知識點總結(jié)高等代數(shù)

1、一行列式定義ai na21a2n1、n級行列式（1）等于所有取自不同行不同列的Man2數(shù)和，這里jjzLn是一個級排列。當(dāng)jJ L面帶負號，即:2、等價定義a|j n112L In(1)如ahia2需223、由n級排列的性質(zhì)可知，上_、I/克譽見的行列式1）上三角、下三角、對角行列式n個元素的乘積av,a2,2L anjn（2）的代jn是偶排列時，該項前面帶正號；當(dāng)jlj2L jn是奇排列時，該項前an012L3ln321Ma22MLa2napilan2Lnnna|jn級行列式共有()JPai pa2j2Lanjn0jd2LjnhbL In和川除,L其中冠以正號的項和冠以負號的項（不算元素本身

2、所帶的負號）各叭1322Lan322L0盯1322L03nnapinapinan322L3nnn04nna2n 1a2,n 1吃,n 1LLL3n10n1咁12）副對角方向的行列式(1)n(n 1)1 Lapi11L1Hi32Lan222Hl32LanLLLLn 1n 1nai32Lan3）范德蒙行列式:(aiaj)4、1）(n2)二、行列式性質(zhì)1、行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式的兩行（列），行列式變號。3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)，等于用這個數(shù)乘以此行列式。即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整個行列式的外面。4、 若行列式中有兩行成比例，則此行列式

3、等于零。5、 若某一行（列）是兩組數(shù)之和，則這個行列式等于兩個行列式之和，而這兩個行列式除這一行（列）以外全與原來 行列式的對應(yīng)的行（列）一樣。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上，行列式不變。三、行列式的按行（列）展開子式1)余子式：在n級行列式D a中，去掉元素a所在的第i行和第j列后，余下的n-i級行列式稱為的余子 式，記作M卜2)代數(shù)余子式：f （ 1） N M ij稱為aij的代數(shù)余子式。3)k級子式：在n級行列式Daij中，任意選定k行和k列（1k n）,位于這些行列交叉處的k個元素，按原來 順序構(gòu)成一個k級行列式M稱為D的一個k級子式。當(dāng)（k

4、 n）時，在D中劃去這k行和k列后余下的元素按照原來 的次序組成的n k級行列式M稱為k級子式M的余子式。2、按一行（列）展開1）行列式任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值，即按第i行展開D aiiAii ai2A2 L HinAn (i 1,2丄，n);按第j列展開D的知a2jA2i L &可州仃1,2丄，n） ;2）行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等零，即叩A(chǔ)jiaj2Aj2計Ajnj或li Al jaziTjniAnj4、1）3、按k行（k歹IJ）展開拉普拉斯定理：在n級行列式中，任意取定k個行（k列）（1k n 1）

5、,由這k行（k列）元素組成的所有的k級 子式與它們的代數(shù)余子式的乘 積之和等于行列式的值。其他性質(zhì)設(shè)A為n階方陣，則A A；設(shè)A, B為n階方陣，則AB AgB,但AB AB；2)設(shè)A為n階方陣，則|kA klA；3)定義法、化三角形法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法、拉普拉斯定理等等。具體計算時需要根據(jù)等到式中行（或列）元素的特點來選擇相應(yīng)的解題方法。用直接遞推法的關(guān)鍵是找出一個關(guān)于Dn，的代數(shù)式來表示Dn,依次從D2 D3D4 L Dn.逐級遞推便可以求出Dn的值。方法二：數(shù)學(xué)歸納法。第一步發(fā)現(xiàn)和猜想；第二步證明猜想的正確性。第二步的關(guān)鍵是首先要得到Dn關(guān)于Dn 1和Dn 2的遞推關(guān)系式。2、行列式計

6、算中常用的類型4）設(shè)A為m階方陣，設(shè)B為n階方陣，則AgB,但AB An級行列式乘積等于n級行列式LbnLbinMlainLLL?LLL切1Lani巾1LMl5）行列式的乘法定理：兩個=n1=11LGnL其中Cj aS a2djLanbnjJjCni四、行列式的計算方法三：加邊法。加邊法是將所要計算的n級行列式適當(dāng)?shù)靥砑右恍幸涣校ɑ?級行列式，保持行列式的值不變，但是所得到的n+1（或級行列式較易計算。m行m列）得到一個新的n+1（或時1其一般做法如下：3ii L3iLL13n13n3iian1an13inLbiLn1thanL apilani特殊情況取a 32 L an1或bi b2 L b

7、n方法四：拆行（列）法。將所給的行列式拆成兩上或若干個行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有兩種情況：一是行列式中有某行（列）是兩項之和，可直接利用性質(zhì)拆項；二是所給行列式中行（列）沒有兩項和形式，這時需作保持行列式值不變，使其化為兩項和。方法五：析因子法。如果行列式D中有一些元素是變數(shù)X（或某個參變數(shù)）的多項式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個多項式f（X）,然后對行列式f（X）實行某些變換，求出f（X）的互素的一次因式,使得f（X）與這些因式的乘積g（X）只相個常數(shù)因子C,根據(jù)多項式相等的定義，比較f （X）與的g（X）某一項系數(shù)，求出C值，便可求得D eg（X）Olx計算行列式常用方法

8、:方法一：遞推法分為直接遞推法和間接遞推法。類型一：“兩條線”型行列式（非零元分布在兩條線上，例如ONNO00等0注：“兩條線”型行列式一般采取直接展開降階法計算，或用拉普拉斯定理展開，降階后的行列式或為三角形行列式，或得到一個遞推公式。 類型二：三條線”行列式（非零元分布在三條線上）O00N N（1）“三對角”行列式（000N N N00N N注：“三對角”行列式可以按如下方法進行求解。-先計算D,D2,D3等，找出規(guī)律進行猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明。-間接遞推法：借助于行列式中元素的對稱性，交換行列式構(gòu)造出關(guān)于得Dn。（2）“爪型”行列式（首先得到一個一般的遞推公式DnpDniqDn

9、2,然后可以用以下兩種方法之一求出Dn的表達式:主：“爪型”行列式可以按行（列提取公因子，然后化為上（下）三角形行列式進行求解。(3) Hessenerg型行列式M)o類型三：各行（列）元素之和相等（或多數(shù)相等僅個別不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化為三角形行列式進行求解。類型四：除主對角線外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再結(jié)合其他方法進行求解。類型五：可利用范德蒙行列式計算的行列式。類型六：其他形式行列式。五、克萊姆法則&1812X2 LInnbiV VailL3in*21*21 X|X|L*22 X22nXnb2r LLLO,L2的系數(shù)行列式不等于零，即DardL3nin1Xi302X2 Lnnnbn則方程組有唯一解：1、克萊姆法則:如果含有-個未知量的n個方程的線性方程組DnD1為必DD2其中Dj （j 1,2丄n）是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方