離散型隨機(jī)變量及其分布

1、第二章離散型隨機(jī)變量及其分布教學(xué)要求1.理解離散型隨機(jī)變量及其概率函數(shù)的概念并掌握其性質(zhì)，掌握0-1分布、二項分布、泊松（Poisson分布、均勻分布、幾何分布及其應(yīng)用.2.理解離散型隨機(jī)變量概率分布列的概念及性質(zhì)； 會利用概率分布計算有關(guān)事件 的概率.3.理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率函數(shù)的概念并掌握其性質(zhì)，掌握均勻分布、指數(shù)分 布、正態(tài)分布及其應(yīng)用.4.會求隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布.本章重點(diǎn)教學(xué)手段課時分配2.12.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)我們總可以將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化，這樣，不僅使隨機(jī)事件的表達(dá)形式上更簡單， 且給我們用數(shù)學(xué)知識研究隨機(jī)現(xiàn)象帶來的極大的方便。將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化，可以通過在試

2、驗所對應(yīng)的樣本空間Q上建立一個實值函數(shù)來實現(xiàn)：這里佃隨樣本點(diǎn)的不同而取不同的值，故是一個變量。另方面，由于% ）依賴于隨機(jī)出現(xiàn)的，因此（）取某個值具有隨機(jī)性。于是稱9）為隨機(jī)變量。對于一個 隨機(jī)變量匕，我們不僅要關(guān)心它取到哪些值，更關(guān)心它以多大概率取那些值，這就需對帥有一定的限制，使 Z :佃）=a忘F，2 ：% ）迂a,b忘F，（a，b均為 實數(shù)） 一.隨機(jī)變量從第一章我們可以看出，隨機(jī)試驗的結(jié)果有的具有數(shù)量性質(zhì)。如：電話總機(jī)在時間 區(qū)間0，T內(nèi)收到呼叫次數(shù)是0次、1次、2次；等等。有的不具有數(shù)量性質(zhì)，如加 工一件產(chǎn)品是合格品或不合格品。對于具有數(shù)量性質(zhì)的隨機(jī)試驗的結(jié)果，可建立數(shù)值與結(jié)果的直

3、接對應(yīng)關(guān)系。如電話總機(jī)接到的呼叫次數(shù)， 我們用 “ （表示接到0次呼叫； 用“1表示接到1次呼 叫， 。這樣，就得到了數(shù)值與結(jié)果的直接對應(yīng)關(guān)系，有了這種對應(yīng)關(guān)系以后， 我們便可以用數(shù)值來表示試驗結(jié)果。對于非數(shù)量性質(zhì)的隨機(jī)試驗結(jié)果，我們可以根據(jù)情況指定數(shù)值來表示。例如，加 工一件產(chǎn)品，設(shè)只有合格品與不合格品兩種結(jié)果，我們可用數(shù)“俵示合格品，用“（表示不合格品。這樣非數(shù)量性質(zhì)的試驗結(jié)果就數(shù)量化了。因此同樣可用數(shù) 值來表示這種試驗結(jié)果?？傊?，無論是數(shù)量性質(zhì)的還是非數(shù)量性質(zhì)的試驗，都可用數(shù)值來表示其試驗結(jié)一維離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布及其概率計算.講練結(jié)合8課時果。因此，無論什么隨機(jī)試驗，都可用一個

4、變量的不同取值來描述它的全部可能 結(jié)果。下面給出隨機(jī)變量的定義：定義 2.12.1 一維隨機(jī)變量設(shè)E是隨機(jī)試驗，其樣本空間4，若對每一個迂O，有一個實數(shù)）與之對 應(yīng)，就得到了一個定義在Q上的實值函數(shù)9 ），稱）為隨機(jī)變量。有時也可以用大寫 英文字母X,Y,等來表示隨機(jī)變量。例 1 1 某電話總機(jī)在0,T內(nèi)收到呼叫次數(shù)的樣本空間0次，1次，2次， 則表示在0,T內(nèi)接到呼叫次數(shù)的隨機(jī)變量匕為：40次1 1 次2 2 次0 01 12 2.例 2 2 某銀行辦理有獎儲蓄，100000張為一組，設(shè)一等獎一張，獎金1000元；二等獎10張，每張獎金100元；三等獎100張，每張獎金10元；四等獎1000

