傳遞函數(shù)模型與干預變量模型(很全)

1、傳遞函數(shù)模型與干預變量分析時間序列真的僅僅受本身滯后值影響嗎? 在單變量時間序列中, 我們 假設系統(tǒng)輸出僅僅受既往值和隨機干擾項的影響。但實際應用中,可能還 有其他與之相關的時間序列,那么如何將其它的變量引入時間序列模型是 一個值得討論的問題。設 t y 表示某種商品在一段時間的銷售額, 由于經(jīng)濟時間序列通常有記憶性, 可以用一個 ARMA 模型來描述其變化規(guī)律, 假定其變化規(guī)律的表達 式為10.46t t t y y -=+但是在許多實際情況下,銷售額不僅僅受自己滯后值 1t y -的影響,還會22受其它一些輸入變量的影響。我們考慮廣告費 t x ,廣告費對銷售額的影響不僅具有即期影響還具有

2、一定的滯后效應,假定其滯后的影響是一期,那 么在上式中就應加入廣告費的當期和滯后一期的值,如果廣告費的即期影 響效用是 0.55,滯后一期值對銷售額的影響效用是 0.60,則這個簡單的輸 出和輸入關系為如果上式是一個適應的模型,那么該模型 t 時刻的輸出由三個部分組 成,系統(tǒng) 1t -時刻的值 1t y -, , 1t t -時刻輸入的 t x 和 1t x -,以及與前兩部分相互33無關的隨機擾動項 t 。如果我們用后移算子 B ,可以將模型寫成+-。 這樣的模型有什么統(tǒng)計特征,又如何定階、估計和診斷呢?本講專門討論多維時間序列建模的相關問題,但是又與我們通常了解 的向量自回歸不同,這里一定

3、有一個自變量和若干個解釋變量。內容結構 為:首先引入了傳遞函數(shù)模型,并討論了傳遞函數(shù)模型和脈沖響應函數(shù)的 基本特征和性質,脈沖響應函數(shù)與互相關函數(shù)的關系以及傳遞函數(shù)模型的4 穩(wěn)定性。在此基礎上介紹了傳遞函數(shù)模型的識別、估計和診斷,并用通過 實例分析說明建模的過程。最后引入了干預變量,討論了干預變量建模的 理論和建模過程。第一節(jié) 傳遞函數(shù)模型的基本概念在以前幾章,我們討論了單變量時間序列分析的建模、估計和診斷有 關的問題。但是應用中常常會遇到一個時間序列當期的表現(xiàn),不僅受自己 過去的影響,還與另一個或者多個時間序列相關聯(lián),這種線性系統(tǒng)的輸出 變量與一個或多個輸入變量有關,描述這種動態(tài)系統(tǒng)的模型稱

4、為傳遞函數(shù) 45 模型。研究具有一個輸入變量的單輸出的線性系統(tǒng),如圖 1所示。 圖 1 動態(tài)系統(tǒng)圖示一、模型的形式566+=+- 是兩個變量的時間序列模+-傳遞到 輸出上,而隨機擾動項又通過算子 110.46B-疊加到輸出上,最終輸出 ty 。又比如傳遞函數(shù)的模型 3011t t t y B x B=+-,其含義是 3t x -對輸出 t y 的影響效用 是 0,而隨機擾動項 t 通過算子 11B-疊加到最終輸出 t y 中。傳遞函數(shù)模型的形式多種多樣,但是其構成的機理基本上是一致的。一般的傳遞函數(shù)形 式為77( ( ( (bt t t B B B y x E B B =+ (1其中 01(

5、s s B B B =-1( 1r r E B B B =-1( 1q q B B B =- 1( 1p p B B B =-( B 、 ( E B 、 ( B 、 ( B 為滯后算子 B 的多項式,其階數(shù)依次分別為 s 、r 、 q 及 p 。其中參數(shù) s 和 r 是 ( B 和 ( E B 的階數(shù),描述 t x 對 t y 影響。 q 和 p88是 ( B 和 ( B 的階數(shù), 描述隨機沖擊對 t y 的影響; b 稱為延遲參數(shù), 即 t x 的 b 期滯后值才開始對 t y 產(chǎn)生影響。 t 是隨機干擾項, 2(0, t iidN ,且與 t x 相互獨立。 ( (b B B E B 稱為

