青純教育2014年中考數(shù)學專題復習第22講梯形含詳細答案

1、第二十二講梯形【基礎知識回顧】一、 梯形的定義、分類和面積： 1、定義：一組對邊平行，而另一組對邊的四邊形，叫做梯形。其中，平行的兩邊叫做，不平行的兩邊叫做，兩底間的距離叫做梯形的。直角梯形：一腰與底 的梯形叫做直角梯形一般梯形等腰梯形：兩腰 的梯形叫做等腰梯形特殊梯形2、分類：梯形3、梯形的面積：S梯形= （上底+下底）×高【名師提醒：要判定一個四邊形是梯形，除了要證明它有一組對邊外，還需注明另一組對邊不平行或平行的這組對邊不相等】二、等腰梯形的性質(zhì)和判定： 1、性質(zhì)：等腰梯形的兩腰相等，相等等腰梯形的對角線等腰梯形是對稱圖形 2、判定：用定義：先證明四邊形是梯形，再證明其兩腰相等

2、同一底上兩個角的梯形是等腰梯形對角線的梯形是等腰梯形【名師提醒：1、梯形的性質(zhì)和判定中“同一底上的兩個角相等”不能說成“兩底角相等” 2、等腰梯形所有的判定方法都必須先證它是梯形 3、解決梯形問題的基本思路是通過做輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為形或形常見的輔助線作法有要注意根據(jù)題目的特點靈活選用輔助線】【重點考點例析】考點一：梯形的基本概念和性質(zhì)例1 （2013廣州）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，ADBC，CA是BCD的平分線，且ABAC，AB=4，AD=6，則tanB=（）A2B2CD思路分析：先判斷DA=DC，過點D作DEAB，交AC于點F，交BC于點E，由等腰三角形的性質(zhì)，可得點F是AC中點，繼而

3、可得EF是CAB的中位線，繼而得出EF、DF的長度，在RtADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可計算解：CA是BCD的平分線，DCA=ACB，又ADBC，ACB=CAD，DAC=DCA，DA=DC，如圖，過點D作DEAB，交AC于點F，交BC于點E，ABAC，DEAC（等腰三角形三線合一的性質(zhì)），點F是AC中點，AF=CF，EF是CAB的中位線，EF=AB=2，=1，EF=DF=2，在RtADF中，AF=，則AC=2AF=8，tanB=故選B點評：本題考查了梯形的知識、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理，解答本題的關鍵是作出輔助線，判斷點F是AC中點，難度較大對應訓練1（20

4、13寧波）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=，BC=4，連結BD，BAD的平分線交BD于點E，且AECD，則AD的長為（）ABCD21B考點二：等腰梯形的性質(zhì)例2 （2013柳州）如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，ADBC，連結AC、BD在平面內(nèi)將DBC沿BC翻折得到EBC （1）四邊形ABEC一定是什么四邊形？（2）證明你在（1）中所得出的結論思路分析：（1）首先觀察圖形，然后由題意可得四邊形ABEC一定是平行四邊形；（2）由四邊形ABCD為等腰梯形，ADBC，可得AB=DC，AC=BD，又由在平面內(nèi)將DBC沿BC翻折得到EBC，可得EC=DC，DB=BE，繼而可得：EC=AB，BE=AC

5、，則可證得四邊形ABEC是平行四邊形解答：（1）解：四邊形ABEC一定是平行四邊形；（2）證明：四邊形ABCD為等腰梯形，ADBC，AB=DC，AC=BD，由折疊的性質(zhì)可得：EC=DC，DB=BE，EC=AB，BE=AC，四邊形ABEC是平行四邊形點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用對應訓練2（2013杭州）如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，線段AG，BG分別交CD于點E，F(xiàn)，DE=CF求證：GAB是等腰三角形2證明：在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，D=C，DAB=CBA，在ADE和BCF中，ADEBCF（SAS），DA

