高中數(shù)學第四章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入4.2復數(shù)的四則運算知識導航北師大版選修1-2講義

1、2.2 復數(shù)的乘法與除法自主整理1. 復數(shù)的加法、減法運算:(a+bi±(c+di=_.2. 復數(shù)的乘法運算:(a+bi(c+di=_.3. 兩個復數(shù)的實部相等, 虛部互為相反數(shù)時, 這兩個復數(shù)叫作互為_,用_表示.4. 設(shè)z=a+bi,則z =_,zz =_.5. 滿足(c+di(x+yi=a+bi的復數(shù)x+yi叫作_,記作_或_.高手筆記1. 復數(shù)的加、減、乘、除運算后, 所得的結(jié)果仍為復數(shù).2. 復數(shù)的加、減、乘法運算與多項式的運算類似.3. 復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律, 即對任何z 1、z 2、z 3C 有z 1·z2=z2·z1,

2、(z1·z2·z3=z1·(z2·z3,z 1(z2+z3=z1z 2+z1z 3.在復數(shù)范圍內(nèi), 實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立, 即對任意復數(shù)z 、z 1、z 2和正整m n m+nm n mn n n n 數(shù)m 、n 有z ·z=z,(z =z,(z1z 2 =z1·z2.4. 若z=z,則z 為實數(shù); 若z+z=0(z0,則z 為純虛數(shù).5. 根據(jù)復數(shù)所滿足的運算律, 可知i 4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,(1+i=2i,(1-i=-2i,221+i =i, 1-i231-i 122=-

3、i.若設(shè)=-+i, 則1+=0,=, =, =1. 221+i名師解惑理解復數(shù)的除法運算的轉(zhuǎn)化.剖析:復數(shù)的除法是復數(shù)乘法的逆運算, 但每次都按乘法的逆運算將十分麻煩. 我們可以用簡便方法操作:先把兩個復數(shù)相除寫成分式形式, 然后把分子與分母都同乘分母的共軛復數(shù), 使分母“實數(shù)化”,最后再化簡. 復數(shù)的除法與分母“有理化”的方法相類似. 學習時, 注意培養(yǎng)這種轉(zhuǎn)化的思想和類比思想.講練互動【例1】計算(6+6i+(3-i-(5-3i.分析:利用復數(shù)加、減法法則進行計算.解:(6+6i+(3-i-(5-3i=(6+3-5+(6-1+3i=4+8i.綠色通道復數(shù)的加、減法運算, 就是把實部與實部、

4、虛部與虛部分別相加減, 實部與實部相加減作實部、虛部與虛部相加減作虛部.變式訓練1. 已知z 1=2+i,z2=1+2i,則復數(shù)z=z2-z 1對應(yīng)的點位于( A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B【例2】已知x 、yR , 且x y 5=+, 求x 、y 的值. 1+i 1+2i 1+3i分析:復數(shù)通分太麻煩, 可將每個分母的復數(shù)化為實數(shù), 再進行計算.解:x y 5=+可寫成 1+i 1+2i 1+3ix (1-i y (1-2i 5(1-3i +=, 25105x(1-i+2y(1-2i=5-15i,(5x+2y-(5x+4yi=5-15i,5x +2y =5

5、,5x +4y =15.x =-1, y =5. 綠色通道本題為復數(shù)的除法運算, 將每個分式的分母同乘分母的共軛復數(shù), 再由復數(shù)相等的定義, 轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程組.變式訓練2. 求4-3i 4+3i +的值. 4+3i 4-3i(4-3i 2+(4+3i 214解:原式=. 2525【例3】計算i 2 006+(2+2i -(8250 . 1-i2分析:利用i 的冪的周期性,(1±i=±2i便可簡便地求出結(jié)果.解:原式=i501×4+2+(4i-(4225 -2i=-1+256-i=255-i.綠色通道注意復數(shù)計算中常用的整體.變式訓練(-1+3i 33. 計算. (

6、1+i 61332(-+i 822解:原式=i. 8i 3(1+i 23【例4】設(shè)|z|=1且z±i,證明z 是實數(shù). 1+z 2分析:(1z為復數(shù)可設(shè)出z=x+yi(x、yR , 再進行運算、判斷;(2由|z|=1轉(zhuǎn)為z z =1,即1z =z , 進一步化簡.證法一:設(shè)z=x+yi(x、yR . 則z x +yi x +yi (x +yi (1+1+z 2=1+(x +yi 2=1+x 2-y 2+2xyi =x 2-y 2-2xyi (1+x 2-y 2 2+4x 2y 2 x (1+x 2-y 2 +2xy 2-2x 2yi +y (1+x 2=-y 2 i(1+x 2-y

7、2 2+4x 2y 2 =(x +x 3+xy 2 +(y -x 2y -y 3 i(1+x 2-y 2 2+4x 2y 2.|z|=1,x2+y2=1.y-x 2y-y 3=y(1-x2-y 2=0. z1+z 2=2x (1+x 2-y 2 +4x 2y 2R . 證法二:|z|=1,zz =1.1z =z . z 111+z 2=1=.+z z +zz設(shè)z=a+bi,則z+z =2aR . z1+z 2為實數(shù).變式訓練4. 已知x 、y 為共軛復數(shù), 且(x+y2-3xyi=4-6i,求x 、y 及|x|+|y|. 解:設(shè)x=a+bi,則y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2.(x+y2-3xyi=4-6i,4a2-3(a2+b2i=4-6i.4a 2=4,a +b =-6.-3(22a 2=1,b 2=1.a =1, a =1, a =-1, ab =1