高考三角函數(shù)(共37頁)

1、高考數(shù)學試題分類匯編三角函數(shù)1.(2009年廣東卷文)（本小題滿分12分）已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值【解析】（）,即又, ,即,又,(2) , ,即 又 , 21世紀教育網(wǎng) 2.（2009全國卷理）（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b 分析:此題事實上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分.解法一：在中則由正弦定理及余

2、弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以又，即由正弦定理得，故由，解得。評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強化訓練。3.（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解析：（I）因為，又由，得， 21世紀教育網(wǎng) （II）對于，又，或，由余弦定理得， 21世紀教育網(wǎng) 4.（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求

3、的面積； （II）若，求的值解析：（） 21世紀教育網(wǎng) 又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以所以5.（2009北京文）（本小題共12分）已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】本題主要考查特殊角三角函數(shù)值、誘導公式、二倍角的正弦、三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識，主要考查基本運算能力（），函數(shù)的最小正周期為.（）由，在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.6.（2009北京理）（本小題共13分） 在中，角的對邊分別為，。（）求的值；（）求的面積.【解析】本題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導公式、三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識，主要考查基本運算能力（）

4、A、B、C為ABC的內(nèi)角，且，. （）由（）知， 又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面積.7.（2009江蘇卷）（本小題滿分14分） 設(shè)向量 （1）若與垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求證：. 【解析】 本小題主要考查向量的基本概念，同時考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運算和證明得基本能力。滿分14分。8.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx.(1) 求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期.(2) 設(shè)A,B,C為ABC的三個內(nèi)角，若cosB=，且C為銳角，求sinA.解: （1）f(x)=co

5、s(2x+)+sinx.=所以函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期. （2）=, 所以, 因為C為銳角, 所以,又因為在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以 .【命題立意】:本題主要考查三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形中的三角關(guān)系.9.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.(3) 求.的值;(4) 在ABC中,分別是角A,B,C的對邊,已知,求角C.解: （1） 因為函數(shù)f(x)在處取最小值，所以,由誘導公式知,因為,所以.所以 （2）因為,所以,因為角A為ABC的內(nèi)角,所以.又因為所以由正弦定理,得,也就是,因為,所以

6、或.當時,;當時,.【命題立意】:本題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì),并利用正弦定理解得三角形中的邊角.注意本題中的兩種情況都符合.10.（2009全國卷文）（本小題滿分12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，,，求B.解析：本題考查三角函數(shù)化簡及解三角形的能力，關(guān)鍵是注意角的范圍對角的三角函數(shù)值的制約，并利用正弦定理得到sinB=(負值舍掉)，從而求出B=。解：由 cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=, sinAsinC

7、=.又由=ac及正弦定理得21世紀教育網(wǎng) 故 ， 或 （舍去），于是 B= 或 B=.又由 知或所以 B=。11.（2009廣東卷理）(本小題滿分12分）已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解：（1）與互相垂直，則，即，代入得，又，.（2），則，.12.（2009安徽卷理）（本小題滿分12分）在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)設(shè)AC=，求ABC的面積.本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識，考查運算求解能力。本小題滿分12分解：（）由，且，ABC，又，（）如圖，由正弦定理得，又 13.（2009安徽卷文）（本小題滿分12分） 在

8、ABC中，C-A=， sinB=。（I）求sinA的值； (II)設(shè)AC=，求ABC的面積。【思路】（1）依據(jù)三角函數(shù)恒等變形可得關(guān)于的式子，這之中要運用到倍角公式；（2）應(yīng)用正弦定理可得出邊長，進而用面積公式可求出.【解析】（1） 21世紀教育網(wǎng) 又 （2）如圖，由正弦定理得. 21世紀教育網(wǎng) 14.（2009江西卷文）（本小題滿分12分）在中，所對的邊分別為，（1）求；（2）若，求,，解：（1）由 得 則有 = 得 即.（2） 由 推出 ；而,即得, 則有 解得 15.（2009江西卷理）（本小題滿分12分）中，所對的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求. 21世紀教育網(wǎng) 解：(1) 因為

9、，即，所以，即 ，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因為，則，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ，21世紀教育網(wǎng) 得16.（2009天津卷文）（本小題滿分12分）在中，（）求AB的值。（）求的值?！敬鸢浮?【解析】（1）解：在 中，根據(jù)正弦定理，于是（2）解：在 中，根據(jù)余弦定理，得于是=，從而【考點定位】本題主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函數(shù)的關(guān)系式，二倍角的正弦和余弦，兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力。17.（2009四川卷文）（本小題滿分12分）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值?！窘馕觥浚↖）為銳角， 6分（II）由（I）知，

10、 由得，即又 12分18.（2009全國卷理）（本小題滿分10分）設(shè)的內(nèi)角、的對邊長分別為、，求。分析：由，易想到先將代入得然后利用兩角和與差的余弦公式展開得；又由，利用正弦定理進行邊角互化，得，進而得.故。大部分考生做到這里忽略了檢驗，事實上，當時，由，進而得，矛盾，應(yīng)舍去。也可利用若則從而舍去。不過這種方法學生不易想到。評析：本小題考生得分易，但得滿分難。19.（2009湖南卷文）（每小題滿分12分） 已知向量（）若，求的值； （）若求的值。 解：（） 因為，所以于是，故（）由知，所以從而，即，于是.又由知，所以，或.因此，或 20.（2009福建卷理）（本小題滿分13分）如圖，某市擬在長

