放縮法的應用技巧Word版

1、放縮法的應用技巧放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學命題的熱點和難點。所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對不等式的局部進行合理的放大和縮小從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化，其難度在于放縮的合理和適度。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性。為了幫助更多的學生突破這一難點，我們從以下幾個方面對放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略進行分析。一、常見的放縮方法證題中經(jīng)常用到的放縮方法法有：1.“添舍”放縮：對不等式一邊添項或舍項以達到放大和縮小的效果；2.分式放縮：分別放縮分式的分子、分母或者同時放縮分子分母以達到放縮的效果；3.利用重要的不等式或結(jié)論放縮：把欲證不等式變形構(gòu)造，然

2、后利用已知的公式或恒不等式進行放縮，例如均值不等式、柯西不等式、絕對值不等式、二項式定理、貝努力公式、真分數(shù)性質(zhì)定理等。4.單調(diào)性放縮：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關系進行放縮。二、常見的放縮控制當我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會在放縮的過程中不知不覺間失控，導致放縮的過大或過小，達不到欲證的目標。那么如何控制好放縮的尺度呢？例1求證：分析1：不等式左邊不能直接求和，我們希望通過合適的放縮后可以求和。若采取“ ”的方法向右端放大，則左邊很明顯，放得有點大了，導致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。那怎么辦呢？【1】 調(diào)整放縮的“量”的大

3、小分析2：分析1中“放”的有點過大，因為所以可以通過調(diào)整放大的“量”來控制放縮的效果。在分母減少了n，我們可以把分母只減少1，即這樣放的量就少了。證明1：左邊<1+=1+<1+=【2】 調(diào)整放縮的“項”的起點分析3：分析1中從第二項開始放縮，放的最終有點大?？梢哉{(diào)整放縮的項數(shù)，從第三項開始放縮。證明2：左邊 由此可見，調(diào)整成功。顯然從第三項開始放縮所得的結(jié)果比從第二項開始放縮所得的結(jié)果又更小些。以此類推，當放縮的項數(shù)越少，放縮后的結(jié)果就會越來越精細，越來越逼近目標。除此之外，還可以調(diào)整放縮的次數(shù)，通過多次放縮的調(diào)整來達到效果；有時也可以根據(jù)欲證式子的結(jié)構(gòu)特點，把相鄰的項分組捆綁后進

4、行放縮，也可以達到控制放縮合理和尺度的效果。三、常見的問題類型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關，所以可以通過放縮后求和(或求和后放縮)來達到欲證的目標。下面我們通過幾道典型例題來體會常見問題的處理手法。一. 放縮與“公式法求和”選擇恰當?shù)姆趴s方法，通過“通項”的適度放縮使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，從而求和達到簡化證題的目的。例2，求證：證明：因為， ，即說明：分別利用“添舍項”和“均值不等式”把通項放縮為等差數(shù)列，然后求和得證。例3求證：證明：因為 說明：把分母適當變小，實現(xiàn)分式的放大，把通項放縮為等比數(shù)列，然后方便求和。例4已知，證明：證明：通項，不等式右邊得證。，不等式左邊得證。說明：不等式兩

5、端的結(jié)構(gòu)特點是本題證明的突破口，利用“添舍項”把通項放縮為與有關的形式，然后求和證明。其中不等式左邊的放縮方法有數(shù)種，值得體會研究。二. 放縮與“裂項法求和”在例1中，不等式的左邊無法求和，但通過放縮產(chǎn)生裂項相消的求和效果后，使問題解決。例2的右邊也是利用放縮產(chǎn)生了裂項的效果，然后求和。下面我們再通過幾道例題的證明體會裂項求和效果的運用。例5.求證：證明：說明：例1分式、例5根式的放縮后裂項相消求和的處理手法是很多靈活題目的原型，值得體會。例6.已知證明：證明：，（） （） 說明：對通項利用“分離變量”化簡至（）處是本題的關鍵，根據(jù)式子中各項的符號以及分母的冪指數(shù)決定放縮為（）的形式，以實現(xiàn)“

6、相消”求和的效果。例7.已知求證：證明：，由已知可得 說明：對通項結(jié)構(gòu)特點的分析，決定對已知等式的右邊進行因式分解取倒數(shù)。然后再裂項、移項變形就是很自然的想法了。三. 放縮與“并項法求和”例8.已知證明：分析：通項中含有 ，捆綁并為一項，然后結(jié)合n的奇偶性進行適度的放縮。證明：當n為奇數(shù)時， 即當n為奇數(shù)時，且當m為偶數(shù)且m>4時： =當m為奇數(shù)且m>4時：為偶數(shù)，綜上可知，對于任意整數(shù)m>4，都有例9.求證分析：觀察分母的變化規(guī)律，把若干項“捆綁”并為一項后進行放縮，然后求和就很容易實現(xiàn)欲證的目標。證明：左邊=四利用遞推關系式放縮利用遞推關系式本身蘊含的不等關系或放縮產(chǎn)生的

7、不等關系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。例10.已知求證：分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點，通過遞推關系式構(gòu)造關于的不等式，然后實現(xiàn)對通項的放縮。證明： 例11.已知，證明：分析：通過對的適度放縮產(chǎn)生關于的不等遞推關系式，然后謀求對的放縮，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。證明：， ，左邊五構(gòu)造和數(shù)列后進行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進行放縮處理。例12.已知，正數(shù)列滿足 證明：分析：根據(jù)已知構(gòu)造關于的遞推關系式，然后利用“累加法”把不等式的左邊轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式。證明：， ， ， 例13. 已知函數(shù)，定義數(shù)列:,，若，證明:對任意都有:.分析：利用遞推式構(gòu)造關于的不等式，利用“絕對值不等式”把放縮為和數(shù)列的形式證明： 由得, ， 當時,對, 上面介紹的數(shù)列不等式主要與“求和”的形式有關。如果不等式的一邊與求和沒有直接的關系，也可以辨析題目的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法進行處理，譬如“構(gòu)造單調(diào)數(shù)列”放縮；構(gòu)造“二項式”展開后放縮；對不等式的局部換元，然后再謀求放縮等。限于篇幅，本文就