定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法

1、定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法摘要：定積分是微積分學(xué)中的一個(gè)重要組成部分 ,其計(jì)算方法和技巧非常 豐富。本文主要給出定積分的定義及討論定積分的性質(zhì)和計(jì)算方法，并通過(guò)一些很有代表性的例題說(shuō)明了其計(jì)算方法在簡(jiǎn)化定積分計(jì)算中的強(qiáng)大功能。關(guān)鍵詞:定積分 性質(zhì) 計(jì)算方法定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b上連續(xù)，將區(qū)間a,b分成n個(gè)子區(qū)間x,xi, (x 1,x 2, (x 2,x 3,(x n-1 ,x n，其中Xo=a, Xn = b?？芍鲄^(qū)間的長(zhǎng)度依次是： Xl=Xl-Xo, X2=X2-Xl, Xn=Xn-Xn-1。在每個(gè)子區(qū)間 (X i-1 ,X i 中任取一點(diǎn) in(1,2,.,n),作和式送

2、 f(Axi。設(shè) 入=maxAXi, X2, Xn(即入是i呂最大的區(qū)間長(zhǎng)度)，則當(dāng)入一0時(shí)，該和式無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做 函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b的定積分，記為： f(x)dx。弋a(chǎn)其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間a, b叫做積分區(qū)間，函數(shù) f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，/叫做積分號(hào)。對(duì)于定積分，有這樣一個(gè)重要問(wèn)題：函數(shù)f (X)在a,b上滿足怎樣的條件，f(x)在a,b上一定可積？下面給出兩個(gè)充分條件：定理1：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積。定理2：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則 f(

3、x)在a,b上可積。1例：利用定義計(jì)算定積分0x2dx.解：因?yàn)楸环e函數(shù)f(x)=x2在積分區(qū)間0,1上連續(xù)，而連續(xù)函數(shù) 是可積的，所以積分與區(qū)間0,1的分法及點(diǎn)i的取法無(wú)關(guān)。因此，為了 便于計(jì)算，不妨把區(qū)間0,1分成n等份，分點(diǎn)為刃，i=1,2,，n-1;這樣，n1每個(gè)小區(qū)間Xi _1,X的長(zhǎng)度：x-,i =12，n;取Xi , i =12，n。于是，得 n合式i -1i -1)(2 n1)(1)(2當(dāng) 0即n:時(shí)，取上式右端的極限.由定積分的定義，即得所要計(jì)算的 積分為1n1111x2dx 二 lim 2 滬 lim (1 )(2)二0my X 廠 6 n n 3定積分的性質(zhì)f(x)dx

4、= O1、Lfxdx=-fx)dx,a b3、常數(shù)可以提到積分號(hào)前I kf(x) rfx = Jt I f(x)dx hjff4、代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和|/(x)(r)rfx =f(x)dx5、定積分的可加性：如果積分區(qū)間 a,b被c分為兩個(gè)子區(qū)間a,c與c,b則有f(x)dx =廠bI /(x)rfx又由于性質(zhì)2，若f(X)在區(qū)間D上可積，區(qū)間D中任意c (可以不在區(qū)間a,b上)滿足 條件6、如果在區(qū)間a,b上f (x)三1，則bb1dx dx二 b-aaa7、如果在區(qū)間a,b上，f(x)則,bf(xdx 0t在(a，b)內(nèi)使8、積分中值定理：設(shè) f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)

5、f f(xdx = (b-a)f(t)9、設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則bm(b - a) f (x)dx M(b - a)a微積分基本公式定理1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)x叫x)af(t)dt在a,b上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)d x:(x)f(t)dt 二 f (x),(a乞 x乞 b)dxa這個(gè)定理指出了一個(gè)重要結(jié)論：連續(xù)函數(shù)f (x)去變上限x的定積分然后求導(dǎo), 其結(jié)果還原為f (x)本身.聯(lián)想到原函數(shù)的定義，就可以從定理1推知: (x)是連續(xù) 函數(shù)f (x)的一個(gè)原函數(shù).定理2:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)xG(x)二.

6、f(t)dta就是f (x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù).這個(gè)定理的重要意義是：一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.定理3:如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則ba f (x)dx= F(b)- F(a)這也是牛頓(Newton)-萊布尼茨(Leibniz )公式，它進(jìn)一步揭示了定積 分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系.它表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分等于它的任一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量.這就給定積分提 供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，大大簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算手續(xù)1例：計(jì)算上述用定義求的定積分 x2

7、dx.3解：由于-是X2的一個(gè)原函數(shù)，所以按牛頓-萊布尼茨公式，有3x2dx= X 11303定積分的計(jì)算方法一、幾何意義法利用定積分的幾何意義是指曲邊梯形的面積，只要作出圖形就可求出.例：求定積分：j ,1 一打dx的值.解： J 才 d* =丁4 x2 dx ，而J4_x2 ) d x表示圓x2 y4在第一、二象限的上半圓的面積.因?yàn)镾半圓=2二，又在x軸上方，所以注：利用定積分的幾何意義解題，被積函數(shù)圖形易畫(huà)，面積較易求出、換元法定理：假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，函數(shù)xV(t)滿足條件:1、 ()y ()二 b；2、(t)在：(或，：)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域 RJa,b，則有r

8、 f (x)dx= / f (t)F(t)dta例:計(jì)算 4 x 2_dx.一 2x_1解:設(shè) 2x 1 =t ,t2 -1,dx 二 tdt,且2當(dāng)x =0時(shí),t =1 ;當(dāng) x =4時(shí)，t =3.于是02x 11 3 2 1 (t 3)dt1 t “3t2 31 27 c92 X 3t tdt卜宙3=手注意：在應(yīng)用時(shí)必須注意變換(t)應(yīng)滿足定理的條件，在改變積分變量的同時(shí)相應(yīng)改變積分限，然后對(duì)新變量積分.三、性質(zhì)法(奇偶性)1、若f(x)在-a,a上連續(xù)且為偶函數(shù)，則aaf (x)dx = 2 f(x)dx-a02、若f(x)在-a,a上連續(xù)且為奇函數(shù)，則a! f(x)dx = 0-a例：求定積分.4二tan xdx.一4解：由被積函數(shù)tanx是奇函數(shù)，所以在對(duì)稱區(qū)間的積分值為零即 4 ta nxdx=0.四、分部積分法設(shè)u=u(x), V =v(x)均在區(qū)間a,b上可導(dǎo)，且u, v R (a,b),則有分部積分公式vufdx例:1計(jì)算 jarcsinxdx.解:12arcsinxdx- xarcsinxl0舟x dx0 v1 - x2結(jié)論1、計(jì)算1一 +2.6亙112 2f