北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)-5-7ppt課件

1、第七節(jié) 正定矩陣與正定二次型一、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩下面我們限定所用的變換為實變換，來研究下面我們限定所用的變換為實變換，來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì).,0 ,0 , )(101122222112222211相等中正數(shù)的個數(shù)中正數(shù)的個數(shù)與則及使及有兩個實

2、的可逆變換為它的秩設(shè)有實二次型慣性定理定理rrirrirrTkkxzzzfkykykykfPzxCyxrAxf222164zyxf 為正定二次型為正定二次型22213xxf 為負定二次型為負定二次型二、正(負)定二次型的概念 ., , 0)(0;,00 0, 0,)( 1是是負負定定的的并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣為為負負定定二二次次型型則則稱稱都都有有如如果果對對任任何何是是正正定定的的并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣次次型型為為正正定定二二則則稱稱顯顯然然都都有有如如果果對對任任何何設(shè)設(shè)有有實實二二次次型型定定義義AfxfxAffxfxAxxxfT 例如例如證明證明使使設(shè)設(shè)可可逆逆變變換換Cyx .2

3、1iniiykCyfxf 充分性充分性 ., 10niki 設(shè)設(shè), 0 x任任給給, 0 xCy1-則則故故 . 021 iniiykxf三、正(負)定二次型的判別.: 11個系數(shù)全為正它的標(biāo)準(zhǔn)形的件是為正定的充分必要條實二次型定理nAxfxT必要性必要性, 0 sk假設(shè)有假設(shè)有, )(時時單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量則則當(dāng)當(dāng)sey . 0 sskCef, 0 sCe顯顯然然.為正定相矛盾為正定相矛盾這與這與 f故故 ., 10niki 推論對稱矩陣推論對稱矩陣 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是： 的特征值全為正的特征值全為正AA, 011 a, 022211211 aaaa,; 0

4、1111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 這個定理稱為霍爾維茨定理這個定理稱為霍爾維茨定理定理定理12 12 對稱矩陣對稱矩陣 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：的各階主子式為正，即的各階主子式為正，即AA對稱矩陣對稱矩陣 為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階主為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負，而偶數(shù)階主子式為正，即子式為負，而偶數(shù)階主子式為正，即A正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì);,A, . 1 1T定定矩矩陣陣均均為為正正則則為為正正定定實實對對稱稱陣陣設(shè)設(shè) AAA., . 2 矩陣矩陣也是正定也是正定則則階

5、正定矩陣階正定矩陣均為均為若若BAnBA 例例16 16 判別二次型判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 它的順序主子式它的順序主子式, 05 , 011225, 01524212425故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例17 17 判別二次型判別二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩陣為二次型的矩陣為,502040202 A用特征值判別法用特征值判別法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型為正定

6、二次型故此二次型為正定二次型.即知即知 是正定矩陣，是正定矩陣，A例例18 18 判別二次型判別二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩陣為的矩陣為f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.12為負定知根據(jù)定理f,402062225 A2.正定二次型正定矩陣的判別方法：正定二次型正定矩陣的判別方法：(1)(1)定義法；定義法；(2)(2)順次主子式判別法；順次主子式判別法；(3)(3)特征值判別法特征值判別法. .四、小結(jié)1.正定二次型的概念，正定二次型與正定正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)系矩陣的區(qū)別與聯(lián)系3.根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到負定二次型負定矩陣相應(yīng)的判別方法，請大負定二次型負定矩陣相應(yīng)的判別方法，請大家自己推導(dǎo)家自己推導(dǎo)思考題.00, 是否為正定矩陣是否為正定矩陣矩陣矩陣試判定分塊試判定分塊階正定矩陣階正定矩陣階階分別為分別為設(shè)設(shè) BACnmBA思考題解答. 是正定的是正定的C解解于于是是量量不不同同時時為為零零向向則則若若維維列列向向量量維維和和別