高中數(shù)學(xué)輕松搞定排列組合難題二十一種方法10頁_百度文庫

1、1高考數(shù)學(xué)輕松搞定排列組合難題二十一種方法排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣,但題型多樣,思路靈活,因此解決排列組合問題,首先要認真 審題,弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題;其次要抓住問題的本質(zhì)特征,采用合 理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚?。教學(xué)目標1. 進一步理解和應(yīng)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理。2. 掌握解決排列組合問題的常用策略 ; 能運用解題策略解決簡單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問題分 析問題的能力3. 學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問題 . 復(fù)習(xí)鞏固1. 分類計數(shù)原理 (加法原理 完成一件事,有 n 類辦法,在第 1類辦法中有 1m 種不同的方法,在第 2類辦法中有 2m 種不同的方

2、 法,在第 n 類辦法中有 n m 種不同的方法,那么完成這件事共有: 種不同的方法.2. 分步計數(shù)原理(乘法原理完成一件事, 需要分成 n 個步驟, 做第 1步有 1m 種不同的方法, 做第 2步有 2m 種不同的方法, , 做第 n 步有 n m 種不同的方法,那么完成這件事共有: 種不同的方法.3. 分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立,任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數(shù)原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一個階段,不能完成整個事件. 解決排列組合綜合性問題的一般過程如下 : 1. 認真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事 , 即采取分步還是分類

3、 , 或是分步與分類同時進行 , 確定分多少步及多少 類。3. 確定每一步或每一類是排列問題 (有序 還是組合 (無序 問題 , 元素總數(shù)是多少及取出多少個元素 . 4. 解決排列組合綜合性問題,往往類與步交叉,因此必須掌握一些常用的解題策略 一 . 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例 1 由 0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù) .解 :由于末位和首位有特殊要求 , 應(yīng)該優(yōu)先安排 , 以免不合要求的元素占了這兩個位置 . 先排末位共有 13C 然后排首位共有 14C 最后排其它位置共有 34A 4432由分步計數(shù)原理得 113434288C C A =練習(xí)題 :7種不同的花種在

4、排成一列的花盆里 , 若兩種葵花不種在中間,也不種在兩端的花盆里,問有多少不同的種法?二 . 相鄰元素捆綁策略例 2 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰 , 共有多少種不同的排法 .解:可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素,同時丙丁也看成一個復(fù)合元素,再與其它元素進行排列,同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有 522522480A A A =種不同的排法 練習(xí)題 :某人射擊 8槍,命中 4槍, 4槍命中恰好有 3 槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20三 . 不相鄰問題插空策略例 3 一個晚會的節(jié)目有 4個舞蹈 ,2個相聲 ,3個獨唱 , 舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場 , 則節(jié)目

5、的出場順序有多少種? 解 :分兩步進行第一步排 2個相聲和 3個獨唱共有 55A 種,第二步將 4舞蹈插入第一步排好的 6個元素 中間包含首尾兩個空位共有種 46A 不同的方法 , 由分步計數(shù)原理 , 節(jié)目的不同順序共有 5456A A種練習(xí)題:某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個新節(jié)目 . 如果將這兩個 新節(jié)目插入原節(jié)目單中,且兩個新節(jié)目不相鄰,那么不同插法的種數(shù)為 30 四 . 定序問題倍縮空位插入策略例 4 7人排隊 , 其中甲乙丙 3人順序一定共有多少不同的排法解 :(倍縮法 對于某幾個元素順序一定的排列問題 , 可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列 , 然

6、后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù) , 則共有不同排法種數(shù)是:7373/A A(空位法 設(shè)想有 7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 47A 種方法, 其余的三個位置甲乙丙共有1種坐法,則共有 47A 種方法。思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎 ?(插入法 先排甲乙丙三個人 , 共有 1種排法 , 再把其余 4四人依次插入共有 方法3練習(xí)題 :10人身高各不相等 , 排成前后排,每排 5人 , 要求從左至右身高逐漸增加,共有多少排法?510C五 . 重排問題求冪策略例 5 把 6名實習(xí)生分配到 7個車間實習(xí) , 共有多少種不同的分法解 :完成此事共分六步 :把第一名實習(xí)生分配到車間有 7 種分

