李慶揚(yáng)-數(shù)值分析第五版第4章習(xí)題答案(20130714)

1、1、給出il 17積分的梯形公式及屮軹形公式，說(shuō)明它們的兒何s義。n：用兩端點(diǎn)的釕術(shù)甲均依作為fgd的近似仿.這樣汙出的求積公式 轟j f(x)dx«f(a)+ f(b).就足梯形求枳公式。h + a 向如果改用lx:屮點(diǎn)c = 近似取代fg).則導(dǎo)出屮w形公式2 j f(x)dx«(b-a)f(-)兒何意義的閿形，略。2、什么足求積公式的代數(shù)粘確度？悌形公式及屮補(bǔ)形公式的代數(shù)粘確度足多少？如果某個(gè)求枳公式對(duì)次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成:，(ii對(duì)f nul次多項(xiàng)式就不 袱確成立，則稱(chēng)該求積公式m次代數(shù)精度梯形公忒和屮矩形公式的代數(shù)精度為1.3、對(duì)給定求積公式的w點(diǎn)，給出

2、兩種u算求積系數(shù)的方法*由f足拾定求積公式的節(jié)點(diǎn).岡此，不能使用島斯屯求枳公式 山j(luò)木說(shuō)剛足匁跖節(jié)么 m此4、能用'i頓-科w斯求積公穴. 未找到叫確的資料.答：捕偵型求積公式和.4、什么足'|袖-柯特斯求枳？它的求枳節(jié)點(diǎn)如何分布？它的代數(shù)w確吡足多少?答:設(shè)積分區(qū)f"ja,b|劃分為n游份，步長(zhǎng)h=(b-a)/n,選取等距節(jié)點(diǎn) = a+kh構(gòu)造出的 w仉型求枳公式in = (b-a)f c;f k-0成力牛頓-mw斯求積公式.式屮 稱(chēng)綱i斯系數(shù)。 其節(jié)點(diǎn)是等跑分布的，代數(shù)精度為節(jié)點(diǎn)sn-1次，5、什么a辛件淼求積公式？它的余項(xiàng)a什么？它的代數(shù)粘確度足多少？ 為n=2

3、時(shí)，1頓44特斯求積公式即為辛件淼求枳公式，k余項(xiàng)力什(4詁其，代數(shù)箱度為3.6、什么足g合求積法？給出合梯形公式及k余項(xiàng)表達(dá)式*?:為了提rsil r粘度，通常把積分b問(wèn)分干子|x:|tij (通常足等分)，冉在每個(gè) 上使用低階求積公式.這種a*法稱(chēng)為k介求積法，u介梯肜公式為加=與f +e f()+ f】 k-0jc-l=f(/7h/7ea,b7. 給出兌介廬杵森公式及篇余項(xiàng)農(nóng)達(dá)式。如何估計(jì)它的截?cái)嗾`3 復(fù)合辛件a公式為sh=>f (a) + 4§ ok=0u +茂 f()+f(b)k«lrjf) = i-sn = -gf| f，/zea，bl180 2)8、什么

4、玷龍w格求積？它有什么優(yōu)點(diǎn)？龍w格求積公式也稱(chēng)為逐次分半加速法。它足介梯形公八、？：代森公式和柯w斯公式之m的 關(guān)系的堪礎(chǔ)上，構(gòu)造出 種加述n訂積分的力法。使用理杏森外推肱 它在不増加計(jì)算還 的前提f提高了誤差的精度.在等跑堪點(diǎn)的怡況卜.,用計(jì)算扒計(jì)算積分仇通常都粟用把區(qū)問(wèn)逐次分半的方法進(jìn)行。這作. 前-次分別衍到的函數(shù)ffi在分半以g仍可披利川,ii砧r編柷。龍貝格算法公式 藝)=去廣-fzi'k=u，3 9、什么足j5斯m求積公a?它的求積w點(diǎn)足如何確定的？它的代確度足？少？為何稱(chēng) 它tert有敁島代數(shù)粘確度的求積公式?如果求w公式(f(x)p(x)dx«x vw ahu

