長為2L的輕桿豎直地立在光滑地面上

1、動力學1、長為2L的輕桿豎直地立在光滑地面上，桿上固定著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B ，A與B 、B與地面的距離均為L 。現(xiàn)給它們一個輕微的擾動，使桿沿順時針方向倒下。不計一切阻力，并設(shè)桿與地面始終保持接觸，試求A球運動的軌跡方程。2、一輛郵車以u = 10m/s的速度沿平直公路勻速行駛，在離公路d = 處有一郵遞員，當他與郵車的連線和公路的夾角= arctg時沿直線勻速奔跑。試問：（1）如果他的速度大小v = /s ，他應朝什么方向跑，才能與郵車相遇？（2）如果速度v大小不限定，他可以選擇的v的最小值是多少？3、在豎直平面內(nèi)建立圖示直角坐標，在坐標系中有光滑的拋物線軌道，軌道對應方程y = A

2、x2 。軌道的頂點O處有一小球，受輕微擾動后無初速沿軌道右方滑下。試問：小球是否會中途脫離軌道？4、與水平面成角的鋼絲兩端固定，其上套有一質(zhì)量為m1的小環(huán)，小環(huán)借助一根輕繩與質(zhì)量為m2的小球相連。不計一切摩擦，試問：（1）當環(huán)和球的系統(tǒng)從鉛直位置開始釋放時，繩子的內(nèi)張力多大？（2）繩子與鉛直方向成多大角度開始釋放時，可以確保系統(tǒng)滑動時不會發(fā)生擺動？5、質(zhì)量為m 、傾角分別為和的雙斜面體放在水平面上，另有質(zhì)量分別為m1和m2的滑塊通過輕滑輪跨過雙斜面（兩邊的繩子和斜面平行）。不計一切摩擦，靜止釋放整個系統(tǒng)，試求雙斜面體的加速度。7、某質(zhì)點從傾角為的斜面上的O點，沿一光滑斜槽OA靜止開始下滑，要使

3、它達斜面時所用的時間極短，問斜槽應該與豎直方向成多大的角度。8、輕繩的一端連接于天花板上A點，繩上距A點為a處系有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點B ，繩的另一端跨過C處的定滑輪（滑輪的質(zhì)量可以忽略，C與A在同一水平線上）。某人握住繩的自由端，以恒定的速率v收繩。當繩收至圖示位置時（B兩邊的繩與水平線夾角分別為和），求右邊繩子的張力。9、汽車重量為G ，其重心離前輪（軸所在的豎直線）和后輪（軸所在的豎直線）分別為l1和l2（l2l1），重心離地面的高度為h 。試求：汽車以多大加速度a前進時，其前、后輪對地面的壓力相等？10、均質(zhì)半圓形金屬拱架ACB ，圓心在O點，質(zhì)量M = 1000kg ，A端與地面的鉸鏈

4、相連，B端擱在滾珠上?，F(xiàn)有一質(zhì)量m = 500kg的物體從頂點C無摩擦滑下，當它滑到D點時（已知COD = 30°），試求A、B兩處對拱架的作用力。11、頂桿AB可在豎直滑槽K內(nèi)滑動，其下端由凸輪推動，凸輪繞O軸以勻角速度轉(zhuǎn)動，在圖示的瞬間，OA = r ，凸輪上櫞與A點接觸處法線n與OA之間的夾角為，試求此時頂桿AB的速度。12、如圖所示，質(zhì)量為M的圓形滑塊平放在桌面上，一輕繩跨過滑塊后，兩端各掛一個質(zhì)量分別為m1和m2的物體，兩物體通過平行的繩子懸垂在桌面外邊。不計所有摩擦，試求圓形滑塊的加速度。13、10個相同的扁木塊一個緊挨一個放在水平地面上，每個木塊的質(zhì)量m = 、長度l

