一階RC電路分析

1、3.3 RC電路的響應經(jīng)典法分析電路的暫態(tài)過程，就是根據(jù)激勵通過求解電路的微分方程以得出電路的響應。激勵和響應都是時間的函數(shù)所以這種分析又叫時域分析。3.3.1 RC電路的零輸入響應零輸入響應-無電源激勵，輸入信號為零。在此條件下，由電容元件的初始狀態(tài)uC（0+）所產(chǎn)生的電路的響應。分析RC電路的零輸入響應，實際上就是分析它的放電過程。如圖3.3.1(RC串聯(lián)電路，電源電壓U0)。換路前，開關(guān)S合在位置2上，電源對電容充電。t=0時將開關(guān)從位置2合到位置1，使電路脫離電源，輸入信號為零。此時，電容已儲有能量，其上電壓的初始值uC（0+）=U0；于是電容經(jīng)過電阻R開始放電。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，

2、列出t0時的電路微分方程RCduC/dt+uC=0 3.3.1式中 i=CduC/dt令式 3.3.1的通解為 uC=Aept 代入3.3.1并消去公因子Aept得微分方程的特征方程 RCp+1=0 其根為p=-1/RC 于是式3.3.1的通解為 uC=Ae-1t/RC定積分常數(shù)A。根據(jù)換路定則，在t=0+時，uC（0+）=U0，則A=U0。所以 uC= U0e-1t/RC= U0 e-1/ - 3.3.3 其隨時間變化的曲線如圖3.3.2所示。它的初始值為U0，按指數(shù)規(guī)律衰減而趨于零。式3.3.3中，=RC 它具有時間的量綱，所以稱電路時間常數(shù)。決定uC衰減的快慢。當t=時， uC= U0e

3、-1=U0/2.718=36.8%U0 可見等于電壓uC衰減到初始值U0的36.8%所需的時間。可以用數(shù)學證明，指數(shù)曲線上任意點的次切距的長度都等于。以初始點為例圖3.3.2（a）duC/dt=-U0/ 即過初始點的切線與橫軸相交于。從理論上講，電路只有經(jīng)過t=的時間才能達到穩(wěn)定。但是，由于指數(shù)曲線開始變化較快，而后逐漸緩慢，如下表所列23456e-1e-2e-3e-4e-5e-6o.3680.1350.0500.0180.0070.002所以，實際上經(jīng)過t=5的時間，就足以認為達到穩(wěn)態(tài)了。這時uC=U0e-5=0.007 U0=（0.7%）U0越大，uC衰減的越慢（電容放電越慢）如圖3.3.

4、3所示。因為在一定初始電壓下，電容越大，則儲存的電荷越多；而電阻越大，則放電電流越小。這都促使放電變慢。因此，改變R或C的數(shù)值，也就是改變電路的時間常數(shù)，就可以改變電容放電的快慢。 至于t0時電容的放電電流和電阻上的電壓，也可求出即i=CduC/dt=-U0e-t/R； uR=Ri=-U0 e-t/上兩式負號表示放電電流的實際方向與圖3.3.1中所選定的參考方向相反。所求uC ，uR及i隨時間變化的曲線畫在一起，如圖3.3.2（b）所示。例3.3.1電路如圖所示，開關(guān)S閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時，將開關(guān)閉合，試求t0時電壓uC和電流iC、i1及i2。3.3.2 RC電路的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響

5、應-換路前電容元件未儲能，uC（0-）=0。在此條件下，由電源激勵所產(chǎn)生的電路的響應。 分析零狀態(tài)響應實際上是分析它的充電過程。圖3.3.5為RC串聯(lián)電路。在t=0時將開關(guān)S合上，電路即與一恒定電壓為U的電壓源接通，對電容開始充電。此時實為輸入一階躍電壓u，如圖3.3.6（a）所示。它與恒定電壓圖3.3.6（b）不同，其表示式為 0 t0u= U t0根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列出t0時電路中電壓和電流的微分方程U=Ri+uC=RCduC/dt+uC -3.3.7 式中 i=CduC/dt式3.3.7的通解有兩個部分：一個是特解uC，一個是補函數(shù)uC，即 uC= uC+ uC=U+Ae-t/RC在