5、張，每張獎金1元；其余無獎。設(shè)某人買一張獎券，其中獎情況為一隨機(jī)變量，可表示成下面三種。1.得獎金額的樣本空間為：Q=0元，1元，10元，100元，1000元則表示得獎金額的隨機(jī)變量 匕為：40 0 元1 1 元1010 元100100 元10001000 元011010010002.得獎等級的樣本空間為：Q=1等獎，2等獎，3等獎，4等獎，無獎我們用數(shù)“5表示無獎，則表示得獎等級的隨機(jī)變量E為:41 1 等獎2 2 等獎3 3 等獎4 4 等獎5 5 等獎 123453.是否得獎的樣本空間為Q=得獎，不得獎我們用數(shù)“1表示得獎，用數(shù)“（表示不得獎，則表示得獎的隨機(jī)變量 匕為:4得獎不得獎J

6、J10概率論主要研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，也稱這個統(tǒng)計規(guī)律為隨機(jī)變量的分布.分布函數(shù)要研究一個隨機(jī)變量，不僅要判斷它能取哪些數(shù)值，而且必須知道取每個值的概率。C=送P(kYk +1)knn=mli： P(krYk+1)=lim S F(k+1)F(k9r k田k士nT址n=lim F (n )- lim F (m )nm_j_oC所以必有l(wèi)im F(m)=lim F(x)=0 x_oClim F (n )= lim F (x )=1mT說 S “mj-bc *(3)因F(x單調(diào)有界，所以對任一實數(shù)點(diǎn)X，F(xiàn)(x)的左極限存在，且F(x -0)= lim F(xn)=lim F(xn)Xnfnjpc

7、那么表示這種規(guī)律的數(shù)學(xué)形式又是怎樣的呢？定義 2.12.1 設(shè)(0,F,P)是一個概率空間，對于亡0,%)是一個取實值的單值函 數(shù)(有時也用X)表示)，對任意的B忘Ei，有弋3盧B亡F，則稱Eg)為 g,F) 上的一個(實)隨機(jī)變量。上面的E,表R1上的Borel b-域A A由B1的構(gòu)成可見:匕亡(-處,X)半Yx是一個事件，這個事件的概率是研究Eg的統(tǒng)計規(guī)律的基礎(chǔ)，這個概率顯然與X有關(guān)，是X的函數(shù)，我們稱它為匕)的分布 函數(shù)。定義 2.22.2(0,F, P)是一概率空間，為定義在(O O, F)上的隨機(jī)變量，我們稱F(x) =P (Yx，X*是隨機(jī)變量9)的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)或分

8、布用d.f簡記。由概率測度的性質(zhì)易推出，分布函數(shù)具有如下基本性質(zhì)定理 2.12.1 變量F(X是r.v上的d.f，則有(1)對任意實數(shù)X1YX2，有F(XF(X2 ),(單調(diào)不減性)A AA A(2)F(處)=lim F(x)=0, (3.3) F(+處Alim F(x)=1x_j-bc(3) 對一切x-R1，F(xiàn)(x-0)=F(x )(左連續(xù)性) 證：(1)由(Yx1)UGYX2)可得(2)由分布函數(shù)的定義有0F(x)，由(1)F(x)又是單調(diào)函數(shù)，故有l(wèi)im F(X )= lim F (m )，lim F (x )= lim F (n )(m, n為整數(shù))一 W r mT Wn_3、J /由

