BP PC 兩式中，較大的一個是.4 .如圖，已知 AB / CD, AC/ DB, AD與BC交于 O, AEXBC于E, DF，BC于F ,

11、那么圖中全等的三角形有（）A. 5對B. 6對C. 7對D. 8對B. BE+CF=EFA. BE+CF>EFC. BE+CFVEFD. BE + CF與的大小關(guān)系不確定（第十五屆江蘇省競賽試題 ）6 .如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角（）A.相等B.不相等C.互余D.互補(bǔ)或相等（北京市競賽試題）7 .如圖，在 ABE和4ACD中，給出以下四個論斷： AB=AC;AD = AE;AM = AN;AD ±DC, AEXBE,以其中三個論斷為題設(shè)， 填入下面的“已知”欄中，一個論斷為結(jié)論， 填入下面的“求 證”欄中，使之組成一個真

12、命題，并寫出證明過程.已知：求證：（荊州市中考試題）8.如圖，在四邊形1ABCD 中，AC 平分/ BAD,過 C作 CEXAB 于 E,并且 AE= (AB AD),求 2Z ABC + Z ADC 的度數(shù).9 .在四邊形 ABCD中，已知AB=a, AD=6,且BC= DC ,對角線 AC平分/ BAD,問a與b的大 小符合什么條彳時，有/ B+Z D= 180°,請畫出圖形并證明你的結(jié)論.（河北省競賽試題）10.如圖，在 ABC 中，/ ABC= 60°, AD, CE:分別平分/ BAC, / ACB.求證：AC=AE+CD.(武漢市選拔賽試題)11 .如圖，在 R

13、tABC 中，/ B=90°, AP, CQ 分別平分/ BAC , /BCA. AP 交 CQ 于 I,連 PQ.求證：一旦竺一為定值.S四邊形ACPQ12 .在 ABC 中，/ ACB=90°, AC = BC,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C,且 AD，MN 于 O, BEMN 于 E.(1)當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： DE=AD + BE;(2)當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問：DE, AD, BE有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.(?？谑兄锌荚囶})13 . CD是經(jīng)過/ BCA頂點(diǎn)C的一條直線， CA=CB, E, F分別是直線 CD上兩點(diǎn)，且/ BEC=ZCFA=/（1）若直線CD經(jīng)過/ BCA內(nèi)部，且