構(gòu)建新數(shù)列巧解遞推數(shù)列競(jìng)賽題

1、. . . . 構(gòu)建新數(shù)列巧解遞推數(shù)列競(jìng)賽題梁新潮（新昌中學(xué) 312500）石美英（新昌教師進(jìn)修學(xué)校 312500）遞推數(shù)列是國(guó)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的“熱點(diǎn)”之一，由于題目靈活多變，答題難度較大。本文利用構(gòu)建新數(shù)列的統(tǒng)一方法解答此類問題，基本思路是根據(jù)題設(shè)提供的信息，構(gòu)建新的數(shù)列，建立新數(shù)列與原數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間的關(guān)系，然后通過研究新數(shù)列達(dá)到問題解決之目的。其中，怎樣構(gòu)造新數(shù)列是答題關(guān)鍵。1 求通項(xiàng)求通項(xiàng)是遞推數(shù)列競(jìng)賽題的常見題型，這類問題可通過構(gòu)建新數(shù)列進(jìn)行代換，使遞推關(guān)系式簡(jiǎn)化，這樣就把原數(shù)列變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列和線性數(shù)列等容易處理的數(shù)列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。例1、數(shù)列

2、中，。求。（1981年第22屆IMO預(yù)選題）分析 本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡(jiǎn)變形。解：構(gòu)建新數(shù)列，使則 ， ，即化簡(jiǎn)得 ，即 數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 即 2證明不等式這類題一般先通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，然后證明不等式或者對(duì)遞推關(guān)系式先進(jìn)行巧妙變形后再構(gòu)建新數(shù)列，然后根據(jù)已經(jīng)簡(jiǎn)化的新數(shù)列滿足的關(guān)系式證明不等式。例2、設(shè)，求證：。（1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 利用待證的不等式中含有與遞推關(guān)系式中含有這兩個(gè)信息，考慮進(jìn)行三角代換，構(gòu)建新數(shù)列，使，化簡(jiǎn)遞推關(guān)系式。證明：易知，構(gòu)建新數(shù)列，使，則 ，又 ， ，從而

3、因此，新數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列?？紤]到當(dāng)時(shí)，有 。所以，注：對(duì)型如 ，都可采用三角代換。3 證明是整數(shù)這類題把遞推數(shù)列與數(shù)論知識(shí)結(jié)合在一起，我們可以根據(jù)題目中的信息，構(gòu)建新數(shù)列，找到新的遞推關(guān)系式直接解決，或者再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合數(shù)論知識(shí)解決。例3、設(shè)數(shù)列滿足，求證：。（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2001年第8期第53頁，高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題）分析 直接令，轉(zhuǎn)化為證明證明：構(gòu)建新數(shù)列，令則 ，代入 整理得從而 于是 由已知，由上式可知，依次類推，即。例4、設(shè)r為正整數(shù)，定義數(shù)列如下：， 求證：。（1992年中國(guó)臺(tái)北數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 把條件變形為比較與 前的系數(shù)與與 的足碼，考慮到另一項(xiàng)為，等

4、式兩邊同乘以，容易想到構(gòu)新數(shù)列，使。證明：由已知得構(gòu)建新數(shù)列，則，又 | | ，從而 。4 解決整除問題一般通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，再結(jié)合數(shù)論知識(shí)解決，也可用數(shù)學(xué)歸納法直接證明。例5、設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)一切，有，求所有被11整除的的一切n值。（1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 變形遞推關(guān)系式為，就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。解：由已知構(gòu)建新數(shù)列則，從而，當(dāng)時(shí)，由于被11整除，因而也被11整除。所以，所求n值為，8，與的一切自然數(shù)。5 證明是完全平方數(shù)這類題初看似乎難以入手，但如能通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，問題也就迎刃而解了。例6、設(shè)數(shù)列和滿足，且求證：是完全平方數(shù)。（2000年全國(guó)高中聯(lián)賽加試題）分析 先用代入法消去和，得，如果等式中沒有常數(shù)項(xiàng)6，就可以利用特征根方法求通項(xiàng)，因此可令，易求得。證明：由式得， 代入得化為構(gòu)建新數(shù)列，且，由特征方程 得兩根，所以 當(dāng)，1時(shí)，有解得：則 則因?yàn)?為正偶數(shù)，所以，是完全平方數(shù)。從上述各題構(gòu)建新數(shù)列的過程中，可以看出對(duì)題設(shè)中遞推式的觀察、分析，并據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)