6、t=0時，uC（0+）=0，則積分常數(shù)A=-U。所以電容兩端的電壓uC= U- Ue-t/RC= U（1-e-t/RC）= U（1- e-t/）所求電壓uC隨時間變化的曲線如圖3.3.7所示。uC不隨時間變化，uC按指數(shù)規(guī)律衰減而趨于零。因此，電壓uC按指數(shù)規(guī)律隨時間增長而趨于穩(wěn)態(tài)值。當t=時，uC= U（1- e-1）= U（1- 1/2.718）= U（1- 0.368）=（63.2%）U從電路的角度來看，暫態(tài)過程中電容兩端的電壓uC可視為由兩個分量相加而得：其一是uC，即到達穩(wěn)態(tài)時的電壓，稱穩(wěn)態(tài)分量，它的變化規(guī)律和大小都與電源電壓U有關(guān)；其二是uC，僅存在于暫態(tài)過程中，稱為暫態(tài)分量，它的

7、變化規(guī)律與電源電壓無關(guān)，總是按指數(shù)規(guī)律衰減，但是它的大小與電源電壓有關(guān)。當電路中儲能元件的能量增長到某一穩(wěn)態(tài)值或衰減到某一穩(wěn)態(tài)值或零值時，電路的暫態(tài)過程隨即終止，暫態(tài)分量也趨于零（在上面所討論的RC電路的零輸入響應中，穩(wěn)態(tài)分量為零值）。至于t0時電容充電電路中的電流，也可求出，即i=CduC/dt=Ue-t/R 由此R上的電壓 uR=Ri=Ue-t/uC, uR及i的變化曲線如圖3.3.8所示。綜上所述，可將計算線性電路暫態(tài)過程的步驟歸納如下：（1） 按換路后的電路列出微分方程；（2） 求微分方程的解，即穩(wěn)態(tài)分量；（3） 求微分方程的補函數(shù)，即暫態(tài)分量；（4） 按照換路定則確定暫態(tài)過程的初始值

8、，從而定出積分常數(shù)。分析較為復雜的電路的暫態(tài)過程時，也可以應用戴維寧定理或諾頓定理將換路后的電路化簡為一個簡單電路（如圖3.3.5），而后利用由上述經(jīng)典法所得出的式子。例3.3.2如圖所示的電路中，U=9V，R1=6k，R2=3 k，C=1000pF,uC（0）=0。試求t0時的電壓uC。 解：略3.3.3 RC電路的全響應全響應-電源激勵和電容元件的 等效電路初始狀態(tài)uC（0+）均不為零時電路的響應。也就是零輸入與零狀態(tài)響應兩者的疊加。在圖3.3.5的電路中，階躍激勵的幅值為U，uC（0-）=U0。t0時的電路的微分方程和式3.3.7相同，也由此得出uC= uC+ uC=U+Ae-t/RC但

9、積分常數(shù)A與零狀態(tài)時不同。在t=0+時，uC（0+）= U0，則A= U0- U所以 uC= U+（U0- U）e-t/RC -3.3.11 改寫為 uC= U0 e-t/+ U（1- e-t/）顯然 右邊第一項為零輸入響應；第二項即零狀態(tài)響應；有全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應這是疊加原理在電路暫態(tài)分析中的體現(xiàn)。求全響應時，可把電容的初始狀態(tài)uC（0+）看作一種電源。uC（0+）和電源激勵分別作用時所得的零輸入和零狀態(tài)響應疊加即為全響應。式3.3.11右邊也有兩項：為穩(wěn)態(tài)分量；為暫態(tài)分量；于是全響應也可表示為： 全響應=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量求出后，就可得出 i=CduC/dt, uR=Ri 例3.3.3在圖3.3.10中，