9、概率的可列可加性有=pj2； (kE Yk+1卜k仁P -oC(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)X2 YYxnYTX(nT比) 又因為(乞t Y X )=S (xk 匕Y xk+ )kT由概率的可列可加性cP(X1Yx )= P(Xk蘭匕Y Xk+ )k#其中x1由上述消去F(Xi)得F(x)=nim_F(Xn )=F(x0)反過來，也能證明，滿足上述(1)(3)的函數(shù)是一個概率分布函數(shù)。 由上述可知，分布函數(shù)是一種分析性質(zhì)良好的函數(shù)，便于處理。易驗，對任意B E1 P( B可用的d. f表示出來。由 Z “叮一+:及概率的連續(xù)性得Pfc x)=1 -F(x)(2.7)F( = x)=F

10、(x +0) -F(x)(2.8)F(X1YX2)=F(X2 )F(X1 +0)(2.9)可見分布函數(shù)F(x全面描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律。2.22.2離散型隨機(jī)變量一.離散型隨機(jī)變量及其分布列定義 2.32.3 若一維隨機(jī)變量E的可能取值為有限個或可列個，則稱 匕為(一維) 隨設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為ai(i 2川，n,川)，P =P(X =a), i =1,2,111,n,|l|.若S pi=1，則稱RO=1,2,川，n,川)離散型隨機(jī)變量X的概率分布律，概率分布律也可i d：用下列表格形式表示：X印a HI an IIIPrPP2 IH Pn ill分布列中的P稱為rv.E的概率函數(shù)

11、，它滿足：(1) P 30,i =1,2(2) S P =1i反之，任一列滿足(2.10),(2.11)的數(shù)列 Pi是一個離散型分布的概率函數(shù)。知道了r.v.的分布列，對于任意B1，有PG-B)=2 P例 2.2.1 1 將三個小球隨機(jī)地投入四個盒子， 以匕表盒球的最大數(shù)目， 求 e e 的分布律及P(r 2。解：e的可能取值為1,2,3。P(-1)=些=3438離散型(2.10)(2.11)=2)=3915P(蘭2)= P( 1)+ P(2)=訂一=-16例 2.22.2 某商店某貨物中有一、二、三等品及廢品四種，其中一、二、三等品率和廢品率分別為60%,10%,20%,10%?，F(xiàn)在售貨員任

12、取一件檢查其質(zhì)量，用隨機(jī)變量X描述檢驗結(jié)果并寫出它的分布列。解：令“X= K”與貨物為“K等品”(K=1,2,3)相對應(yīng)，“X= 4”與貨物為廢品相對應(yīng)，X是一個離散型隨機(jī)變量，它可以取1,2,3,4四個可能的值。P X=4=0.1P X=2=0.1寫成分布列為X1234P0.60.10.20.1例 2.32.3 自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為P,生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時，立即重新調(diào)整，求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布列。解：設(shè)兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)是X，則X是一個離散型隨機(jī)變量。“X= 0”表示調(diào)整后生產(chǎn)的第一個產(chǎn)品是廢品，則有P X=0=P；“X= 1”表示調(diào)整后生產(chǎn)的第一個產(chǎn)品

13、是合格品，而第二個產(chǎn)品是廢品，則有 =pq(q=i-P);“X= 2”表示調(diào)整后生產(chǎn)的第一個及第二個產(chǎn)品是合格品，而第三個產(chǎn)品是廢品，則有2PX=2二pq以此類推，可知合格品數(shù)X的概率分布為PX=k=pqk=p(1-p)k, k=0, 1,2,n, 二、幾種常用的離散型分布1.單點(diǎn)分布(退化分布)，若r.v.的分布列為：P(E = a )= 1由稱匕服從單點(diǎn)分布。顯然，這樣的隨機(jī)變量 匕實際上就是一個常數(shù)a,但把它看成隨 機(jī)變I123P39181616即43_ 116= 3)=C44_916PX=1=0.6PX=3=0.2P X=1量有很多方便，就相當(dāng)于它是一個退化了的隨機(jī)變量，20 0 1

