數(shù)值積分與微分典

1、第12章 數(shù)值積分與微分典 型問題解析考試知識點：代數(shù)精度、梯形公式、復(fù)化梯形公式、拋物線公式、復(fù)化拋物線公式、科茨系數(shù)、科茨公式、高斯勒讓德求積公式（兩點）、數(shù)值微分（兩點公式）（1821%）考試題型：選擇題、填空題、計算題、證明題。學習要點：代數(shù)精度、科茨系數(shù)、梯形公式、拋物線公式、科茨公式、高斯勒讓德求積公式、數(shù)值微分。典型問題解析：1. m次代數(shù)精度求積公式 對于任意不超過m次的代數(shù)多項式都準確成立, 而至少有一個m+1次代數(shù)多項式不成立, 稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。例1 試確定求積公式中的參數(shù)a，并證明該求積公式具有三次代數(shù)精度依定義，對xk(k=0,1,2,3,)，找公式精確成

2、立的k數(shù)值解 令f(x)=1，有,即h=h令f(x)=x時，有,即再令f(x)=x2，得到,即 得. 求積公式為令f(x)=x3代入求積公式，有 ，即再令f(x)=x4代入上公式中，有 所以該求積公式具有三次代數(shù)精度2. 牛頓科茨求積公式 其中Ak= (k=0,1,2,n)是牛頓科茨求積公式的系數(shù)， (k=0,1,2,n)，稱為科茨系數(shù)?？拼南禂?shù)的性質(zhì)：歸一性，（歸一性）對稱性(k=0,1,n)（對稱性）牛頓科茨求積公式的截斷誤差 Rn(x)= n 常見牛頓科茨求積公式（3個） 梯形公式（將區(qū)間a,b分成n=1等分） 復(fù)化梯形公式（將區(qū)間a,b分成n等分） () 拋物線公式 （將區(qū)間a,b分成

3、n=2等分）復(fù)化拋物線公式（將區(qū)間a,b分成n=2m等分） 其中(, n=2m) 科茨公式（將區(qū)間a,b分成n=4等分） 例2 將區(qū)間1,98等分，試用復(fù)化梯形公式求積分的近似值，計算過程中保留3位小數(shù)解 計算列表 k 0 1 1.000 1 2 2.646 2 3 3.606 3 4 4.359 4 5 5.000 5 6 5.568 6 7 6.083 7 8 6.557 8 9 7.000h=1, 用復(fù)化梯形公式 =37.819 例3取m=4，即n=8，用復(fù)化拋物線求積公式計算積分，計算過程保留4位小數(shù)。解n=8，h=(12-0)/8=0.15，f(x)=ln(1+x2)，計算列表kxk

4、f(xk)=ln(1+xk2)端點奇數(shù)號偶數(shù)號00.00010.150.022320.300.086230.450.184440.600.307550.750.446360.900.593371.050.743181.200.89201.39610.98700.8920代入復(fù)化拋物線求積公式例4 證明拋物線公式 證明：把區(qū)間a,b兩等分，令(b-a)/2=h，則所以，即。3. 高斯勒讓德求積公式高斯求積公式：有n+1節(jié)點的求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，稱為高斯求積公式，其節(jié)點稱高斯點高斯勒讓德求積公式：高斯求積公式的高斯點為n階勒讓德多項式的零點，且只限于在區(qū)間1，1。其節(jié)點和系數(shù)可查表得到

5、一點的高斯勒讓德求積公式：兩點的高斯勒讓德求積公式：三點的高斯勒讓德求積公式：例5 用四個節(jié)點的高斯勒讓德求積公式計算定積分，計算過程保留4位小數(shù)解 高斯勒讓德求積公式只求積分區(qū)間為1,1上的積分問題需作變換，令，當x=1時，t=1;當x=0時，t=1于是， 例6已知勒讓德多項式，證明兩點(n=2)的高斯勒讓德求積公式為證明：當n=2時，勒讓德多項式為令，得兩個高斯點，構(gòu)造求積公式 由代數(shù)精度的定義，上式對精確成立，有解得，得到求積公式4. 微分公式 (1)等距節(jié)點兩點求導(dǎo)公式：()(2)等距節(jié)點三點求導(dǎo)公式 (k=1,2,n1)例7 P136-1解 兩點求導(dǎo)公式為因h=0.2，取x0=2.5， x1=2.7, x2=2.9, y0=12.1825, y1=14.8797, y2=18.1741,對于x0, x1兩點，有對于x1, x2兩點有故例8 用三點公式計算在x=1.0,1.1,1.2處的導(dǎo)數(shù)值.已知函數(shù)值f(1.0)=0.250 000, f(1.1)=0.226757, f(1.2)=0.206 612解 三點導(dǎo)數(shù)公式為