圓錐曲線的大題綜合測試

1、圓錐曲線2 21設(shè)橢圓q七1 a、2的右焦點(diǎn)為Fi，直線I : x2a2uuuu2與x軸交于點(diǎn)A，若OF1.a22ULLT2FiA （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求橢圓M的方程;(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N :x22y 21的任意一條直徑E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn))求PE PF的最大值.2x已知橢圓E : 2a2b2 1 a0的一個(gè)焦點(diǎn)為F1、3,0 ,而且過點(diǎn)H2(I)求橢圓E的方程；(n)設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為 A1, A2, P是橢圓上異于 A, A的任一點(diǎn)，直線PA , PA2分別交x軸于點(diǎn)N , M ,若直線0T與過點(diǎn)M , N的圓G相切，切點(diǎn)為T 證明：線段0T的長為定值,

2、并求出該定值3、已知圓O: X y 2交x軸于A,B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長軸，離心率為二的橢圓,其左焦點(diǎn)為F,若P是圓02上一點(diǎn)連結(jié)PF,過原點(diǎn)0作直線PF的垂線交直線x=-2于點(diǎn)Q.（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（n）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1）,求證:直線pq與圓0相切;（川）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓0上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合）,直線PQ與圓0是否保持相切的位置關(guān)系 ？若是，請證明；若不是，請說明理由2 24設(shè)A（x1, y<i）, B（x2,y2）是橢圓 與1（a b 0）上的兩點(diǎn)，滿足 （，上）（，里）0 ,橢圓的離心率x bbabav3 一一e ,短軸長為2, 0為坐標(biāo)原點(diǎn).（1 ）求橢圓

3、的方程；（2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F （0, c） , （c為半焦距），2求直線AB的斜率k的值；（3）試問： AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.5、直線I: y = mx + 1 ，雙曲線C： 3x2 y2 = 1 ,問是否存在 m的值，使I與C相交于A , B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)2x6已知雙曲線C: 2a2爲(wèi) 1（a 0,b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 Fi（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點(diǎn) P（3,J7）在曲線 C 上。（1）b求雙曲線C的坐標(biāo)；（2）記0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn) Q（0,2）的直線I與雙曲線C相交于不同兩點(diǎn) E, F,若OEF的面積 為2、2，求

4、直線I的方程。2x7.已知橢圓Ca22xy8 已知橢圓G :飛2 1(a bab0)的離心率為遼，直線Ly2 yx 2 2與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半爲(wèi) 1( a b 0)經(jīng)過點(diǎn)A(2, 1)，離心率為 2，過點(diǎn)b(3, 0)的直線丨與橢圓C交于不同的兩b2求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN，求證:kAM kAN為定值.軸長為半徑的圓相切。(I)求橢圓C1的方程;(n)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2，直線11過點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線12垂直11于點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交12于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;(川)若AC、BD為橢圓C

5、1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2,求四邊形 ABCD的面積的最小值.2 29設(shè)F是橢圓C： § 厶1(a b 0)的左焦點(diǎn)，直線l為其左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于點(diǎn)P,線段MN為橢圓的 a b長軸，已知 |MN | 8,且 |PM | 2|MF | .(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若過點(diǎn)P的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn) A、B求證：/ AFM = ZBFN ;(2) 求三角形ABF面積的最大值.10如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的 2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2,1），平行于0M的直線I在 y軸上的截距為 m（m 0）， I交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)（1 ）求橢圓的

6、方程；（2）求m的取值范圍；（3）求證直 線MA MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。11已知橢圓C :x221(a b 0)，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)A(0, b) , AF1 F2為正三角形且周長為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是直線FiA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求IPF2I| PO|的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).12 如圖，設(shè)P是圓x2 y22上的動(dòng)點(diǎn),PD丄x軸，垂足為D , M為線段PD上一點(diǎn)，且A P|PD|= J2|MD|，點(diǎn) A、F1 的坐標(biāo)分別為(0, J2), (- 1 , 0 )。(1) 求點(diǎn)M的軌跡方程；(2) 求|MA|+|MF i|