5、 2n-l (n為秋乎節(jié)點(diǎn)數(shù))次代數(shù)粘度.則稱(chēng)it vi點(diǎn)為離斯點(diǎn)，求積公式為尚斯哂求 fl!公式，吋以使川證明的力力、求ill:，witfi公穴的代數(shù)w度不超過(guò)2n-l。即|叫到了w后個(gè)報(bào)據(jù)老師的講課，給出證明的方法。10、牛帕-何特斯求積和尚斯求積的節(jié)點(diǎn)分布有什么小14?對(duì)idff數(shù)h的節(jié)點(diǎn)，兩種求積方法哪個(gè)史w確？為什么?中頓-m特斯求識(shí)節(jié)點(diǎn)等hi分布茆斯求積的打點(diǎn)分/hwmiffiny若項(xiàng)八的岑f'i。對(duì)pj忭數(shù)h的節(jié)點(diǎn).商斯求積史精確。11、描述»動(dòng)求積的一般步驟。怎樣衍到所;e的誤差1mi ?:如果求積h:fnpp被枳函數(shù)變化報(bào)人.饤的邡分函數(shù)fi*變化劇烈，；w

6、嬰使川小不長(zhǎng).w- 部分函&仿變化平級(jí)，可以使用人少k.tt對(duì)妓積確數(shù)rt:區(qū)間i:的不冋f(shuō)fl形采用不同的步k，使梅在滿(mǎn)足精度前捉卜積分計(jì)算工作盡可能小，針対這類(lèi)問(wèn)題的算法技巧ft在不同區(qū)肉i:頂利披枳凼數(shù)變化的劇烈柷皮確定響沌少k。就ten動(dòng)求枳的一般步驟。12、怎樣利小準(zhǔn)的維求積公人計(jì)算矩形域卜.的一.中:枳分 «本投則：祺次積分.多4?枳分的卒科森公式：f(x，y0)dx + 4g j*: f(x,yi+1/3)dx +f(x,yt)dx4-£ f(x,ym)dx對(duì)每 個(gè)積分內(nèi)次利森公八£ f（x）dx= |f（a）4g fd + 2 f（、）+

7、f（b）對(duì)洽定凼數(shù).給出rt種近似求4的方認(rèn)。八給定函數(shù)tfiff擾動(dòng)，在你的方認(rèn)屮怎打處理 這個(gè)問(wèn)題？14、判斷如卜命題足否正確：（1）如果被積函數(shù)在區(qū)間o.b±違續(xù)，則它的黎曼（riemann）積分一定存在*（2）數(shù)仿求積公式計(jì)算總足位定的。（3）代數(shù)精確度足衡®算法稔定性的一個(gè)®耍桁標(biāo)。4） n + l個(gè)點(diǎn)的插值求積公式的代數(shù)精確度至少是n次.最多好達(dá)到加+ 1次。（5）島斯求積公式只能計(jì)wefujl-1,11上的積分.（6）求積公八的階數(shù)所依樅的描ffi?項(xiàng)人的次fi it.（7）梯形公式兩點(diǎn)斯公戎粘度-樣8） w斯求積公式系數(shù)邢坫ie數(shù).故il s?總a

8、u2記的.（9由f龍貝格求積節(jié)點(diǎn)與牛頓-栴特斯求稅節(jié)點(diǎn)相同，因此它們的析度扣冋。 （10階數(shù)的商斯求積公式?jīng)]饤公共節(jié)點(diǎn)*”正確2）錯(cuò)誤3）錯(cuò)誤，是衡量計(jì)算準(zhǔn)碥度的一個(gè)措梅4）正確5）錯(cuò)誤，可以通過(guò)變化使得計(jì)算時(shí)區(qū)間在1,1 t.6錯(cuò)典型的例 d 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1頓-何斯特公式至少為n+l階代數(shù)粘度.7）錯(cuò)漢.梯形公式，代數(shù)w度力1，兩點(diǎn)島斯公忒代數(shù)粘度為s8）正確9錯(cuò)。龍w格秸度為2n,牛頓-mw斯精度a1大為nu10） 錯(cuò)誤。d'丄1、場(chǎng)定下列求積公式屮的待定多數(shù)，使其代數(shù)精度盡3髙，井報(bào)明所構(gòu)造出的求積公式所 fl好的代數(shù)w度.f(x)dx« a. f(-h) + a f