5、= 、與地面的摩擦系數(shù)1 ，它們原來都靜止。另有一質(zhì)量為M = 的小鉛塊，與木塊的摩擦系數(shù)2 = 0.20 ，以v0 = /s的水平初速度沖上左邊的第一個木塊。忽略鉛塊的大小，試問：鉛塊最終會停在哪一個木塊上？14、在半徑為R的水平轉(zhuǎn)臺邊緣放一質(zhì)量為m的物塊，當轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)速增大到n0（即每秒n00時，細繩的拉力T為多大？（2）轉(zhuǎn)速為多大時，兩物塊會在轉(zhuǎn)臺上滑動？15、用細桿把質(zhì)量為M的圓環(huán)固定起來，其頂部套有兩個質(zhì)量均為m的小環(huán)，它們之間無摩擦?，F(xiàn)給兩小環(huán)一個微小擾動，令兩小環(huán)分別從左、右兩邊下滑（不計初速）。試討論：m和M滿足何關(guān)系時，大環(huán)有上升或下降的趨勢。16、在光滑水平面上放一個質(zhì)量為M

6、3的平板，板上放一個質(zhì)量為M2的、傾角為的斜面體，斜面上另有一個質(zhì)量為M1的長方體。已知M1和M2之間的摩擦系數(shù)為1 ，M2和M3之間的摩擦系數(shù)為2 ?，F(xiàn)有一水平恒力F作用在M3上，試問：F為多大時，三物可以保持相對靜止？提示與答案1、提示：整體質(zhì)心無水平位移。建右圖所示的坐標，并引入?yún)?shù) ，然后消去即可。答案： + = 1 ，軌跡為橢圓。2、提示（1）對圖示的灰色三角形用正弦定理，有 = 得 = arcsin（2）以為未知，看v（）函數(shù) v = 顯然 vmin = usin答案：（1）與公路夾角 = arctg + arcsin°°°）；（2）/s 。3、提示在

7、小球未脫離軌道時，設(shè)一個一般的末態(tài)P ：其坐標為（x ，y）、對應該點的軌跡切線傾角為 ，如右圖。則P點的速率用能量關(guān)系可求v = = x但拋物線在P點得切線斜率為 k = tg = 2Ax考查vx = vcos = ，可見，隨x的增加，vx單調(diào)增加，而vx的增加必以軌道支持力（水平分量）存在為前提。答案：否。評說：此題較偏，且作為動力學考試題，只考查了運動學知識。4、提示（1）在該瞬時，球體m2的加速度a2方向只會豎直向下。環(huán)和球的隔離方程、加速度約束方程為，解出張力T即可。（2）毋須列隔離方程?！安粩[動”意味著m1和m2有共同加速度a ，由它們的整體方程得 a = gsin ，再看m2時，

8、必須垂直的方向。答案：（1）；（2） 。5、提示此題的關(guān)鍵在于加速度矢量分析（詳細過程見講義，這里只是思路提示），相關(guān)結(jié)論：a1n = asina2n = asina1 acos = a2 acos列m1和m2之n向、向方程后可解得： N1 = m1（gcos asin） N2 = m2（g cos + asin） T = g（sin + sin）+ a（cos cos）最后列m之隔離方程 N1sin + T cos T cos N2sin = ma 即可解出a（但化簡工作至為艱苦，要有充分耐心）答案：g7、提示：針對右圖中的三角形，用正弦定理，有 = ，即 S = 而 a = gcos ，t

9、2 = 解（三角函數(shù)積化和差處理），得t2 = 答案：=。8、提示本題考查圓周運動動力學 。參見下圖，為求法向加速度an1和an2 ，先看切向速度 v1 = = ，v2 = vtg = vctg（+），即有 an1 = ，an2 = 。左邊動力學方程：T1 mgsin T2cos（+）= m an1 左邊動力學方程：T2 mgsin T1cos（+）= m an2 約束方程： = 解，經(jīng)艱苦化簡后，得T2的表達式答案：mg + 。9、提示：非慣性系中的轉(zhuǎn)動平衡，慣性力F*需補充運算過程比較簡單。答案：g 。10、提示CD過程能量守恒 m = mgR（1cos30°）在D位置動力學方程