7、的最大值，并求此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)。22y 1的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為丨。_X13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中。橢圓C :2(1)求到點(diǎn)F和直線丨的距離相等的點(diǎn) G的軌跡方程。(2)uuuOTuuu2OA，求線段AB的長;(3)于占J 八、N，且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)已知點(diǎn) M的坐標(biāo)為 Xo,y° ,Xo過點(diǎn)F作直線交橢圓C于點(diǎn);若不存在，請說明理由。uuu2uuuu uuirOPOM ON?，若存在，求出實(shí)數(shù)圓錐曲線答案1解：（1）由題設(shè)知,A(1分223分解得a 6.UJLTUULT2由 OFi 2AF i 0，得.a 22 24 分所以橢圓M的方程為M :冬紅 1 .6 2(2)

8、方法1 :設(shè)圓N : X2則 PE PFNE NP NF NP 6分UULT UUU NF NPNP 47 分 NPUJLT2NFUUU 2NP 1. 2從而求pe PF的最大值轉(zhuǎn)化為求 NP的最大值.因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P Xo , yo ,10分2 2所以 旦 匹 1,即 xo2 6 3yo2. 14分6 2因?yàn)辄c(diǎn) N 0,2 ,所以麗2 x02 y0 2 2 2 y0 1 2 12 - 12 分因?yàn)閥。 42，近，所以當(dāng)y。 1時(shí)，NP2取得最大值12 . 13分所以PE PF的最大值為11 -14分2 由（I）可知直線PA1： y0,1 , A 0, 1，設(shè) P Xo,yo

9、,1入-x,令 yy。0，得 xNXoyo1直線PA2：|ON |Xo2yo4 1 yo,|OM | |ON | 4取線段MN的中點(diǎn)Q，連接GQ,GM,GO,r |GM |OT2 OG2 GM 2 (OQ2 QG2) (MQ2 QG2)|OM | |ON | 42 2OQ MQ (|OQ MQ |)(| OQ | MQ |)|OT | 2.即線段OT的長為定值2 .14分3 7.（14分）解:（I ）因?yàn)閍所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為VT e< ,所以 c=1,則 b=1,， 22y215 分21(n ) -P(1,1),二匕 ，-kOQ2,a直線OQ的方程為y=-2x,點(diǎn) Q(-2,4)7

10、分kpQ1,又kop 1,.k°pkpQ1,即OP丄PQ,故直線PQ與圓O相切10分4 9解：(1) 2b 2.b1,ec2, 2.a br.i 3-y22a 2.e. 3橢圓的方程為x14aa(2)設(shè)AB的方程為ykx3所以k°pkpQ 1，即 OP丄PQ,故直線PQ始終與圓O相切.14分.(2 分)證明:設(shè) P(x°, y°) (x。.2),則 y02 x0，所以kpFy° ,kkOQX01X015y°所以直線OQ的方程為x° 1y-x所以點(diǎn)Q(-2, 2X02)12 分y°y°2x。2y所以k0yo

11、y 02(2x02)2X°2 X0X0又kopy。13分kPQx0 2(x。2) y°（X。2)y°y°X0（川）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與圓O保持相切11分寧（k24_3k2、3k4k2 4汕得k2 7 分)(3 )當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn).Szaob=18 分)B不為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+bX1X2kx b21(k2x 14)x22kbxb240得到 x22kb k2 4b24k24 x1x2X1X2(kx1 b)(kx2 b)0代入整理得22:2b k4(11分)12|b|x1 心2|b| (x1 x2)2 4x1x2|b|、4k2

12、 4b2k2416.4k22|b|1y kx - 3 由v2y2 AX 14(k24)x22. 3kx 12尿0x1 x22, x1x2k 41.（4 分）k24由已知0X1X2V1V2.22bax1x21(kx1. 3)( kx243)(1)X1 X24 3T(X1X2)|4所以三角形的面積為定值 12分）2 2 221且c a b ,解得:b22,b2,976 解：(1)依題意c 2, .pa所以雙曲線方程為（2）依題意可知，直線l的斜率存在設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2 ，E（ xi, yi），F(xiàn)（ X2,y）,2,R x由y=kx+2 及2291 得(1 k )x 4kx 60,.