9、(0) + a f(h):2) £ f(x)dx«f(-h) + a) f(0) + a hh)；3) f(x)dx« f(-l) + 2 f(xj + 3 f(x2)/3:4) f(x)dx«lif(0)+ f(h)/2 + ah2f (0)- f (li)o i> jf（x）dx« （-11）+a）f（o）+afrtij*逛確定3個(gè)未知吊:，w此，盂®給定3個(gè)z/w.i2 f(x) = l,x,x2.介2h= al+a0 = -ha + m丟 h3 = h:aq + li、令 f(x) x3 w y(-h)3 + -03 +

10、 yh3 = -jh4 + jll4 = 0 = 令 f(x)=x4.yl-(-h)4 + -04 + -h* = ih5 = 0* 廣 x4dx=-x5 = -h5 3333jh 5 k 5因此，n冇3次代數(shù)粘度。f(x)dx« aq f(-h) + i% f(0) + a f(h)山j(luò) ffi嬰確定3個(gè)未知a,因此.需®給定3個(gè)方程。設(shè) f(x) = l，x，x2 w4h= a.k + 2% + a 0 = -hai +li3 = h2a.1 + h：aw(-h)3 - o3 + 竺 h3 = -®h4 + ?li4 = o =廣 x3dx=033333j_h

11、令f= x4,有竺(-h)4 - 04 + li4 = l£li5 = 0 * 廣 x4dx= ix5 :h = h537333“5 -冼 5因此，具有3次代數(shù)粘度。f(x)dx«f(-l) + 2f(x1) + 3f(x:)/33) j_i耑迆確定2個(gè)待定參數(shù)，w此，令® f(x) = l，x，x2，有2 = |1 + 2 + 3/3 0 = |l + 2xl + 3x,/3 | = 1 + 22+32/3 jxl =-0.6899x2 = 0.2899 解出 |xl =-0.6899 x2 =-0.5266令 f(x)= x3.0=4=1-/=£1&

12、#163;(有#f(-l) + 2 f ("0.6899) + 3 f (0.2899)1/3 = -1+2x-0.68993 + 3x0.28993/3= 0.52788因此，具冇2次代數(shù)粘度。4)f(x)dx«14f(0)+ f(li)/2 + ali frdxui = 8jo 4 + x， 梯形公忒f(0)- f (h)忠毋確定2個(gè)待定參數(shù)，因此.令沒(méi) f(x) = l,x,x2.有h = h + 0y = h3/2-2ah3解出3= a, h為任®常數(shù)令 f(x)= x3.有t = jxix= t f(x)dx= li4 2-去li4 =去h4 令 f (

13、x) = x4.有=fhx4dx = fh f(x)cixh5/2-h5 = -h5 5 jojo36所以代數(shù)精度為3.2、分別用梯形公式和t.公式計(jì)算k列積分: gtdxji = 8jo4+x-(2) 又9 vxdx, n = 4(3) i 4-sin"(pd(p. n = 6忑=與_ + 2§詠)+卿2k-1n = 8，所以 =-,k = 0,l,23,4,5,6,7,8 8 f(xo)= of(x,) = 0.0311f = 0.0615f()= 0.0906f = 0.1176f(xj) = 0.1423f(xg) = 0.1644f = 0.1836 f(xs)=

14、 0.200所以介x = 【f(0) + 2§f(xj+f(l)】 lk-1= 0.1114寥怍森公式sn =蘭f【f + 4§ f() + 2§ f()+ f(b) 0 im)k-0k-in = 4，所以x = -,k = 0,1,23,44xfc+i': w，k = 0，l，2,384所以s4 = 7§lf(°)+ 4e fo)+2§崛g k=ok=ok-i= 0.11157(2)叉9 vxdx, n = 4梯形公式l； = f(a) + 2§ 詠)+卿lk-1n = 4，所以xk=l + 2k,k = 0x23

15、.4f (xj = loooo 1 7321 2.236126458 3.0000，k = 0j.4l； = f(a) + 2§f(xk)+f(b)lk-i= 17.2278辛忤森公式sn =f(a) + 4§ 1(+1/2) + 2§ £()+ f(b)o k«0kok«in = 2，所以 =l + 4k，k = 0，l，2,x, =3 + 4k.k = 0,l所以s2 = f+ 4§ u + 2§ f(xj+ f(b)|0 k0k-ck-1=17.3321廣-sin(pd(p、n = 6梯形公式; = !f(a