6、傳遞函數(shù),系統(tǒng)的形成機理可用圖 2表示。 99圖 2 一般傳遞函數(shù)模型的形成機理 多變量輸入傳遞函數(shù)模型的一般形式為t x10101( (jb kj t tj t j j B B B y x E B B =+當然這比一個輸入系統(tǒng)要復雜得多。二、脈沖相應函數(shù)特征由于傳遞函數(shù) ( (bB B E B 是由 B 的多項式構成, 所以對于傳遞函數(shù)的模型來說,只要確定其傳遞函數(shù)部分最重要三個參數(shù) s 、 r 和 b ,傳遞函數(shù)基本 情況就了解了。傳遞函數(shù)模型的特征與傳遞函數(shù)的三個參數(shù) s 、 r 和 b 密切 相關,為三者的判定提供了工具。 1111設傳遞函數(shù)為( ( (B E B B B V b=(2

7、由于 ( V B 是有理函數(shù), 從理論上講 ( V B 可以表示為是 B 的無窮高階多 項式2012( V B B B =+( V B 的系數(shù) (1,2,. j v j =稱為脈沖響應函數(shù)。 說明 t x 的過去值如何影響系統(tǒng) ty 的輸出。根據(jù)(2式,有2101201(1( ( r s b r s B B B B B B B -+=-1212或者21012(1( r r B B B B -+101( b b s b s B B B +=-再根據(jù)待定系數(shù)法,比如 常數(shù)項 v 0=0一次項 v 1- v01=0,則 v 1=0 二次項 v 2-1v 1-2v 0,則 v 2=0 類推有13131

8、12211220, 1, 2, , j j j r j r j b j j r j rj bv v v j b b b b s v v v j b s-<=+-=+>+ (3仔細觀察(3式會發(fā)現(xiàn)如下的規(guī)律:(1前 b 個脈沖函數(shù)值為零,即 010=-b v v ,可見我們可以由此來 定 b ;(2 當 , 1, 2, , j b b b b s =+時,脈沖響應函數(shù)有形式1121j j j r j r j b v v v v -=+-因為 j b -(,., j b b s =+是不同的參數(shù),無規(guī)律可循,所以這時的 s+11414個脈沖響應函數(shù)也無固定形式;(3由于 ( B 的階數(shù)

9、為 s ,所以 ( 0j b j s b ->+=,則有 j s b >+時1122j j j r j r v v v -=+這恰好是一個 r 階的差分方程, 可見當 j b s >+時的脈沖響應函數(shù)是該方 程的解, 所以當 1j b s +時脈沖響應函數(shù)呈指數(shù)衰減。 有 r 個初始響應函數(shù) 為 s b r s b r s b v +-+-+, , , 21 ,且 11211b s b s b s r b s r v v v +-+-=+。結合這 3點,我們可以得到三個參數(shù) s 、 r 和 b 的值。例如當前面的三 個脈沖相應函數(shù)均為零時,可以確定延遲參數(shù) b=3,如果有個

10、5個響應函 1515數(shù)無規(guī)律,那么 ( 15b s b +-+=,則 4s =。三、常見的傳遞函數(shù)的形式為了加深對脈響應函數(shù)的理解,我們討論幾個多項式階數(shù)不高的, 常見的傳遞函數(shù)的情形。1. 0r =的情形bs s s b s b b b B B B B v B v B B B ( (10332210-=+ 表 1 r =0情形的脈沖響應函數(shù)表 16162. 1r =的情形在這個情況下, 當 s=0時, 從 b 開始脈沖響應函數(shù)呈指數(shù)衰減; 當 s=1時,從 1+b 開始脈沖響應函數(shù)呈指數(shù)衰減;當 s=2時,從 2+b 開始脈沖響應 1717函數(shù)呈指數(shù)衰減,有231012301(1( ( b

11、s s b b s s B B B B v B B B B +-+=-表 2r =1的情形的脈沖響應函數(shù)表在時間序列的實務分析中 r 和 s 均比較小,很少超過 2。1818四、傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性脈沖響應函數(shù)是將傳遞函數(shù)表示成為無窮級數(shù)時的系數(shù),即01122(t t t t t B Y X X X B -=+ 從時間序列滯后的特點來看,既往輸入系統(tǒng)的 t X ,滯后期越長,則對系統(tǒng) 的影響則越小,所以脈沖響應函數(shù) 012, , , v v v 應該快速收斂到零,這樣傳遞 函數(shù)則更穩(wěn)定性。 傳遞函數(shù)穩(wěn)定性的要求與 ARMA 模型平穩(wěn)性的要求是類 似的,所不同的是除了要求傳遞函數(shù)部分的穩(wěn)定性,還要求