7、法 . 把第二名實習(xí)生分配到車間也有 7種分依此類推 , 由分步計數(shù)原理共有 67種不同的排法. 練習(xí)題:1. 某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單, 開演前又增加了兩個新節(jié)目 . 如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為 42 2. 某 8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人 , 他們到各自的一層下電梯 , 下電梯的方法 87六 . 環(huán)排問題線排策略例 6 8人圍桌而坐 , 共有多少種坐法 ?解:圍桌而坐與坐成一排的不同點在于,坐成圓形沒有首尾之分,所以固定一人 A ,并從此位置把圓形展成線段,其余 7人共有(8-1 !種排法即 7!A B C D E AH G F練習(xí)題:6顆顏

8、色不同的鉆石,可穿成幾種鉆石圈 120 七 . 多排問題直排策略例 7 8人排成前后兩排 , 每排 4人 , 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法解 :8人排前后兩排 , 相當(dāng)于 8人坐 8把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 個特殊元素有 24A 種 , 再排后 4個位置上的特殊元素丙有 14A 種 , 其余的 5人在 5個位置上任意排列有 55A 種 , 則共有 215445A A A 種前 排后 排允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象,元素不受位置的約束,可以逐一安排各個元素 的位置,一般地 n 不同的元素沒有限制地安排在 m 個位置上的排列數(shù)為 n m 種一般地 ,n 個

9、不同元素作圓形排列 , 共有 (n-1!種排法 . 如果從 n 個不同元素中取出 m 個元素作圓 形排列共有 1mn A n4練習(xí)題:有兩排座位,前排 11個座位,后排 12個座位,現(xiàn)安排 2人就座規(guī)定前排中間的 3個座位不能坐,并且這 2人不左右相鄰,那么不同排法的種數(shù)是 346八 . 排列組合混合問題先選后排策略例 8 有 5個不同的小球 , 裝入 4個不同的盒內(nèi) , 每盒至少裝一個球 , 共有多少不同的裝法 .解 :第一步從 5個球中選出 2個組成復(fù)合元共有 25C 種方法 . 再把 4個元素 (包含一個復(fù)合元素 裝 入 4個不同的盒內(nèi)有 44A 種方法,根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有

10、2454C A 練習(xí)題:一個班有 6名戰(zhàn)士 , 其中正副班長各 1人現(xiàn)從中選 4人完成四種不同的任務(wù) , 每人完成一種任務(wù) , 且正副班長有且只有 1人參加 , 則不同的選法有 192 種九 . 小集團問題先整體后局部策略例 9 用 1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾 1, 5在兩個奇數(shù)之間 , 這樣的五位數(shù)有多少個?解:把1, 5, 2, 4當(dāng)作一個小集團與3排隊共有 22A 種排法, 再排小集團內(nèi)部共有 2222A A 種排法,由分步計數(shù)原理共有 222222A A A 種排法 .練習(xí)題:1. 計劃展出 10幅不同的畫 , 其中 1幅水彩畫 , 4幅油畫 , 5幅

11、國畫 , 排成一行陳列 , 要求同一品種的必須連在一起,并且水彩畫不在兩端,那么共有陳列方式的種數(shù)為 254254A A A 2. 5男生和5女生站成一排照像 , 男生相鄰 , 女生也相鄰的排法有 255255A A A 種十 . 元素相同問題隔板策略例 10 有 10個運動員名額,分給 7個班,每班至少一個 , 有多少種分配方案?解:因為 10個名額沒有差別,把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板,可把名額分成7份,對應(yīng)地分給7個班級,每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有 69C 種分法。二 班 三 班 六 班 七 班一般地 , 元素分成多排的排列問題 , 可歸結(jié)