16、) + 2§ fj+fo)zk-1n = 6，所以xk=k,k = 04,2,3,4.5,636f(xj = 12.0000 1.9981 1.9924 1.9832 1.9705 1.9548 1.9365,k = 0.1.6 h0-1 = -f(a) + 2xf(xl)+f(b)l2k-i=1.0356辛作森公式sn =蘭 jf(a) + 4乞 f(2) + 2乞咕)+ f(b)0 k*0k-ok*ln = 3，所以 xl = k,k = 0,1,2318所以s3 =f +f (,2+ 2§ f (xj+ f(b)0 x)k-0k-1=135773、g接驗(yàn)證何特斯公式(

17、2.4a旮5次代數(shù)粘度*驗(yàn)證以卜公式在f(x)= x5時(shí).等式成立，在f(x)= x6時(shí)，匁式不成立 £ f(x)dx= -7 foq + 32 f00 + 12 f(x,) + 32 f(x0 + 7 f(x4)j 驗(yàn)證過(guò)wih題l.f(x) = l,x,xx3,xx5 時(shí).(以 f(x) = x5 為例7a5 + 32()5 +12()5 + 32()5 十 7b5904247a5 + (243 a5 + 405 a 4b + 270 a 3b3 + 90 a 2b3 +15 a b4 + b5) 90 132+ -(a5 +5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 +5ab

18、4 +b5)8+ 丄(a5 +15 a 4b + 90a v + 270 a v + 405ab4 + 243b5) + 7b51 32= -(15a5 +15a4b + 15a3b2 + 15a2b3 + 15ab4 +15b5) 90=+ b)(a4 + 2a2b2 +b4)=七 一 a =廣x5dx66人l2.7a32()6 +12()6 +32()6 + 7b”90424=7a6 + 丄(729 a6 +1458a5b + 1215a4b: + 540a3b3+ 135a2b4 +18ab5 +b6) 90 1128+ (a 6 + 6 a 5b +15 a 4b2 + 20 a v

19、+15 a 2b4 + 6 a b5 + b6)16+ (a6+18a5b + 135a4b2 +540a3b3+1215a2b4 +1458ab5 +729b6) + 7b6l 128v + av + -a-b4 + !ab5 + -b6) 161283264b-a 825 6405 <u 1710906432128從ifii此求積公式扱品具釘5次代數(shù)粘度。4.用於抻森公式求積分je-dx并估計(jì)誤差。辛普淼公式b aa + bs=f(a) + 4f(-)+f(b)o2f(0) = lf(0.5) = e-05fa)=e-*所以s = lf(0) + 4 f(0.5)+ f(l)6= l

20、|l + 4e5 + e-1 】6l j=0 63233余項(xiàng)為r(o = -(-)4f4(7)e(a,b) 180 2 f4o7) = ei <e°=lx0.0625xl|=3.47e.45、推妤下列三種矩形求積公式:f f(x)dx= f(a)(b-a)+ f)(b-a尸:廣 f(x)dx= f(b)(b_a)_ f )(b_a)? ja 2 f(x)dx= f(j)(b-a) + i(b-a) 224解:木題有2中證明方式。解法1.利用插值吧求積公式的余項(xiàng)公式證明。kuh:其中k = -(b*2-a-v axl由t只川到1個(gè)插值點(diǎn)x=a.此時(shí)m=0. n=0.此時(shí)插值堆函數(shù)

21、為1. a> = f(x)dx= £ldx=(b-a)所以(iii+l)!瞧 =j(b2-a2)-(b-a)a有才a): 同理當(dāng)用到1個(gè)插依點(diǎn)x=b，此時(shí)通=0, n=0,此時(shí)插值基函數(shù)為1.a5 = fl0(x)dx=£ldx=(b-a)聽(tīng)以k = ! (b2 -axj"*1 =y(b2-a2)-(b-a)b=-(b-a/有 2(1)和(2)即可證得。 e對(duì)t(3), j* fdx= f()(b-a) + -(b-a) “224使用此種方法耑要調(diào)糧。llj到1個(gè)插偵點(diǎn)x=，此時(shí)m=0. n=0.此時(shí)插fft雄函數(shù)為1.= £l0(x)dx = &