12、干擾項部分的 平穩(wěn)性。為了保證191901122(t t t t t B Y X X X B -=+ 的傳遞函數(shù)平穩(wěn),要求 012, , , v v v 絕對收斂的,即要求滿足 j v <,這等價于特征方程110r r r -=的根在單位圓之內, 這時此系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng), 這個條件相當于 ARMA 序列平穩(wěn)的條件。對于隨機干擾部分的平穩(wěn)性要求與前面對 ARMA 模型平穩(wěn)性的要求 是一樣的,要求特征方程2020110p p p -=的根在單位圓之內。當然, 如果是一個非平穩(wěn)的系統(tǒng), 總可以通過適當?shù)牟罘謱⑾到y(tǒng)轉換為 平穩(wěn)系統(tǒng)?！纠?.1】假 設 傳 遞 函 數(shù) 模 型 為32B B Y X

13、 a B B B -=+-+-,討論 2121其穩(wěn)定性。1,2i i ±=±第二節(jié) 傳遞函數(shù)模型的識別與估計ARMA 模型涉及的是單變量問題,所以其識別工具主要是自相關和偏22 自相關函數(shù)的截尾性質,之所以稱為自相關,是因為它們均討論同一變量 在兩個不同時刻輸出間的相關性。而傳遞函數(shù)的模型是多元的時間序列分 析,模型的識別會同時涉及到互相關(交叉相關和自相關問題,因為自 相關在前面的章節(jié)已經(jīng)討論,所以這里只討論互相關(交叉相關 。 一、互相關函數(shù)(一 互相關函數(shù)定義互相關函數(shù)是一種非常有用的測度兩個變量之間相關強度和方向的函 數(shù),在時間序列中我們常常討論兩個變量間的相關性,

14、它與平穩(wěn)時間序列 222323的自相關函數(shù)不同,自相關函數(shù)沒有方向,亦即 t y 與 s y 的自相關系數(shù)只與 時間間隔有關,無論 t 和 s 誰在前或后。給定二時間序列 t x 和 t y , 1,2, t =,且均為平穩(wěn)時間序列,如果不是平 穩(wěn)的時間序列,總可以通過適當?shù)牟罘?轉化為平穩(wěn)的時間序列。稱cov(, ( ( t s t y s x yx y x E y x t s =-=- (4為互協(xié)方差函數(shù)。 稱(, ( t y s x t s yx x yE y x y x t s -=- (5 2424為互相關函數(shù),記為 CCF 。特別值得注意的是互相關函數(shù)不僅與時間 間隔有關,而且它是

15、不對稱,即與方向有關。如圖 3所示。 t s y - t y t s y +t yt x t s x - t x t s x +圖 3 互相關函數(shù)示意圖2525(, ( t x t s y t t s xy x yE x y x y s -=- (6 (, ( t x t s y t t s xy x yE x y x y s +-= (7這種互相關關系的非對稱性是容易理解的。假設 t x 是某種商品的廣告 費,對于該種商品的銷售額來說是廣告費是領先的變量,它對過去的銷售(0 t s y s ->幾乎無影響,甚至可能為零,因為 t x 對于 (0 t s y s ->來說是未來的廣

16、告費,未來的廣告費不會對過去的銷售額;但是 t x 對于 t s y +是有影響的,至 于相關性到什么程度,要根據(jù)實際情況進行討論。2626(二樣本互相關函數(shù)由于總體的互相關函數(shù)是未知的,為了討論兩個時間序列的互相關函 數(shù),通常需要用一個跨度為 N 的樣本來估計總體互相關函數(shù),假設這個跨 度為 N 的樣本為 1122(, ,(, , ,(, N N x y x y x y , 如果 t x 和 t y 是非平穩(wěn)的, 那么我們 總可以經(jīng)過 d 階差分將其轉換為平穩(wěn)的時間序列。樣本的互協(xié)方差函數(shù)為111( ( 1( ( N kxy t t k t Nxy t k t t C k x y N C k