10、 mg cos30°ND = m 從這兩式可以解得：ND = mg對拱架，以A為轉(zhuǎn)軸 M = 0（注意B處只能提供豎直向上的作用力），即 NB2R = MgR + NDRcos cos30°，這樣NB就解決了。解NA還得對拱架用Fx = 0和Fy = 0 ，即 NAx = NDx = NDsin30°= 1495N NAy = Mg + NDyNB = 6295N 最后 NA = ，NA和豎直方向夾角 = arctg 。°斜向上；B處作用力大小約6295N ，方向豎直向上。11、提示：牛頓第二定律是相對慣性系的定律！m2相對非慣性系m1有加速度（向上），

11、m1相對慣性系O有加速度（向上），故m2相對慣性系O有加速度a絕 = a相 + a牽 = + 答案：m2g + m2（ + ）。12、提示微元法分析（參加右圖） a = 隔離方程三個 ，聯(lián)立求解即可。答案：g 。13、提示初始上木塊后，木塊不會動；設(shè)滑上第n塊時開始動，有 2Mg 1Mg + 1（10 n + 1）mg 得 n 8.5（即第9塊開始滑動）M滑上第9塊時， = 2（2g）8l ，得 = 2.49（m/s）2而第9、第10塊（整體）的加速度 a2m = = /s2 （向右）M相對這個“整體”的相對加速度 a相 = aM + a2m = /s2 （向左） 假定M能夠發(fā)生大小為l的相對

12、位移，并設(shè)末態(tài)相對速度為v相 ，有 = + 2（a相0 ，說明上面的假定成立，M能夠滑過第9塊木塊！但在第10塊上 a相 ，而 ，相對位移必小于l ，故不能滑過第10塊。答案：第10塊上。14、提示（1）轉(zhuǎn)速n0時，對m ：fm = mR = 42mR 0時，對外圈m ，T用來補償應增加的向心力（假定內(nèi)圈m未被T拉動），故 T + fm = m2mR 解2mR fm（說明上面的假定成立）（2）臨界情況為內(nèi)圈m有最大的滑動趨勢，此時 對內(nèi)m： fmT= m 42 對外m： T+ fm = m 42R 解式即可。2mR ；（2）n0 。15、提示參照下頁圖，設(shè)小環(huán)滑到方位角時的瞬時速度為v 。隔離

13、右環(huán)，解得：N = mg（23cos） 要大環(huán)有上升的趨勢，須滿足 2Ncos Mg 解得大環(huán)上升的條件 討論：再討論：將聯(lián)立后得不等式 6mcos2 4mcos + M 0 ，其解為 cos （式的物理意義“昭然若揭”?。┐鸢福寒攎 M時，大環(huán)只有下降趨勢；當m = M時，大環(huán)在唯一位置（ = arccos）有上升趨勢，其它位置均只有下降趨勢；當m M時，大環(huán)在一個范圍內(nèi)（這范圍由決定）有上升趨勢，其它位置則有下降趨勢。16、提示設(shè)M1與M2之間的最大靜摩擦角為1 ，M2與M3之間的最大靜摩擦角為2 。隔離M1 ，易得M1與M2能維持相對靜止的共同加速度范圍是gtg（1），gtg（ +1）；但看M2 、M3的接觸，M3可能“提供”給M1和M2整體的加速度范圍是0，gtg2討論：、若1 ，第一范圍實為0，gtg（ +1） a 、又若 +1 2 ，a取0，gtg2，F(xiàn)取0，Mgtg2； b 、又若 +1 2 ，a取0，gtg（ +1），F(xiàn)取0，Mgtg（ +1）；、若1 ，第一范圍取原范圍。 c 、另若