12、為一排考慮 , 再分段研 解決排列組合混合問題 , 先選后排是最基本的指導(dǎo)思想 . 此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎 ? 小集團排列問題中,先整體后局部,再結(jié)合其它策略進行處理。將 n 個相同的元素分成 m 份(n , m 為正整數(shù) , 每份至少一個元素 , 可以用 m-1塊隔板, 插入 n 個元素排成一排的 n-1個空隙中,所有分法數(shù)為 11m n C -5練習(xí)題:1. 10個相同的球裝 5個盒中 , 每盒至少一有多少裝法? 49C 2 .100x y z w +=求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 3103C十一 . 正難則反總體淘汰策略例 11 從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字

13、中取出三個數(shù),使其和為不小于 10的偶數(shù) , 不同的取法有多少種?解:這問題中如果直接求不小于 10的偶數(shù)很困難 , 可用總體淘汰法。 這十個數(shù)字中有 5個偶數(shù) 5個奇數(shù) , 所取的三個數(shù)含有 3個偶數(shù)的取法有 35C , 只含有 1個偶數(shù)的取法有 1255C C , 和為偶數(shù)的取法共有 123555C C C +。再淘汰和小于 10的偶數(shù)共 9種,符合條件的取法共有 1235559C C C +-練習(xí)題:我們班里有 43位同學(xué) , 從中任抽 5人 , 正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 ?十二 . 平均分組問題除法策略例 12 6本不同的書平均分成 3堆 , 每堆 2本共有多

14、少分法?解 : 分三步取書得 222642C C C 種方法 , 但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象 , 不妨記 6本書為 ABCDEF ,若第一步 取 AB, 第 二 步 取 CD, 第 三 步 取 EF 該 分 法 記 為 (AB,CD,EF,則 222642C C C 中 還 有(AB,EF,CD,(CD,AB,EF,(CD,EF,AB(EF,CD,AB,(EF,AB,CD共有 33A 種取法 ,而這些分法僅是 (AB,CD,EF一種分法 , 故共有 22236423/C C C A 種分法。練習(xí)題:1 將 13個球隊分成 3組 , 一組 5個隊 , 其它兩組 4個隊 , 有多少分法?(54421

15、3842/C C C A 2.10名學(xué)生分成 3組 , 其中一組 4人 , 另兩組 3人但正副班長不能分在同一組 , 有多少種不同的 分組方法 (15403. 某校高二年級共有六個班級,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入 4名學(xué)生,要安排到該年級的兩個班級且每班安 排 2名,則不同的安排方案種數(shù)為 _(22224262/90C C A A =十三 . 合理分類與分步策略例 13 在一次演唱會上共 10名演員 , 其中 8人能能唱歌 ,5人會跳舞 , 現(xiàn)要演出一個 2人唱歌 2人伴舞的節(jié)目 , 有多少選派方法有些排列組合問題 , 正面直接考慮比較復(fù)雜 , 而它的反面往往比較簡捷 , 可以先求出 它的反面 , 再從整

16、體中淘汰 . 平均分成的組 , 不管它們的順序如何 , 都是一種情況 , 所以分組后要一定要除以 n n A (n 為均分的 組數(shù) 避免重復(fù)計數(shù)。解：10 演員中有 5 人只會唱歌，2 人只會跳舞 3 人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究 只會唱的 5 人中沒有人選上唱歌人員共有 C 3 C 3 種,只會唱的 5 人中只有 1 人選上唱歌人員 C 5 C 3 C 4 種,只會唱的 5 人中只有 2 人選上唱歌人員有 C 5 C 5 種，由分類計數(shù)原理共有 C 3 C 3 + C 5 C 3 C 4 + C 5 C 5 種。 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 解含有約束

17、條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做 到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。 練習(xí)題： 1.從 4 名男生和 3 名女生中選出 4 人參加某個座 談會，若這 4 人中必須既有男生又有女生，則不 同的選法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 號船最多乘 3 人, 2 號船最多乘 2 人,3 號船只能乘 1 人,他們?nèi)芜x 2 只船 或 3 只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這 3 人共有多少乘船方法. （27） 本題還有如下分類標準： *以 3 個全能演員是否選上唱歌人員為標準 *以 3 個全能演員是否選上跳舞人員

