勾股定理畢達(dá)哥拉斯定理及各種證明方法

1、勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）勾股定理是一個(gè)初等幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一， 也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。 勾股定理 是余弦定理的一 個(gè)特例。勾股定理約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的 定理之一?！肮慈伤南椅濉笔枪垂啥ɡ碜罨镜墓?。勾股數(shù)組方程a2 + b2= c2的正整數(shù)組（a, b, c）。（3,4,5）就是勾股數(shù)。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c,那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理命題1如果直角三角形 的兩條直角邊長分別為a, b,斜邊長為c,那么於+ X二F

2、。勾股定理的逆定理命題2如果三角形的三邊長a, b，c滿足. '，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！咀C法1】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面1積等于丄ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.2/ Rt DAHB Rt ABE,. / HDA = / EAB./ / HAD + / HAD = 90o,. / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2./ EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90o. EFGH是一個(gè)邊長為ba的正方形，它的面積等于 （

3、T.2 I "u .【證法2】（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c,再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.d*-4-A9-|-4x +4x即21,整理得'.【證法3】（1876年美國總統(tǒng) Garfield 證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于:把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B三點(diǎn)在一條直線上./ Rt EAD也 Rt CBE,. / ADE = / BEC./ / AED

4、 + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于足丄.又T / DAE = 90o, / EBC = 90o, AD/ BC；.ABCD是 一個(gè)直角梯形，它的面積等于【趣聞】：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國華盛頓的郊外， 有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只

5、見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形。于是伽菲爾德便問他們?cè)诟墒裁?？只見那個(gè)小男孩頭也不抬地說：“請(qǐng)問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長為多少呢？ ”伽菲爾德答到：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為 5和7,那么這個(gè)直角三角形的斜邊長又是多少？ ”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理， 并給出了簡潔的證明方法。

6、1876年4月1日伽菲爾德在新英格蘭教育 日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！泵娣e的一半,矩形ADLM的面積.同理可證，矩形 MLEB的面積二獷.正方形ADEB勺面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB勺面積【證法5】（利用相似三角形性質(zhì)證明）AB如圖，在Rt ABC中，設(shè)直角邊 AG BC的長度分別為a、b,斜邊 的長為c,過點(diǎn)C作CDLAB 垂足是 D.在 ADC和 ACB中,/ / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC 二 ADCs ACB

7、. AD： AC = AC : AB 即 dL 同理可證， CDBs ACB從而有 曲=血«AB閱，即【證法6】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 工*.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G D三點(diǎn)在一條直線上./ Rt HAE也 Rt EBF,. / AHE = / BEF./ / AEH + / AHE = 900, / AEH + / BEF = 900. / HEF = 180o90o= 90o.四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的正方形.它的面積等于c2./

8、Rt GDHB Rt HAE. / HGD = / EHA./ / HGD + / GHD = 90o, / EHA + / GHD = 90o.又 / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于 +*）3 .卜比"7 .齊宀寸【證法7】（利用切割線定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b，斜邊 AB = c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于 D、E,貝U BD = BE = BC = a.因?yàn)? BCA = 90o,點(diǎn) C在OB上， 所以AC是O B的切線.由切割線定理，得=（彳甘+蛀X仙一也A =卜+卿釈一4 =扌-tf".南-十 MT仙+【證法8】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明） 在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC =