定積分解析幾何微分方程提高訓(xùn)練題

1、積分，解析幾何，微分方程練習(xí)題、填空題:X2 A.設(shè) f (x)連續(xù)，且 f(t)dt=x,則 f(7) =1設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)=x+2J0f(t)dt，則f(x) =X1 函數(shù)F (x)二j(2 )dt(X 0)的單調(diào)減少區(qū)間為L(zhǎng) 1不dx x2x cost 2dt 二dx : sin(x t)dt-be idx = 1 xln2x o 2x -x2dx =(8) 由曲線y = lnx與兩直線y =e，1-x及y = 0所圍成的平面圖形的面積是 。(9) 微分方程科-酉斜二的通解為.(10) y -4y =“ 的通解為.(11) 設(shè)y=ex(C1Sinx C2COSx)(CC2

2、為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，則該方程為 .(12) 微分方程yy“+y 0滿足初始條件y|x出=1 , y；出專 的特解是.(13) 微分方程 yytanx =cosx的通解為 y二.(14) 微分方程 燈 =0的通解為 .x = -t 2(15) 過點(diǎn)M (1,2, T)且與直線 y =3t -4垂直的平面方程是 .z =t -1x1 v2z3x+2 v1 z(16) 已知兩條直線的方程是L1：, L2 :，則過L1且平行10-1 2 11于L2的平面方程是.x = 1Ix1 v 亠2 z 亠1(17) 與兩直線 y -1 t及都平行且過原點(diǎn)的平面方程為 。I121z =

3、 2 t(18) 設(shè)(a b ) c = 2，則(a b ) (b c ) ( c a )=(19) 設(shè)一平面經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)(6, -3,2)，且與平面 4x -y 2z = 8垂直，則此平面方程為.二、選擇題：(1)設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則【】8 / 5(A)(B)(C)當(dāng) f(x)當(dāng)f (x)是偶函數(shù)時(shí)，當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí)，(D)(A)(C)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)；F (x)必是奇函數(shù)；F (x)必是周期函數(shù)；F(x)必是單調(diào)增函數(shù).x二t 0 f (tx )dx，其中t . 0,s0，則I的值【】(B)依賴于S、t和x ；(D)當(dāng)f(x)是單調(diào)增函

4、數(shù)時(shí),設(shè)f (x)為已知連續(xù)函數(shù)，依賴于s和t ；依賴于t、x，不依賴于ssin x設(shè) f(x) = .sin12dt ,g(x) =x3 x4，則當(dāng)依賴于s，不依賴于t。x ” 0時(shí)，f (x)是g(x)的【】(A)(C)(A)(C)(A)則【】同階但非等價(jià)無窮小 低階無窮小.等價(jià)無窮??；高階無窮??；(D)2 2 2 2 2雙紐線(x y ) =x -y所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為【n2 0 cos2d 二；nJ02 Jcos2d 日;若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)二(B)ex In 2 ；(B) e2x In 2 ；n設(shè) M = i2n sin： cos4xdx,N = i2n(

5、sin3x 、三1 +x2(A) N : P : M ；(B)(7)設(shè)f(X)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),F (x)與x 是同階無窮小，則(A)1;(B)n(B)02cos2rdr；1 n(D)02(cos22d 2x tf (-)dt In 2，則f(x)等于【】-0 2(C)xe In 2 ；cos4x)dx, PN : M : P ；X 22x . 小(D) e In 2 .n=2n(x2sin3xcos4x)dxM : P : N ；(C)f(0) =0,f (0)=0, F(x)= 0(xk等于(D) P : M : N .-t2)f (t)dt，且當(dāng) x 0 時(shí),2；(C)3;(8)設(shè)在區(qū)間a,

6、b上 f (x)0,f (x) y2、y3都是二階非齊次線性方程y p(x)y， q(x)y = f (x)的解，Ci，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是【(A)(C)(13)Ciyi C2y2 y3 ；C iyi C 2y2 -(1 -C 1 -C2)y設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，且(B)3(D)n xF(x)二 * f (t)dtC iyi C 2y _ (C 1 C2)y3 ；C iyi C 2y2 (仁 Ci -C 2)y3 .，則F (x)等于【】(A)(C)(B) -ef(e) f(x);(D) ef(e)f (x).ef (e) -f (x); e十(ej -f(x)；x -1

