高中數(shù)學第8章圓錐曲線方程（第9課時）雙曲線及其標準方程（2）

1、課 題：83雙曲線及其標準方程（二）1使學生掌握雙曲線的定義，熟記雙曲線的標準方程，并能初步應用；2使學生初步會按特定條件求雙曲線的標準方程； 3培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力教學重點：標準方程及其簡單應用教學難點：雙曲線標準方程的推導及待定系數(shù)法解二元二次方程組授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：一、復習引入： 名 稱橢 圓雙 曲 線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于）的動點的軌跡叫橢圓。即 當22時，軌跡是橢圓， 當2=2時，軌跡是一條線段 當22時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線。即當22時，軌跡

2、是雙曲線當2=2時，軌跡是兩條射線當22時，軌跡不存在標準方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上焦點在軸上時： 焦點在軸上時：注：是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置常數(shù)的關 系 （符合勾股定理的結構）， 最大，（符合勾股定理的結構）最大，可以二、講解范例：例1 已知雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，且點，在此雙曲線上，求雙曲線的標準方程分析：由于已知焦點在軸上，中心在原點，所以雙曲線的標準方程可用設出來，進行求解 本題是用待定系數(shù)法來解的，得到的關于待定系數(shù)的一個分式方程組，并且分母的次數(shù)是2，解這種方程組時利用換元法可將它化為二元二次方程組；也可將

3、的倒數(shù)作為未知數(shù)，直接看作二元一次方程組 解：因為雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，所以設所求雙曲線的標準方程為 （）則有 ，即解關于的二元一次方程組，得 所以，所求雙曲線的標準方程為 變式例題1 點A位于雙曲線上，是它的兩個焦點，求的重心G的軌跡方程 分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個頂點的坐標，利用相關點法進行求解 注意限制條件 解：設的重心G的坐標為，則點A的坐標為因為點A位于雙曲線上，從而有，即所以，的重心G的軌跡方程為 點評：求軌跡方程，常用的方法是直接求法和間接求法兩種 例1是直接利用待定系數(shù)法求軌跡方程 本題則是用間接法(也叫代入法)來解題，補充本例是為了進一步提高學生

4、分析問題和解決問題的能力 另外本題所求軌跡中包含一個隱含條件，它表現(xiàn)為軌跡上點的坐標應滿足一個不等關系，而這一點正是學生容易忽略，造成錯誤的地方，所以講解本題有利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的縝密性，養(yǎng)成嚴謹細致的學習品質 變式例題2 已知的底邊BC長為12，且底邊固定，頂點A是動點，使，求點A的軌跡分析：首先建立坐標系，由于點A的運動規(guī)律不易用坐標表示，注意條件的運用，可利用正弦定理將其化為邊的關系，注意有關限制條件解：以底邊BC 為軸，底邊BC的中點為原點建立坐標系，這時，由得,即 所以，點A的軌跡是以為焦點，2=6的雙曲線的左支 其方程為：點評：求軌跡方程的過程中，有一個重要的步驟就是找出(或聯(lián)想

5、到)軌跡上的動點所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件確定的，由于軌跡問題比較普遍，題型多樣，有些軌跡上的動點滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復雜解決它需要突出形數(shù)結合的思考方法，運用邏輯推理，結合平面幾何的基本知識，分析、歸納，這里安排本例就是針對以上情況來進行訓練的 例2 一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s(1)爆炸點應在什么樣的曲線上？(2)已知A、B兩地相距800m，并且此時聲速為340 ms，求曲線的方程分析：解應用題的關鍵是建立數(shù)學模型 根據(jù)本題設和結論，注意到在A處聽到爆炸聲的時間比B處晚2s,這里聲速取同一個值 解：(1)由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差，

6、可知A、B兩處與爆炸點的距離的差，因此爆炸點應位于以A、B為焦點的雙曲線上因為爆炸點離A處比離B處更遠，所以爆炸點應在靠近B處的一支上(2)如圖，建立直角坐標系，使A、B兩點在軸上，并且點O與線段AB的中點重合設爆炸點P的坐標為，則 |PA|PB|=340×2=680，即 2680，340又|AB|=800， 2c=800，c=400，44400 |PA|PB|6800， 0所求雙曲線的方程為 （0）例2說明，利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點的準確位置如果再增設一個觀測點C，利用B、C(或A、C)兩處測得的爆炸聲的時間

7、差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置這是雙曲線的一個重要應用想一想，如果A、B兩處同時聽到爆炸聲，那么爆炸點應在什么樣的曲線上（爆炸點應在線段AB的中垂線上）點評：本例是培養(yǎng)學生應用雙曲線知識解決實際問題的一道典型題目，安排在此非常有利于強化學生“應用數(shù)學”的意識，后面對“想一想”的教學處理，有利于調(diào)動學生的學習主動性和積極性，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力例3求與圓及都外切的動圓圓心的軌跡方程解：設動圓的半徑為r，則由動圓與定圓都外切得，又因為，由雙曲線的定義可知，點M的軌跡是雙曲線的一支所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，其方程為： 三、課堂練習：1判斷方程所表示的曲線。解：當時，即當時，是橢圓；當時，即當時，是雙曲線；2求焦點的坐標是（-6，0）、（6，0），并且經(jīng)過點A（-5，2）的雙曲線的標準方程。答案： 3求經(jīng)過點和，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程答案：4橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)的值是 （ ） A B C 5 D 9答案：B5已知是雙曲線的焦點，PQ是過焦點的弦，且PQ的傾斜角為600，那么的值為（答案： 416）6設是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上,且,則點P到軸的距離為( ) A 1 B C 2 D 答案：B 的面積為，從而有7P為雙曲線上一點，若F是一個焦點