確定x2 y2 z2 w2的值

1、B2041  若確定x2+y2+z2+w2的值【題說】第二屆（1984年）美國數(shù)學邀請賽題15考慮t的方程【解】（1）兩邊乘（t1）（t9）（t25）（t49），得x2（t-9）（t-25）（t-49）+y2（t-1）（t-25）（t-49）+z2（t-1）（t-9）（t-49）+w2（t-1）（t-9）（t-25）-（t-1）（t-9）（t-25）（t-49）=0                  

2、60;                                 （2）它是t的四次方程，并有四個根t=4，16，36，64故（2）即方程（t4）（t16）（t36）（t64）=0        

3、;                          （3）比較（2）與（3）的系數(shù)得：x2+y2+z2+w2+（1+9+25+49）=4+16+36+64從而                

4、;                      x2+y2+z2+w2=36 B2042  求方程組的所有實數(shù)解：x1·x2·x3=x1+x2+x3                 

5、                                                  

6、        （1）x2·x3·x4=x2+x3+x4                                      

7、;                                     （2）x3·x4·x5=x3+x4+x5x1985·x1986·x1987=x1985+x1986+x1987x1986&#

8、183;x1987·x1988=x1986+x1987+x1988x1987·x1988·x1989=x1987+x1+x2【題說】第十三屆（1987年第三階段）全俄數(shù)學奧林匹克九年級題2【解】（1）（2）得x2·x3（x1x4）=x1x4于是x2·x3=1或x1=x4當x2·x3=1時，（1）式成為x2+x3=0，易知方程組x2·x3=1，x2+x3=0無實數(shù)解所以x1=x4同理，x2=x5；x3=x6；x1985=x1；x1986=x2；x1987=x3于是x3=x6=x1986=x2=x5=x1985=x1=x4=x1

9、984=x1987=x代入方程（1）得x3=3xB2043  解方程組xy+xz=8x2xy+yz=12y2yx+zx=4z2【題說】1990年匈牙利數(shù)學奧林匹克第二輪基本水平題1【解】原方程組可以改寫成x（x+y+z）=8y（x+y+z）=12z（x+y+z）=4將這三個方程相加，可以得到（x+y+z）2=16，從而x+y+z=±4由此可得到原方程組的解為（2，3，1）與（2，3，1）B2044  若實數(shù)a、b、x、y滿足ax+by=3，ax2+by2=7，ax3+by3=16，ax4+by4=42，求ax5+by5的值【題說】第八屆（1990年）美國數(shù)學邀請賽

10、題15【解】由ax3+by3=（ax2+by2）（x+y）（ax+by）xy得                                            16

11、=7（x+y）3xy                               （1）由                  ax

12、4+by4=（ax3+by3）（x+y）（ax2+by2）xy得                                            42=16（x+y

13、）7xy                              （2）由（1）、（2）解得x+y=14，xy=38因此，ax5+by5=（ax4+by4）（x+y）（ax3+by3）xy=42×（14）16×（38）=20B2046  求滿足下列條件的關于x、y的次數(shù)最低（但

14、不低于1次）的多項式f（x，y）：【題說】1994年日本數(shù)學奧林匹克預選賽題11【解】將f（x，y）表為i次齊次多項式之和：f（x，y）=件，則每一fi（x，y）也滿足同樣的條件所以，所要求的f（x，y）是一個次數(shù)最低的齊次式由（1）知f（y，y）=0，所以f（x，y）=（xy）h（x，y）其中h（x，y）是關于x、y的齊次式，且h（x，y）=h（y，x），即h為對稱式由（2）得yh（x，x+y）xh（y，x+y）=0以yx代y得（yx）h（x，y）xh（yx，y）=0所以，h（x，y）被x整除，由對稱性知，h（x，y）也被y整除由此得f（x，y）=（xy）xyg（x，y）其中g（x，y）是齊

15、次對稱式，將上式代入（2）并整理，得g（x，x+y）+g（y，x+y）=0                                 （3）令y=x，得g（x，0）+g（x，0）=0       

16、0;                              （4）設g（x，y）為l次齊次式，即由（4）得cl+（1）lcl=0故l為奇數(shù)或cl=0若cl=0，則g（x，y）被y整除，由對稱性知，它也被x整除，所以l2若l=2，則g（x，y）=cxy（c0），不滿足（3），故l3若cl0，則l為奇數(shù)若l=

17、1，則g（x，y）=c（x+y）（c0），不滿足（3），故l3綜上所述，g（x，y）是至少3次的齊次對稱式設g（x，y）=a（x3+y3）+bxy（x+y）代入（3）并整理，得a（x3+y3）+2（x+y）3）+b（x+y）（2x2+xy）+（xy+2y2）=0兩邊同除以x+y并整理，得（3a+2b）（x2+xy+y2）=0取a=2，b=3，則得所求的一個f（x，y）為f（x，y）=（xy）xyg（x，y）=（xy）xy（x+y）（2xy）（x2y）不難驗證這個多項式符合要求。B2047  貨車在x時y分從莫斯科出發(fā)，于y時z分到達薩拉托夫，途中共用了z小時x分鐘，求x的所有可能值【

18、題說】第二十一屆（1995年）全俄數(shù)學奧林匹克九年級題1【解】依題意得z=x+y，或z=x+y60因為                                x+y24+2460所以        &#

19、160;                       z=x+y                          &#

20、160;                        （1）設貨車在途中經(jīng)歷了k晝夜，則y=x+z24k                      

21、                   （2）由（1）、（2）得x=12k因為0x24，所以x=0或12這樣的x值事實上是可能的，例如x=0，y=z=15；或x=12，y=15，z=27B2048  求所有使等式成立的實數(shù)x，其中p是一實參數(shù)【題說】第五屆（1963年）國際數(shù)學奧林匹克題1本題由捷克斯洛伐克提供【解】將等式移項，兩邊平方，化簡后得8（2p）x2=（4p）2   &

22、#160;                                                                           （1）僅當p2時，方程（1）有解正解為將（2）代入原方程，得即