6、E=CBF，GAB=GBA，GA=GB，即GAB為等腰三角形考點三：等腰梯形的判定例3 （2013欽州）如圖，梯形ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求證：梯形ABCD是等腰梯形思路分析：由ABDE，DEC=C，易證得B=C，又由同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形，即可證得結論證明：ABDE，DEC=B，DEC=C，B=C，梯形ABCD是等腰梯形點評：此題考查了等腰梯形的判定此題比較簡單，注意掌握同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形定理的應用，注意數(shù)形結合思想的應用對應訓練3（2013上海）在梯形ABCD中，ADBC，對角線AC和BD交于點O，下列條件中，能判斷梯形ABCD是等腰梯形的是

7、（）ABDC=BCDBABC=DABCADB=DACDAOB=BOC3C考點四：梯形的綜合應用例4 34（2013揚州）如圖1，在梯形ABCD中，ABCD，B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PEPA交CD所在直線于E設BP=x，CE=y（1）求y與x的函數(shù)關系式；（2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍；（3）如圖2，若m=4，將PEC沿PE翻折至PEG位置，BAG=90°，求BP長思路分析：（1）證明ABPPCE，利用比例線段關系求出y與x的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中求出的y與

8、x的關系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)及已知條件，構造直角三角形，利用勾股定理求出BP的長度解答中提供了三種解法，可認真體會解：（1）APB+CPE=90°，CEP+CPE=90°，APB=CEP，又B=C=90°，ABPPCE，即，y=-x2+x（2）y=-x2+x=-（x-）2+，當x=時，y取得最大值，最大值為點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，1，解得m2m的取值范圍為：0m2（3）由折疊可知，PG=PC，EG=EC，GPE=CPE，又GPE+APG=90°，CPE+APB=90

9、6;，APG=APBBAG=90°，AGBC，GAP=APB，GAP=APG，AG=PG=PC解法一：如解答圖所示，分別延長CE、AG，交于點H，則易知ABCH為矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，在RtGHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2，即：x2+（2-y）2=y2，化簡得：x2-4y+4=0  由（1）可知，y=-x2+x，這里m=4，y=-x2+2x，代入式整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，BP的長為或2解法二：如解答圖所示，連接GCAGPC，AG=PC，四邊形APCG為平行四邊形，AP=CG易證A

10、BPGNC，CN=BP=x過點G作GNPC于點N，則GH=2，PN=PC-CN=4-2x在RtGPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2，即：（4-2x）2+22=（4-x）2，整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，BP的長為或2解法三：過點A作AKPG于點K，APB=APG，AK=AB易證APBAPK，PK=BP=x，GK=PG-PK=4-2x在RtAGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2，即：（4-2x）2+22=（4-x）2，整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，BP的長為或2點評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折

11、疊、函數(shù)關系式、二次函數(shù)最值等知識點，所涉及考點眾多，有一定的難度注意第（2）問中求m取值范圍時二次函數(shù)性質(zhì)的應用，以及第（3）問中構造直角三角形的方法對應訓練4（2013青島模擬）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，點E從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向點B移動，點F從點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BA方向向點A移動，當點F到達點A時，點E停止運動；設運動的時間為t（s） （0t2.5）問：（1）當t為何值時，EF平分等腰梯形ABCD的周長？（2）若BFE的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻t，使五邊形AFE

12、CD的面積與BFE的面積之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，說明理由（4）在點E、F運動的過程中，若線段EF=cm，此時EF能否垂直平分AB？4解：（1）EF平分等腰梯形ABCD的周長，BE+BF=（AD+BC+CD+AB）=12，10-t+2t=12，t=2；答：當t為2s時，EF平分等腰梯形ABCD的周長；（2）如圖，過A作ANBC于N，過F作FGBC于G，則BN=（BC-AD）=×（10-4）=3（cm），ANBC，F(xiàn)GBC，F(xiàn)GAN，ABNFGB，F(xiàn)G=t，SBEF=×BE×FG=（10-t）t，S=-t2+8t；（3）假設存在某一時刻t，使五邊形A