7、y5 z 8丄x _y = 6 nrt(14)設(shè)有直線Li與L2 :，則Li與L2的夾角為1 -2 12y z = 3冗冗冗冗(A)(B)；(C)；(D).6432x 3y 2z 1=0(15)設(shè)有直線L :及平面 n： 4x -2y +z -2=0，則直線L2xy - 10z 3=0(A)平行于n;(B)在n上；(C)垂直于n；(D)與n相交.三、xex求(1)【】_e_1dx ；. dxsin 2x2sin xarctanexdx.esin n sin 也求limnn nsin_nn 1 n n 12n四、設(shè)y二f(x)是區(qū)間0,1上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).(1)試證明存在(0,1)，使得在區(qū)

8、間0,x。上以f(x。)為高的矩形面積，等于在區(qū)間x0,1上以y =f(x)為曲邊的梯形面積.(2)又設(shè)f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x) -空，證明(1 )中的X。是唯一的.xx五、設(shè) f (x) =sinx - (x -t)f (t)dt，其中 f 為連續(xù)函數(shù)，求 f (x).六、設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)有f(x)0，證明：在(a,b)內(nèi)存在唯 一的，使曲線y = f (x)與兩直線y二f( J,x二a所圍成圖形的面積 S1是曲線y =f(x)與兩直 線y =f( ),x二b所圍成圖形面積S2的3倍。七、證明方程In x = x ! ： 1 -cos2

9、xdx在區(qū)間(0,內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根.xexdx . (2)求 dx ； (3)求Vex -1sin2x+2sinxdxe 01 ln(1 x)八、(1)求20 (2 x)1 +xx 蘭 03設(shè) f(x) = */，求 L f(x2)dx.e , x a0,111f (x)f(xt)dt,且im-=A(A 為常數(shù))，求(X)并討論(x)在九、設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且3 2f(x)dx =f (0)，證明在(0,1)內(nèi) 存在一點(diǎn)c ,使f (c) = 0 十、設(shè)f(x)連續(xù)，(x)x =0處的連續(xù)性.曲線y = f (x)上點(diǎn)(x,f (x)處的切線在y軸上的

10、截距等于1 xf(t)dt，求 f(x)的一般表達(dá)式.x 0nn十二、設(shè)函數(shù) f(x)在0, n 上連續(xù)，且 f (x)dx = 0,. f (x)cosxdx = 0，試證在(0, u)內(nèi) 至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使f ( J =f2) =0 .十三、(1)已知點(diǎn)A與B的直角坐標(biāo)分別為(1,0,0)與(0,1,1).線段AB繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成 的旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由S及兩平面z =0,z =1所圍成的立體的體積.(2)求心形線r =a(1 cos)的全長(zhǎng)，其中a 0是常數(shù).arcta nx .2十四、已知兩曲線y =f(x)與y = e dt在點(diǎn)(0,0)處的切線相同，寫出此切線方程， 并求極限

11、lim nf (2).nn十五、從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度y (從海增面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在 下沉過程中還受到阻力和浮力的作用設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海水比重為?，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k(k 0) 試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) =y(v).十六、(1) 求微分方程y 6y (9 a2)y = 1的通解，其中常數(shù)a 0 o(2) 求微分方程y 4y 4y二e z的通解(一般解).(3) 求微分方程 丫 酉- =ex的通解.(4) 求微分方程x2 xy

12、=y2滿足初始條件y 1x = 1的特解十七、在上半平面求一長(zhǎng)條向上凹的曲線，其上任一點(diǎn)P(x,y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線PO長(zhǎng)度的倒數(shù)(Q是法線與x軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸平行.十八、設(shè)曲線L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)3 3 記為A.已知| MA|=|OA|,且L過點(diǎn) 岸，求L的方程.12 2丿十九、 在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N，在t =0時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為 x0，在任意時(shí)刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為 x(t)(將x(t)視為連續(xù)可微變量)，其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k 0 ,求 x(t).二十、設(shè)函數(shù)y(x)(x _0)二階可導(dǎo)，且y(x) .0,y(0)