22、#163;ldx= (b-a) 聽(tīng)以k=o(iu+1)! m+2對(duì)明說(shuō)令ii瓜ii 以<所m二0時(shí)，求積公式?jīng)]冇誤差。 n=0,此時(shí)插值基函數(shù)為1. ifl(x)dx= tldx= (b- a)=l(b2-a2)-(b-a)(-)(m+l)!m+211 - 打=扎k=0i(b3-a3)-(b-a)(a)2=0.5(b3- a3 + a2b- ab2) 121244= i7(b-a)3即可證得。解法2.利用微分中值定理證明，由微分中值定理冇:f(x)= f(a) + f(/7)(x-a),從而£ f(x)dx=£f+ f (/7)(x- a)dx = f(a)x+a)2

23、f=f(a)(b-a) + (b-a)3冉由微分屮值定理有：f(x)=f(b)+f (/7)(x-b).從而£ f dx=jf(b)+ fr(77)(x-b)dx=f(b)x+-(x-b)2 =f(b)(b-a)-l(b-a)2由微分屮位定理有：fg0= f()+ f ()(x-+ (x-2,從f f(x)dx = £f()+ f'()(x-1) + -li(x-)2dx而=i f d+1 fx)(x-+(x-)3s2 2 2 2 6 2 =f()(b.a)+n<=264224&、7viiju合梯形公式il w枳分i=£e'dx .

24、hixfiij|o,ihv分名少等份才能使戰(zhàn)斷誤差不超 y-xio-5 ?公式，®達(dá)到同度區(qū)問(wèn)io,w、v分多少份？本s為k上的_冬核的介梯形公式和介辛杵森公式的次籌與w點(diǎn)的關(guān)系。 解：y介梯形公式余項(xiàng)mn = -h2r(7)ira什湖汾+10-， 解隊(duì)n = 213>212.849 s介於作森公式余項(xiàng)氏(0 = -b- a2880h4ff(4)(；7) = e"e0，l1 1=1-品f、)心 ire|4x，5解得：n= 4乏3.71，：盟8個(gè)節(jié)點(diǎn)。7、如果r(x>>0,證叫用梯形公式計(jì)鋅積分i=jemdx所衍結(jié)果比準(zhǔn)確ffil人，并說(shuō)明 m兒何意義。解：

25、fw(x)>0.說(shuō)明f(x)在【0，1】區(qū)間h足一個(gè)內(nèi)凹的函數(shù)， 本題.選擇梯形公或余項(xiàng)證明：f(x)dx-x af() = -h2v(rj) <0所以i = £ fdx士 a f ()，u|j梯形公人11 w枳分i = £ exdx所fj tli災(zāi)比準(zhǔn)峋fft i k-0大. 幾何解釋8、用龍w格方法計(jì)算下列積分，貶求誤差小超過(guò)10_5。xsin xdx解：龍w格求積ft法(木題還不公，特別足求t0,還盂想um)t<k) _4rp(k-h)1 t<k)4m«l4m_l計(jì)算to時(shí)的遞推公式封e、t表如下khtot1t2t3t4010.683

26、939710.520.2530.12540.06259、用辛轉(zhuǎn)森公式的fj適噸積分計(jì)算x'lnxctx.允許誤差1(t3 本題考核自適應(yīng)積分，計(jì)算51較人.關(guān)t步k的確定還；espjs4習(xí)一下。10、足構(gòu)造萵斯負(fù)求積公式£-f(x)dx« f+afcx,)本題m例9.苓核尚斯節(jié)點(diǎn)的求法w尚斯公式的構(gòu)造方法*解：jwjiirt代數(shù)m垵的求積公或足島斯喂求積公式.異點(diǎn)為關(guān)f權(quán)函數(shù)p(x) =的正交多項(xiàng)式的岑點(diǎn) xq，' ttw(x) = (x-x0)(x-xi) = x2 + bx+c . ill f正交性 w(x) tl，x 帶權(quán)正交，即得：jo_dx=o，j

27、，w(_ = o于是有+ bx+c)dx= j+jb+2c = o £ a/xcx2 + bx+ c)dx = y+-b+|c = o關(guān) b = _6/7c = 3/35所以.w(x) = x2x十一735關(guān)： = 0.1156 = 0.7416山j(luò) w個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯墩求積公式a/j 3次代數(shù)粘度.故公m f(x) = l,x,x2,x3njc.為方 便計(jì)算ao. a1取前兩個(gè)。"i f(x) = l 時(shí)，dx=24 = 1.273a = 0.7274xo+ a= 0.11564 + 0.7146所以尚斯喂求積公a為dx «1.273 f(0.1156) + 0.7