14、1 分布B(1, p)，它的概率函數(shù)為P(X =i) = pt - p)1 i，其中i = 0或1, 0吒p 0, i,j =1,2, HI, S S Pij=1其中，i j. 7 7 .巴斯卡分布，若r.v.E的分布列為：P( =k)=krlrT丿則稱匕服從巴斯卡分布，此分布也是來源于貝努里概型。 以上幾種常見的離散型分布在實際中都有廣泛運(yùn)用，其中尤以二項分布和 在實際應(yīng)用和理論研究中都具有重要價值，一般概率論教材中都附有這兩種分布的 數(shù)值表。下面的定理又說明二項分布可用Poisson分布來近似。設(shè)在每次試驗中，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率P(A)= P(0 V P 1)，則在n次重復(fù)獨(dú)立試 驗中.

15、，事件A恰發(fā)生k次的概率為fn )R(k)Ik丿Pk(1 -P )nk=0F|,n稱這組概率為二項概率.設(shè)隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為fnP(X =i)U丿其中，i=0,1,2,|1n，0vp1.則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, P的超幾何分布.記為X - B(n,p)4.超幾何分布，設(shè)N,M,n為正整數(shù)，且n0.幾何分布G(P)，它的概率函數(shù)為P(X= 0= rt1- p),其中，表示:=12川Ocpcipqk；k=r,r+1,，0 p -1,1 -p(2.Po iss on分布定理 2.2(2.2(泊松定理)設(shè)n重貝努里試驗中，事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為P,(Pn與n有關(guān))，若nT處時，nP.

16、t幾(幾0,常數(shù))，則有.knmb(k;n，PnA:!E0,1,2(2.13)證：令A(yù)n =nPn,則幾nT A,且巳=nb(k, n,Pn =:和一計n(n -1(n -k +1)n_kk!“n1- nln丿1n丿_kkU_ 法n(n-1)(n -k +1)(k!nkn丿廠-kIn丿對固定的k.n(n 1廠(n k +1) n n 1kn-、n州1幺IT 尹n丿n n心匚I n丿J“，當(dāng)nT處1(nT -I nJ b(k, n,Pn I -e k!有了這個定理，在用二項公布來解決實際問題時，當(dāng)b(k; n, PnePk!例 2.42.4 若一年中某類保險者里面每個意外死亡的概率為 人參加人壽

17、保險，試求在未來一年中在這些保險者里面。(1)有10個人死亡的概率；(2)死亡人數(shù)不超過15個概率。解：我們把一年中每個人是否死亡看作P=0.005的貝努里試驗。則一千個這類人在這一年的死亡人數(shù) - B(1000, P)。01(0.005(0.995990110丿510丄e，=0.018133(查書P503表2)10!155k(2)P( 0(2.16)廣P (xdx=1(2.17)反之，任意一個實函數(shù)P(x)具有以上兩個性質(zhì)，則P(x)就是一個概率密度。由(2.15) 式它就定義一個連續(xù)型分布函數(shù)，由定義看出連續(xù)型分布函數(shù)是處處連續(xù)的，是一個絕 對連續(xù)函數(shù)。由上定義可得，對連續(xù)型r.vW- P

18、(x)乂X2P(X1 YX2 )=F(X2 )F(X1 )= JP(ydyx1特別地：P(=X1)=0(注意：(匕=X1)不一定是不可能事件)pg 匕X2)= pg Y Y X2)= pg Y t 0）是兩個常數(shù)，則1P（x）=e 9 J2兀 b是一個概率密度稱（2.19）為正態(tài)密度。它對應(yīng)的d.f為F （x）=L丄e2丿dy，稱F（x為正態(tài)分布，簡記為N（Af2）,如果一個隨機(jī)變量匕的分布函數(shù)是正態(tài)分布， 則稱為正態(tài)變量，記為- N（4,cr2）特別稱N（0,1）分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度記為（X）,相應(yīng)的分布函數(shù)記為（X ）,即1jxlX常2，（x）=JJP（ydy（一）正態(tài)密度的性質(zhì)如下