11、為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinx(A>0, >0) x0,4的圖象，且圖象的最高點為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P兩點間的距離；（II）應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長？ 18.本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，解法一（）依題意，有，又，。當 是， 又（）在MNP中MNP=120°，MP=5，設(shè)PMN=，

12、則0°<<60°由正弦定理得,故0°<<60°，當=30°時，折線段賽道MNP最長亦即，將PMN設(shè)計為30°時，折線段道MNP最長解法二：（）同解法一（）在MNP中，MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MNP=即故從而，即當且僅當時，折線段道MNP最長注：本題第（）問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計方式，還可以設(shè)計為：；點N在線段MP的垂直平分線上等21.（2009遼寧卷文）（本小題滿分12分）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的

13、塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點距離相等，然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到，1.414，2.449） （18）解： 在中，30°，60°30°， 又180°60°60°60°， 故CB是底邊AD的中垂線，所以BDBA 5分 在中， 即AB 因此， 故B、D的距離約為。 12分22.（2009遼寧卷理）（本小題滿分12分）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D

14、點的仰角分別為，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC=。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到，1.414，2.449） (17)解:在ABC中，DAC=30°, ADC=60°DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，        5分在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為。  12分23.（2009寧夏海南卷理

15、）（本小題滿分12分）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟。(17) 解：方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：A 點到M，N點的俯角；B點到M，N的俯角；A，B的距離 d （如圖所示） . .3分 第一步：計算AM . 由正弦定理； 第二步：計算AN . 由正弦定理； 第三步：計算MN. 由余弦定理 .方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有： A點到M，N點的俯角，；B點到M，N點的府角，；A

16、，B的距離 d （如圖所示）. 第一步：計算BM . 由正弦定理；第二步：計算BN . 由正弦定理； 第三步：計算MN . 由余弦定理24.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)（其中）的周期為，且圖象上一個最低點為. ()求的解析式；（）當，求的最值.解析:（1）由最低點為 由由點在圖像上得即所以故又，所以所以（）因為所以當時，即x=0時，f(x)取得最小值1；25.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分） 已知函數(shù)（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為.()求的解析式；（）當，求的值域. 17、解（1）由最低點為得A=2.由x軸上相鄰的兩個

17、交點之間的距離為得=，即，由點在圖像上的故 21世紀教育網(wǎng) 又（2）當=，即時，取得最大值2；當即時，取得最小值-1，故的值域為-1,2 21世紀教育網(wǎng) 26.（2009四川卷文）（本小題滿分12分）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。21世紀教育網(wǎng) 【解析】（I）為銳角， 6分（II）由（I）知， 由得，即又 21世紀教育網(wǎng) 12分27.（2009湖北卷文）（本小題滿分12分） 在銳角ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且()確定角C的大?。?（）若c,且ABC的面積為,求ab的值。解（1）由及正弦定理得， 21世紀教育網(wǎng) 是銳角三角形，（2）解法

18、1：由面積公式得由余弦定理得21世紀教育網(wǎng) 由變形得解法2：前同解法1，聯(lián)立、得消去b并整理得解得所以故 21世紀教育網(wǎng) 28.（2009寧夏海南卷文）（本小題滿分12分） 如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點進行測量，已知，于A處測得水深，于B處測得水深，于C處測得水深，求DEF的余弦值。 (17) 解：作交BE于N，交CF于M21世紀教育網(wǎng) ， ，6分 在中，由余弦定理，. 12分29.(2009湖南卷理)（本小題滿分12分）21世紀教育網(wǎng) 在，已知，求角A，B，C的大小。解：設(shè)由得，所以又因此 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，從而或，既或故或。30.（

19、2009天津卷理）（本小題滿分12分）在ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值： (II) 求sin的值 21世紀教育網(wǎng) 本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力。滿分12分。（）解：在ABC中，根據(jù)正弦定理， 于是AB=（）解：在ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA=于是 sinA= 從而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= 21世紀教育網(wǎng) 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=31.（2009四川卷理）（本小題滿分12分）在中，為

20、銳角，角所對應(yīng)的邊分別為，且（I）求的值； （II）若，求的值。本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識及基本運算能力。解：（）、為銳角，又，21世紀教育網(wǎng) ， 6分（）由（）知,. 21世紀教育網(wǎng) 由正弦定理得，即， ， ， 12分32.（2009福建卷文）（本小題滿分12分）21世紀教育網(wǎng) 已知函數(shù)其中， （I）若求的值； （）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)的解析式；并求最小正實數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個單位所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)。解法一：（I）由得 即又 21世紀教育網(wǎng) （）由（I）得， 依題意， 又故 函數(shù)的圖像向左平移個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為 是偶函數(shù)當且僅當 即 從而，最小正實數(shù)解法二：（I）同解法一（）由（I）得， 依題意， 2