28、27 f(0.7416)11、用n = 2,3的i®斯勒讓德公式計(jì)算枳分 ex sin xdxr+2本題考作積分區(qū)問(wèn)的變化.尚斯-勒訃徳公忒. mb尚斯-勒讓德積分區(qū)間為-14l因此需要進(jìn)行區(qū)間變化. 則ex sin xdx = | ex*'sin(x+2)d(x+2) ffsincx+dx即.變化區(qū)問(wèn)fif(x) = ex+2sin(x+2)當(dāng)n=2時(shí)，為3點(diǎn)的商斯型求積公式，由表4-7,商斯節(jié)點(diǎn)為% = -0.7745967=0x. = 0.7745967系數(shù)為= a =0.5555556 a = o所以品斯勒iits即公式為| ex+2sin(x+ 2)dx«

29、 0.5555556 f (-0.7745967)+ 0.8888889 f(o) +0.5555556 f( = 10.9484同理可得3點(diǎn)的髙斯勒讓德計(jì)算*不再計(jì)算。12、：rv.軌道足一個(gè)wimi.橢長(zhǎng)的計(jì)算公alis=4a|"/2jl- sin2odo.這mia 是mm的半長(zhǎng)軸.c足地球屮心與軌道中心（翻屮心）的距離,記h力近地點(diǎn)距離，h為 遠(yuǎn)地 離.r=6371 公 hl 為地球乎役，則 a = (2r+h + h)/2> c = (h-h)/2 我s 第-顆人造衛(wèi)記近地點(diǎn)跖離h = 439公取*遠(yuǎn)地點(diǎn)跖離力h= 2384公識(shí)*試求t記軌道的 岡長(zhǎng)*本題m于沿線積分求

30、周長(zhǎng)的題嘴解：2r+ h + h 2 x 6371 + 2384 + 439啊。、a = 7782.5，2 2 h - il 2384 - 439rc = 972.5使川2介梯形公式或2介tif森公式求解。沒(méi)悌形公式節(jié)點(diǎn)為n=6.辛誇森公式n=3.所以7t n n n n代=0，一,-,，一12 6 4 3 12 2f(6l) = 1.0000 0.9995 0.9980 0.9961 0.99410.9927 0.9922所以s = 3110x-f(0) + fw+ f()2k-i2=4.8707 xlo4使用辛?公式zjn 71代=0，m_ n n 5nf (代)=11.00000.998

31、0 0.99410.9922= 0.99950.9961 0.9927js = 3110xhf(0) + 4§ f(d + 2g f+ f(y) °k-0k-12= 48708xl04兩打木ffl屮i。13、證明等式心十，-基+基.試依據(jù)（u = 3綱的值.用外推算i丄求;r的近似值。14、川卜列zfiiil訂積分p-dy,并比較紀(jì)災(zāi)。 ji y1）龍貝格方法：（2）三點(diǎn)及fi點(diǎn)尚斯公式：3）將積分區(qū)間分為叫等分.用復(fù)化兩點(diǎn)離斯公式。三點(diǎn)及五點(diǎn)離斯公式i箱要將區(qū)間化為【-ui 用s化兩點(diǎn)j5斯公式，將區(qū)m化為【14115、hl n=2的萵斯-拉盃爾求積公ail 17積分本s

32、;g盟先斯拉盂爾求枳公式的形成_防活杏農(nóng)即"j求fv所以f(x) = -農(nóng)4-8. n=2時(shí)介 = 0.415774557 = 2.294280360x. = 6.289945083=0.711093010= 0.278517734a = 0.010389257 曹則：xq = 0.69668 ' =0.98993瓜=1仏 joahxo)+ a(>q)+af(x,)= 0.7815116、ffl辛普淼公式（取n=m=2）計(jì)算二®祝分本題芩核多氓積分的求法，芩核z fcfil分的tfvjjr公式.對(duì)屮的甲個(gè)積分洱次w川t wa： 公式求積，w:多中:積分的公八：£t f(y)dydx= f f(x,%)dx+4g£ f(x,yi4v2)dx+2e£ f(x,yjdx+j" f(x,ym)dx對(duì)付一個(gè)積分再次利用辛淼公式fa f(x)dx=4yisf(m