排列組合的主要題型及解答方法,DOC

1、僅供個人學習參考、相鄰問題捆綁法例 16 名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（）種A.720B.360C.240D.120解：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人捆在一起視作一人，與其余四人進行全排列有種排法；甲、乙兩人之間有-種排法。由分步計數(shù)原理可知，共有：亠=240 種不同排法，選 Co評注：從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是在解決對于某幾個元素相鄰的問題時，可 yy I整體考慮將相鄰元素視作一個“大”元素。X-* - I /_二、相離問題插空法I I / /例 2 要排一張有 6 個歌唱節(jié)目和 4 個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，有 多少不

2、同的排法?（只要求寫出式子，不必計算）解：先將 6 個歌唱節(jié)目排好，其不同的排法為種;這 6 個歌唱節(jié)目的空隙及兩端共 7 個位置 中再排 4個舞蹈節(jié)目，有種排法。由分步計數(shù)原理可知，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為I-八：種。評注：從解題過程可以看出，不相鄰問題是要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開。 此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。三、定序問題縮倍法L例 3 信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號?，F(xiàn)有3 面紅旗、2 面白旗，把這 5 面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是_ （用數(shù)字作答）。解：5 面旗全排列有 種掛

3、法，由于 3 面紅旗與 2 面白旗的分別全排列均只能算作一次的掛法，故共有不同的信號種數(shù)是八J=10（種）。評法：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題。這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷。僅供個人學習參考四、標號排位問題分步法例 4 同室 4 人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡的分配方式有（?）種A.6 種 B.9 種 C.11 種 D.23 種解：此題可以看成是將數(shù)字 1, 2, 3, 4 填入標號為 1, 2, 3, 4 的四個方格里，每格填一個數(shù)，且每個方格的標號與所填數(shù)不同的填法問題。所以先將 1 填入 2 至 4 號

4、的 3 個方格里有種填法;第二步把被填入方格的對應數(shù)字，填入其它3 個方格，又有 種填法；第三步將余下的兩個數(shù)字填入余下的兩格中，只有 1 種填法。故共有 3X3X仁 9 種填法，而選 Bo.JF/jr*、評注：把元素排在指定號碼的位置上稱為標號排位問題。求解這類問題可先把某個元素按規(guī)定排放，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成。f -1 -_ _五、有序分配問題逐分法例 5 有甲、乙、丙三項任務，甲需由2 人承擔，乙、丙各需由 1 人承擔，從 10 人中選派 4 人承擔這三項任務，不同的選法共有（）種A.1260B.2025C.2520D.5040解：先從 10 人中選出 2 人

5、承擔甲項任務，再從剩下 8 人中選 1 人承擔乙項任務，最后從剩下7 人中選 1 人承擔丙項任務。根據(jù)分步計數(shù)原理可知，不同的選法共有1 =2520 種，故選Co評注：有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步下量分組法求解。六、多元問題分類法例 6 由數(shù)字 0, 1, 2, 3, 4, 5 組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A.210 個 B.300 個 C.464 個 D.600 個解：按題意個位數(shù)只可能是 0, 1, 2, 3, 4 共 5 種情況，符合題意的分別有IH, 個。合并總工有 +二僅供個人學習參考1=300（個），故選Bo評注：元素多，取出的

6、情況也多種，可按結(jié)果要求，分成互不相容的幾類情況分別計算，最后 總計另解：先排首位，不用 0，有*種方法；再同時排個位和十位，由于個位數(shù)字小于十位數(shù)字， 即順序固定，故有 1 種方法；最后排剩余三個位置，有 r 種排法。故共有符合要求的六位數(shù)=300（個）。七、交叉問題集合法例 7 從 6 名運動員中選出 4 名參加 4X100 米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共 有多少種不同的參賽方法？解:設全集 U=6 人中任取 4 人參賽的排列,A=甲跑第一棒的排列,B=乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式可得參賽方法共有caid（ll） - card（直）-亡 ard（E） + car

7、d（Ari E）直:-直:+ 掘=252（種）。評注：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)的公式：=card（A）+ card（B）-caid（A 來求解。八、定位問題優(yōu)限法例 8 計劃展出 10 幅不同的畫，其中 1 幅水彩畫、4 幅油畫、5 幅國畫，排成一行陳列，要求同 一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（）占 4 心上AA * A廠辻 5巴 2 匕*巴占A.豆 4 旦 dB.且 m 旦 4 耳 3且*豆 5J - I %1IT I廠一解：先把 3 種品種的畫看成整體，而水彩畫不能放在頭尾，故只能放在中間，則油畫與國畫有 八-種放法。再考慮

8、油畫之間與國畫之間又可以各自全排列。故總的排列的方法為:V 種，故 選 D。評注：所謂“優(yōu)限法”，即有限制條件的元素（或位置）在解題時優(yōu)先考慮。九、多排問題單排法僅供個人學習參考例 9 兩排座位，第一排有 3 個座位，第二排有 5 個座位，若 8 名學生入座（每人一座位），則不 同的坐法種數(shù)為（）A.：；： B.:C.D.:;解：此題分兩排坐，實質(zhì)上就是 8 個人坐在 8 個座位上，故有J 種坐法，所以選 D。評注：把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮。十、至少問題間接法例 10 從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機中任意取出 3 臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（）種I

9、A.140B.80C.70D.35解析：在被取出的 3 臺中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合題意，故符合題意的取法有、_廠一 =70 種，選 Co評注：含“至多”或“至少”的排列組合問題，通常用分類法。本題所用的解法是間接法，即 排除法（總體去雜），適用于反面情況明確且易于計算的情況。I Fs十一、選排問題先取后排法I例 11 四個不同的小球放入編號為 1，2，3，4 的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有種（用數(shù)字作答）。解：先從四個小球中取兩個放在一起，種不同的取法；再把取出的兩個小球與另外兩個小球Is-看作三堆，并分別放入四個盒子中的三個盒子中，有種不同的放法。依據(jù)分步計數(shù)原理，共

10、有種不同的方法。、 T評注：這是一道排列組合的混合應用題目， 這類問題的一般解法是先取（組合）后排（排列）。本題正確求解的關(guān)鍵是把四個小球中的兩個視為一個整體，如果考慮不周，就會出現(xiàn)重復和遺漏的錯誤。十二、部分符合條件淘汰法僅供個人學習參考例 12 四面體的頂點及各棱中點共有 10 個點，在其中取 4 個不共面的點，不同的取法共有（）A.150 種 B.147 種 C.144 種 D.141 種解：10 個點中取 4 個點共有；種取法，其中同一側(cè)面內(nèi)的 6 個點中任取 4 個點必共面，這樣 的面共有 4 個;又同一條棱上的 3 個點與對棱的中點也四點共面，共有 6 個面;再各棱中點共 6 個點C 器 _ 4CJ