13、有兩個(gè)交點(diǎn)，ik22 2又厶=16k24(1 k ).'一 3 k .3，又 x1X2|EF| ,1 k(Xix2)2 4xjX2.1（加門O點(diǎn)到直線的距離為-|EF |d 2 2 ,24k )2241 k2) k22 2 , .k=2,.直線I的方程為y2x12分4_右1,_a27 .解：（1 ）由題意得 ab2c2,解得 a '、6 , b ,3ca2 '5分2 2故橢圓C的方程為一1 .63l的斜率存在，設(shè)直線l方程為yk(x 3),yk(x3),由x22丄得(1 2k2)x212k2x1,63（2 ）由題意顯然直線因?yàn)橹本€l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn) M , N ,

14、18k260.7 分所以422144k4(1 2k )(18k26)24(1 k )0,解得 1 k 1.N的坐標(biāo)分別為(xi, yi),(X2, y2),X212k21喬，X1X218k21g，y1k(x1 3) , y2 k(x2 3).9 分2kkAN力1 yx12 x210'分所以kAM8 6 .解:(km 3k 1)(x22) (kx2 3k 1)(x12)2kxx (5k 1)(x-| x2) 12k4(Xi 2)(X22)xX22(x1 x2) 42k(18k26) (5k 1) 12k2 (12k4)(1 2k2)2 2 218k6 24 k 4(1 2k )4k242

15、2k22.kAN為定值2 .14.分a2 b21a222 2a 2b直線l : x y 20與圓x2b2相切b, b 2,b24, a28,22 2橢圓C1的方程是1.84(H)v MP=MF 2，動(dòng)點(diǎn)M 到定直線h:x 2的距離等于它到定點(diǎn) F2 (2 , 0 )的距離,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以l1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線2點(diǎn)M的軌跡C2的方程為y 8x(川)當(dāng)直線 AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線A%, yJCg, y2),2x聯(lián)立一8則直線AC的方程為yACk(x的斜率為k,2).所以Xi|AC|X2k(x8k21 2k2'"X21 k2)(x1 X2)2222)得(1 2

16、k )x8k2 81 2k2 .8k2x8k28 0.(1k2)(x1X2)24x-|X211由于直線BD的斜率為-,用-代換上式中的k可得| BD |冒9分.32(1 k2)k22 AC BD ,16(1 k2)21四邊形ABCD的面積為S | AC | | BD |222(k 2)(1 2k )由(1 2k2)(k2 2) (1 2k2) (k2 2)2墊2- 2.12 分所以S 64,當(dāng)1 2k2 k2 2時(shí),即k1時(shí)取等號.13分9易知，當(dāng)直線 AC的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積S 89解：/ |MN | 8又| PM| = 2| MF 得ap/(a 2cf)MF2e得

17、aec2c橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)AB的斜率為0時(shí),122 y12顯然當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)代 入(48m)2圓4 144(3m2AFMBFN 0.滿足題意AgyJBXy) , AB 方程為 x4),y1kAFkBFkAF kBFx120,從而y2X2 2AFMmy 6BFN.綜上可知：恒有AFMBFNS ABF Spbf S PAF1PF|卜2272 m 47223(m4) 163 m2當(dāng)且僅當(dāng)3 m24161(舍去)my 8,程 整48my1 y242my26(y1y223my2my2 672 mi 416m243m2 4722.316岳24即m2.三角形ABF面積的最大值是 3"

18、. 310【解析】：2x(1)設(shè)橢圓方程為a(my16)(my2 6)得1443m240(3m24)y2 48my1440 則28 (此時(shí)適合> 0的條件)取得等號32 y b21(ab 0)a則 42a2b1b21解得2ab28所以橢圓方程2(2)因?yàn)橹本€l平行于OM，且在y軸上的截距為 m又komiyXmi2y xm由 222Xyi821，所以I的方程為:22 2x 2mx 2m 40因?yàn)橹本€I與橢圓交于 A B兩個(gè)不同點(diǎn),m| 2 m 2,m 0。_ 2 _ 2 -(2 m) 4(2 m 4)0,所以m的取值范圍是(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為 僉山，只要證明& k2 0即可y2 ix22設(shè) A(x!,y!), B(x2,y2)，則匕 也捲 22 2由x 2mx 2m 40可得論X222m, x!x2 2m 4而 kik2yi 1y ix12x2 2(yi 1)(X22)皿 1)(xi 2)(Xi 2)(X22)1 i(Xi m i)(x22)(X2 m i)(xi 2)2 2(Xi 2)(X22)xix2 (m 2)( x-i x2) 4( m i)(Xi 2)(X2 2)2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m i)(Xi 2)(X22)ki k20 故直線MA、MB與X軸始終圍