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文檔簡介
1、第10章 曲線積分和曲面積分參考解答1、計算下列對弧長的曲線積分: (1),其中L為由Oxy平面上的直線及拋物線所圍成區(qū)域的邊界。第1(1)題解:,(2),L為橢圓,其周長為a。解:注意第一類曲線積分的對稱性:若曲線關(guān)于x(y)軸對稱,而被積函數(shù)關(guān)于y(x)為奇函數(shù),則曲線積分為零!(3),L為圓周()。解:圓周之參數(shù)方程為(),故(4),L為 解:(5),L圓周為解:因,故 2、計算下列對坐標(biāo)的曲線積分:(1),其中L為折線上從點到點再到點的二線段。 解:,(作代換,知第二個定積分與第一個相等)(2),L是圓周,從z軸正向看去,該圓周取逆時針方向。 解:L的參數(shù)方程為,故得3、利用Green
2、公式計算下列曲線積分:(1), L由,與x軸圍成,沿逆時針方向。第3(1)題 解:L為封閉曲線,如圖所示,直接運用Green公式。()但,故得。從而得(2), L由的正向。第3(2)題解:,。但和在L所圍正方形區(qū)域內(nèi)并不連續(xù)(在點處兩者根本不存在),故不滿足Green公式之條件。為此,采用“挖地雷”方法:取以原點為心、(或小于的任意正數(shù))為半徑的圓l,并取逆時針方向,如圖所示。其參數(shù)方程為:于是,l和L所圍區(qū)域D成為“安全地帶”,在D上,P和Q均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),Green公式成立。于是 因此, 4、計算積分, 其中L是由點沿曲線到點的弧段。第4題解:這里,。因此,在曲線L和線段AB所圍閉區(qū)
3、域上,曲線積分與路徑無關(guān)。這里,線段AB的方程為,方向為從點A指向點B。因此,。5、驗證是某函數(shù)的全微分,并求出這樣的一個。 解:這里,故因而,故知為某函數(shù)的全微分。以下我們用兩種方法來求。方法1(利用曲線積分): 方法2(利用待定函數(shù)法):因,故得(將y看作常數(shù))(其中為待定函數(shù),與x無關(guān))于是,但另一方面,故于是得 ,。因此所求函數(shù)為,其中C可取任意常數(shù)。6、計算下列對面積的曲面積分:(1),其中是錐面在柱體內(nèi)的部分。 第6(1)題解:(2),其中為球面。解:因關(guān)于三個坐標(biāo)面都是對稱的,故,于是利用輪換對稱性,因此,(注意球的表面積為)于是得(3),其中為平面被柱面所截下的部分。解: 第
4、6(3)題7、計算下列對坐標(biāo)的曲面積分:(1),其中是圓柱面被平面和所截下的部分,取外側(cè)。 第7(1)題 解:被yoz平面分成和兩片,對于x軸正向而言,取上側(cè),而取下側(cè),它們在yoz平面上的投影區(qū)域和如上圖所示。于是因此。(2),其中是球面,的外側(cè)。解:利用公式得(3),其中是錐面被,所截部分的外側(cè)。第 7(3)題解:利用公式,得注:第二類曲面積分(對坐標(biāo)的曲面積分)的解題步驟為“一投”、“二代”、“三定號”。上兩題中,我們將積分統(tǒng)一化為在xoy平面投影區(qū)域上的二重積分,解題過程得到大大簡化。這是在不適合用Gauss公式(曲面不封閉;或即使可以補成封閉,但計算未能得到簡化)時常用的方法。否則,
5、像第(1)小題那樣,我們往往必須將曲面分塊,分別進行投影。選擇最優(yōu)策略,省出寶貴時間,去做更多事情,不亦樂乎?8、利用Gauss公式計算曲面積分:(1),其中為平面,所圍立體表面的外側(cè)。解:(2),其中為下半球面的上側(cè)。解:補一圓面:,取下側(cè)。于是注意封閉曲面取內(nèi)側(cè),與Gauss公式所要求的外側(cè)相反,故第二個等式右邊三重積分前有一個負號!9、求向量場在點處的散度。解:10、設(shè)流體密度為1,流速,求單位時間內(nèi)從曲面 的下側(cè)流向上側(cè)的流量。解:將曲面記為(為旋轉(zhuǎn)拋物面),補一取下側(cè)的圓面:。于是注意封閉曲面取內(nèi)側(cè),與Gauss公式所要求的外側(cè)相反,故第三個等式右邊三重積分前有一個負號!11、設(shè),求
6、的旋度,并計算曲面積分,其中為錐面,其法向量與z軸正向夾角為銳角。解:可用兩種方法來計算。解法1(創(chuàng)造條件,運用Gauss公式)(第一類曲面積分)(第二類曲面積分)(其中為圓面之下側(cè),封閉曲面取外側(cè))(Gauss公式)(二重積分之極坐標(biāo)算法)解法2(直接運用Stokes公式)(上側(cè))之邊界線L為xoy平面上半徑為2的圓,取逆時針方向,其參數(shù)方程為,于是12、用Stokes公式計算,其中為圓周,從x軸正向看,取逆時針方向。解:記,所圍圓面為,取上側(cè)。則(轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分)注意到平面之法向量為,故,因此得13、求,L為空間螺線。 解:14、設(shè)函數(shù)在XOY平面上具有一節(jié)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),曲線積分與路徑無關(guān),并且對任意t,恒有,求。解:因曲線積分與路徑無關(guān),故有。故可設(shè),其中為與x無關(guān)的待定函數(shù)。于是因,故得即,從而得,或即。因此。15、確定常數(shù),使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度,并求。解:向量為某二元函數(shù)的梯度,等價于說:存在某二元函數(shù),使得,也就是說,為某二元函數(shù)的全微分。根據(jù)曲線積分與路徑無關(guān)的條件,得即整理得故得。由得從而另一方面,。故得,。因此。
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