13、FECD的面積與BFE的面積之比是3：2，S五邊形AFECD=S梯形ABCD-SBFE=×（4+10）×4-（-t2+8t）=28+t2-8t，即2（28+t2-8t）=3（-t2+8t），解得：t=5+（大于2.5，舍去），t=5-；即存在某一時刻t，使五邊形AFECD的面積與BFE的面積之比是3：2，t的值是（5-）s；（4）假設存在EF垂直平分AB，則ABNBEF，EF=，即線段EF=cm，此時EF不能垂直平分AB【聚焦山東中考】1（2013煙臺）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，ABC=60°，若其四邊滿足長度的眾數(shù)為5，平均數(shù)為，上、下底之比為1：2，則B

14、D= 12（2013臨沂）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，DEBC，BDDC，垂足分別為E，D，DE=3，BD=5，則腰長AB=23（2013濱州模擬）我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”類似的，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線如圖，在梯形ABCD中，ADBC，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，那么EF就是梯形ABCD的中位線通過觀察、測量，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關系？并證明你的結論3解：結論為：EFADBC，EF=（AD+BC）理由如下：連接AF并延長交BC于點GADBC，DAF=G，在

15、ADF和GCF中，ADFGCF（AAS），AF=FG，AD=CG又AE=EB，EFBG，EF=BG，即EFADBC，EF=（AD+BC）【備考真題過關】一、選擇題1（2013綿陽）下列說法正確的是（）A對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形B對角線互相垂直的梯形是等腰梯形C對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形D對角線相等且互相平分的四邊形是矩形1D2（2013十堰）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60°，則下底BC的長為（）A8B9C10D112A二、填空題3（2013揚州）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=CD，BC=12，ABC=60°

16、;，則梯形ABCD的周長為 303304（2013盤錦）如圖，等腰梯形ABCD，ADBC，BD平分ABC，A=120°若梯形的周長為10，則AD的長為 2425（2013六盤水）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分線交BC于E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于 195196（2013長沙）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=50°，C=80°，AECD交BC于點E，若AD=2，BC=5，則邊CD的長是 3637（2013曲靖）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，C=45°，AD=1，

17、BC=4，則CD= 78（2013南京）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC與BD相交于P已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），則點P的坐標為8（ 33， ）三、解答題9（2013玉林）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADDC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延長線與BC的延長線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點（1）求證：四邊形EMCN是矩形；（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬9（1）證明：點A、F關于BD對稱，AD=DF，DEAF，又ADDC，ADF、DEF是等腰直角三角形，DAF=EDF=4

18、5°，ADBC，G=GAD=45°，BGE是等腰直角三角形，M，N分別是BG，DF的中點，EMBC，ENCD，又ADBC，ADDC，BCCD，四邊形EMCN是矩形；（2）解：由（1）可知，EDF=45°，BCCD，BCD是等腰直角三角形，BC=CD，S梯形ABCD=（AD+BC）CD=（2+CD）CD=，即CD2+2CD-15=0，解得CD=3，CD=-5（舍去），ADF、DEF是等腰直角三角形，DF=AD=2，N是DF的中點，EN=DN=DF=×2=1，CN=CD-DN=3-1=2，矩形EMCN的長和寬分別為2，110（2013深圳）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，AB=DC，AC與BD交于點O，廷長BC到E，使得CE=AD，連接DE（1）求證：BD=DE（2）若ACBD，AD=3，SABCD=16，求AB的長10（1）證明：ADBC，CE=AD，四邊形ACED是平行四邊形，AC=DE，四邊形ABCD是等腰梯形，ADBC，AB=DC，AC=BD，BD=DE（2）解：過點D作DFBC于點F，四邊形ACED是平行四邊形，CE=AD=3，ACDE，ACBD，BDDE，BD=DE，SBDE=BDDE=BD2=BEDF=（BC+CE）DF=（BC+AD）DF=S梯形ABCD=16，BD=4，BE=BD=8，DF=BF