19、（1）E-N（巴b2其密度PE（X描述的曲線稱為正態(tài)曲線，它是以x = 4為對稱軸的 鐘形曲線。（2） 在x=卩處，曲線處于最高點(diǎn)，(2.20)若r.v上的密度形如P（X）匕i 0a Y X Y ba X b則稱E服從（a，b） 上的均勻分布，記為U （a,b這時的d. f為0匚# .X ab a12.指數(shù)分布 若r.v上的密度形如：P（X） C ，“J 0X 0X aa Y X 0時u1U j!（u ）= f （xdx= f e2dx之值可在書P502表3中查出：（1）P（Ui YU2 ）=（U2）-（Ui）（2）當(dāng)Ui0時，（卩）=1-（U）（3）若n - N（巴b2）,則可以驗證 -（1

20、亠n =- N（0,1 ），于是有例 2.62.6 已知 N（4,b2），查表求P髓円g,（k =1,2,3）解:P卩 C =p PCJ t k + c 土L打土I b丿I丿= 0（1 ）-（-1 ）=2 （1 ）-1=2 X 0.8413- 1=0.6826P（ 円2b ）=2（2 ）-1 =2% 0.9773-1 =0.9545 PG 円 0）r積分具有性質(zhì):T0+1）=（xr（a）r（1）=r（2）=1,rlL作F(n +1 )= n!,(n為自然數(shù))P區(qū) Y YX2 ) =PX1一叮-1旺丿k b丿x 0(00, Po)X 0l2丿二.bCTCT丿2.42.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是一

21、個隨機(jī)變量，g(x)是一個已知函數(shù)，Y=g(x)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，它 也是一個隨機(jī)變量.對離散型隨機(jī)變量X，下面來求這個新的隨機(jī)變量Y的分布.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為Xai a2IIIaIIIPrP P2 III Pn HI則隨機(jī)變量函數(shù)Y =g(X)的概率函數(shù)可由下表求得Y =g(x)g(ai) g(a2)III g(an) IIIPpip2+ * + Pn但要注意，若g(ai)的值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時把對應(yīng)的概 率p相加.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為fx(x)，則隨機(jī)變量Y = g(X)的分布函數(shù)為FYW) = P(Y蘭y) = P(g(X)y) = P(

22、X引y)= Jfx(x)dxIy其中，XGy與g(X)Wy是相等的隨機(jī)事件，而Iy=x|g(x) y是實數(shù)軸上的某 個集合.隨機(jī)變量Y的概率密度fY(y)可由下式得到：fY(y) =FY(y).連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)有下面兩條性質(zhì)：(i)續(xù)導(dǎo)數(shù)，設(shè)XN(巴b2)，則當(dāng)kHO時，有Y =kX +bN(k4 + b,k2b2)，特別當(dāng) 卩X -Ac時，有Y =kX+bN(0,1)，cN(0,1).例 2.72.7 設(shè) N (0,1),求n=勺的分布密度上解：.PMy )=寸e2, y 30方法2(公式法)，定理 2.32.3 若已知連續(xù)型rv(的密度為P(x )， 在P(x)的非零取值區(qū)間(a，b)內(nèi) 函數(shù)y = f(x設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為fx(x)，y =g(x)是單調(diào)函數(shù)，且具有一階連x=h(y)是y =g(x)的反函數(shù)，貝U Y = g(X)的概率密度為fY(y)= f(h(y)Hh(y)|(ii)1k = ,b,2嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)x=h(y)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)hly)，則= f佗虺是一個 連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度為Phy )jhy ) ot Y y Y p0，其它。其中a = inf f(X y，P = s