17、 x y N -+=-=-=- (8 樣本的互相關系數(shù)為 2727( ( 0, 1, 2,xy xy x yC k k k s s =±± (9其中 、 、 x s 和 y s 分別是兩個序列的均值和標準差。在實際中,為了獲得互相關函數(shù)有統(tǒng)計意義的估計,樣本容量要求至 少為 50對觀測值。 為了了解互相關函數(shù)的計算的原理, 下面我們模擬一個 二變量的時間序列的樣本,給出計算的過程?！纠?2】 對表 3中模擬的序列,計算互相關系數(shù)。 表 3 模擬數(shù)據(jù)表28 可以分別計算出兩個序列的均值分別為 11和 8,標準差分別為 2.38和1.53。282929計算互協(xié)方差函數(shù) 5111

18、(1( 6xy t t t C x y +=-(102(4 (2 (2 (1 10326=+-+-+1162.6676=2.667 5111(1 ( 6xy t t t C x y +=-=-(1(4 (1 (2 21(2 3(1 206=-+-+-+-+1(13 16=-=- 再計算互相關函數(shù) (1 2. 667(1 0. 7322. 381. 53xy xy x y C S S =3030(1 2.167xy xy x yC S S -=-=-從計算的結果可以看出互相關系數(shù)是不對稱的, 即不僅與間隔有關, 還與方向有關。【例 5.2】 1 本例的數(shù)據(jù)來源于 Box 與 Jenkins 合著

19、時間序列分析 預測與控制一書中的序列 M 。序列 M 是某商品 1970年銷售額 t y 與銷 售額的領先指標 t x 共 150對數(shù)據(jù), 圖 4是領先指標 t x 的數(shù)據(jù)圖, 圖 5是銷售 額指標 t y 的數(shù)據(jù)圖,圖 6是 t x 和 t y 的互相關函數(shù)。1本例用 SAS9.13完成。3131 91011121314 圖 4 領先指標 t x 的數(shù)據(jù)圖3232 180200220240260280 圖 5 銷售額 t y 的數(shù)據(jù)圖CrosscorrelationsLag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

20、 8 9 1 -3 0.024782 0.05464 | . |* . | -2 -0.026508 -.05844 | . *| . | -1 0.043985 0.09698 | . |*. |3333 0 -0.0014380 -.00317 | . | . | 1 0.032168 0.07092 | . |* . | 2 -0.172487 -.38029 | *| . | 3 0.326598 0.72007 | . |* | 4 0.047392 0.10449 | . |*. | 5 0.049176 0.10842 | . |*. | 6 0.019792 0.04364 |

21、 . |* . | 7 0.064040 0.14119 | . |* | 8 0.022016 0.04854 | . |* . | 9 0.040773 0.08989 | . |*. | 10 -0.013822 -.03048 | . *| . | 11 0.053524 0.11801 | . |*. | 12 0.013731 0.03027 | . |* . |"." marks two standard errors圖6 t x 和 t y 的互相關函數(shù)圖3434“.” 標志相關系數(shù)兩倍標準差處。從圖 6可以看出當滯后期數(shù) 1i 時, 互相關函數(shù) (, t

22、t i x y -顯著為零。接著滯后期數(shù) 2k =和 3k =時的互相關函數(shù) 分別為 2(, 0.3803t t x y +=-和 3(, 0.7201t t x y +=,兩個互相關函數(shù)值均在兩 倍標準差之外,所以統(tǒng)計的角度看顯著不為零。(三互相關函數(shù)與傳遞函數(shù)的關系如前所述,傳遞函數(shù)模型可以表示為以脈沖響應函數(shù)為系數(shù)的時間序 列各個時刻值 1, ,. t t x x -的加權和,即 (2012( t t t t t y V B x B B x =+=+。 傳遞函數(shù)的形式實際上反映了互相關函數(shù)的特征,那么互相關函數(shù)和脈沖3535 響應函數(shù)關系如何呢?下面討論互相關函數(shù)與傳遞函數(shù)關系。 設 0