18、為標準 *以只會跳舞的 2 人是否選上跳舞人員為標準 都可經(jīng)得到正確結(jié)果 十四.構(gòu)造模型策略 例 14 馬路上有編號為 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3 盞,但不能關(guān)掉相鄰的 2 盞或 3 盞,也不能關(guān)掉兩端的 2 盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在 6 盞亮燈的 5 個空隙中插入 3 個不亮的燈有 C 5 種 一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒 模型等，可使問題直觀解決 練習(xí)題： 某排共有 10 個座位， 4 人就坐， 若 每人左右兩邊都有空位， 那么不同的坐法有多少種？ （12

19、0） 十五.實際操作窮舉策略 例 15 設(shè)有編號 1,2,3,4,5 的五個球和編號 1,2,3,4,5 的五個盒子,現(xiàn)將 5 個球投入這五個盒子內(nèi), 要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法 解：從 5 個球中取出 2 個與盒子對號有 C 5 種還剩下 3 球 3 盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如 果剩下 3,4,5 號球, 3,4,5 號盒 3 號球裝 4 號盒時，則 4,5 號球有只有 1 種裝法，同理 3 號 球裝 5 號盒時,4,5 號球有也只有 1 種裝法,由分步計數(shù)原理有 2C 5 種 2 2 3 5 3 號盒 3 4 號盒 4 5 號盒 對于條

20、件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收 到意想不到的結(jié)果 6 練習(xí)題： 1.同一寢室 4 人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡， 則四張賀年卡不同的 分配方式有多少種？ (9 2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有 4 種可選顏色,則不同的著色方法有 72 種 1 3 2 5 4 十六. 分解與合成策略 例 16 30030 能被多少個不同的偶數(shù)整除 分析：先把 30030 分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依題意可知偶因數(shù)必先取 2,再從其余

21、 5 個因數(shù)中任取若干個組成乘積， 所有的偶因數(shù)為： C 5 + C 5 + C 5 + C 5 + C 5 1 2 3 4 5 練習(xí):正方體的 8 個頂點可連成多少對異面直線 解：我們先從 8 個頂點中任取 4 個頂點構(gòu)成四體共有體共 C 8 - 12 = 58 ,每個四面體有 4 3 對異面直線,正方體中的 8 個頂點可連成 3 ´ 58 = 174 對異面直線 分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題 逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到 問題的答案 ,每個比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策

22、略 十七.化歸策略 例 17 25 人排成 5×5 方陣,現(xiàn)從中選 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？ 解： 將這個問題退化成 9 人排成 3×3 方陣,現(xiàn)從中選 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列, 有多少選法.這樣每行必有 1 人從其中的一行中選取 1 人后,把這人所在的行列都劃掉，如 此繼續(xù)下去.從 3×3 方隊中選 3 人的方法有 C 3 C 2 C1 種。 再從 5×5 方陣選出 3×3 方陣便可 解決問題.從 5×5 方隊中選取 3 行 3 列有 C 5 C 5 選法所以從 5

23、5;5 方陣選不在同一行也不在 同一列的 3 人有 C 5 C 5 C 3 C 2 C1 選法。 處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡 要的問題， 通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法， 從而進下一步解決原來的問題 3 3 1 1 1 3 3 1 1 1 練習(xí)題:某城市的街區(qū)由 12 個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從 A 走到 B 的最短路徑有多少 種？( C 7 = 35 3 7 B A 十八.數(shù)字排序問題查字典策略 例 18 由 0，1，2，3，4，5 六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比 324105 大的數(shù)？ 解: N = 2 A5 + 2 A4 + A3 + A 2 + A1 = 297 5 4 3 2 1 數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法 應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求 的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。 練習(xí):用 0,1,2,3,4,5 這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第 71 個數(shù) 是 3140 十九.樹圖策略 例 19 3 人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過 5 次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同 N = 10 的傳球方式有_ 對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用 公式進行運算，樹圖會收到意想