23、11t k t k t k t ky x x +-+=+ 將兩邊同時乘以 t x ,則011t k t t k t t k t t k t y x x x x x x +-+=+兩邊同時求數(shù)學期望,有011( ( ( ( t k t t k t t k t t k t E y x E x x E x x E x +-+=+因為變量 t x 與隨機干擾項相互獨立,則 ( 0x r k =, 2, 1, 0±±=k 有 01( ( (1 ( xy x x x r k r k r k r k =+-+3636上式兩邊同時除以 x 和 y ,得互相關函數(shù)01( ( (1 (0xxy

24、 x x k x yk k k v =+-+ (10從(10式可以看出互相關函數(shù) ( xy k 是輸入變量 t x 的自相關函數(shù)和脈 沖響應函數(shù) i v 的線性函數(shù),如果能從(10式中解出脈沖響應函數(shù),那么 模型的傳遞函數(shù)就得到了。但是(10式的脈沖響應函數(shù)有無窮項,直接 求解是不可能的。那么如果將輸入的變量 x 換成白噪聲序列情況會如何呢?由于白噪聲 序列的自相關函數(shù)為 0,這時(10式的右邊除了 (0k x v 之外,其余的項均3737為零,則(10式簡化為( xxy k yk v =(11 則 (k xy xyk =(12 因此尋找一個白噪聲序列 t ,它由 t x 濾波得到,且?guī)в?t

25、 x 的信息。這 種轉換叫做“預白化”方法。 在這種情況下模型的脈沖相應函數(shù)和互相關 函數(shù)之間僅僅相差一個常數(shù)因子yx, 如 5.11式。 可見模型的脈沖相應函數(shù) 和互相關函數(shù)有同樣的變化規(guī)律,利用互相關函數(shù)有助于對模型傳遞函數(shù)3838部分的識別。設傳遞函數(shù)模型為( t t t y B x =+假定輸入序列 t x 是一個平穩(wěn)序列,其適應模型為( ( t t B x B =(t t B x B = (13 其中 t 為白噪聲序列, 且含有 t x 的信息。 如果我們把(B B 看成一個濾3939波器,假定輸出序列 t y 與輸入序列 t x 有同樣的特征,那么用這個相同濾波 器,也可以將 t

26、y 進行濾波,得(t t B y B = (14 其中 t 是白噪聲序列,且含有 t y 的信息。將 ( t t t y B x =+代入(14式,則(B B t =( t t B X + ( (B B =( (t t B B B +4040( (t t B B B =+ 故有 (k v k = (15可見預白化處理后,輸入的數(shù)據(jù)轉化為一個帶有 t x 信息的白噪聲序列t ,且有 t 與 t 相互獨立,這樣問題就簡化多了。當計算出樣本的互相關函數(shù) ( k 、 2和 2,脈沖響應函數(shù)的初估計就容易得到了。 (15式給我們一個信息,除了相差一個常數(shù)因子外,脈沖響應函數(shù)和互相關函數(shù)有相同的模式,這就

27、是說可以用互相關函數(shù) ( k 來識別傳遞函數(shù)的階數(shù)。4141【例 3】 繼續(xù)利用【例 2】的數(shù)據(jù)計算預白化后的序列 t 和 t 的互相 關函數(shù)。通過識別差分后的序列可知, t x 服從一階移動平均模型,其模型為 (10.4492 t t x B =-,故通過濾波器預白化的序列為(10.4492t t x B =- (10.4492t t y B =- 得到兩個預白化序列后,計算兩個序列的標準差,有 948. 1=s 和 2794. 0=s 。兩個預白化序列的互相關函數(shù)如圖 7所示。Crosscorrelations42Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6

28、5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -12 -0.015148 -.02784 | . *| . | -11 -0.038093 -.07000 | . *| . | -10 -0.028313 -.05203 | . *| . | -9 -0.026054 -.04788 | . *| . | -8 0.026927 0.04948 | . |* . | -7 -0.0013061 -.00240 | . | . | -6 -0.034684 -.06374 | . *| . | -5 0.013016 0.02392 | . | . | -4 0.0012583 0.00231 | . | . | -3 0.022045 0.04051 | . |* . | -2 0.0054125 0.00995 | . | . | -1 0.051478 0.09460 | . |*. | 0 0.034232 0.06291 | . |* . |1 0.043060 0.07913 | . |*. |2 0.010062 0.01849 | . | . |3 0.367442 0.67523 | . |* |4243 43 4 0.246112 0