彈性力學基本概念和考點..

1、基本概念：（1）面力、體力與應力、應變、位移的概念及正負號規(guī)定（2）切應力互等定理：作用在兩個互相垂直的面上，并且垂直于改兩面交線的切應力是互等的（大 小相等，正負號也相同）。（3）彈性力學的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性和小變形。（4）平面應力與平面應變；設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時 ，體力也 平行與板 面并且不沿 厚度方向變化。這 時， 二z =0, Z =0,zy =0，由切應力互等，二Z =0, * =0,yz =0，這樣只剩下平行于 xy面的三個平面應力分量，即匚x,二y, xy二yx，所以這種問題稱為平面應力問題。設(shè)

2、有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面且不沿長度變化的面力或約束，同時，體力也平行于橫截面且不沿長度變化，由對稱性可知，z0, z0，根據(jù)切應力互等，任=0,=0。由胡克定律，ZX =0, zy =0，又由于z方向的位移w處處為零，即；z = 0。因此，只剩下平行 于xy面的三個應變分量，即；x, ；y, xy，所以這種問題習慣上稱為平面應變問題。（5）一點的應力狀態(tài)；過一個點所有平面上應力情況的集合，稱為一點的應力狀態(tài)。（6）圣維南原理；（提邊界條件）如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近處的應力分布將有顯

3、著的改變，但是遠處 所受到的影響可以忽略不計。（7）軸對稱；在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對稱面），則所有的應力、變形和位 移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。平衡微分方程:（1）平面問題的平衡微分方程;:x訶：x :y（記）0（2）平面問題的平衡微分方程（極坐標）；L + +! +&P PPCT ptp2! + cP P1、平衡方程僅反映物體內(nèi)部的平衡，當應力分量滿足平衡方程，則物體內(nèi)部是 平衡的。2、平衡方程也反映了應力分量與體力（自重或慣性力）的關(guān)系。二、幾何方程；（1）平面問題的幾何方程；:

4、u:x（記）_:v:y（2）平面問題的幾何方程（極坐標）'門：門:v ；:u v1、幾何方程反映了位移和應變之間的關(guān)系 2、當位移完全確定時，應變也確定；反之，當應變完全確定時，位移并不能確 定。（剛體位移）三、物理方程；（1）平面應力的物理方程；1xyxy2 1E(2)平面應變的物理方程;1 一 “E（J （Jx 1y21- E xy(3)極坐標的物理方程xy(平面應力)(4)極坐標的物理方程(平面應變)；2(1)E四、邊界條件；平面問題:在 Su 上;(1)幾何邊界條件;平面問題：匚7応（記）1 xy my 廣 fyU s詢SV s =V V(2)應力邊界條件;(3) 接觸條件；光

5、滑接觸：6=6 n為接觸面的法線方向非光滑接觸： 6二6 n為接觸面的法線方向(Un )=(4 )(4) 位移單值條件；U 廠 U2“(5) 對稱性條件：在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸(通過該軸的任一平面都是對稱面)，則所有的應力、變形和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。一、概念1彈性力學，也稱彈性理論，是固體力學學科的一個分支。2固體力學包括理論力學、材料力學、結(jié)構(gòu)力學、塑性力學、振動理論、斷裂力學、復合材 料力學。3基本任務：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應力、 形變和位移及其分布情況等。

6、4研究對象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，比材料力學和結(jié)構(gòu)力學的研究范圍 更為廣泛5彈性力學基本方法：差分法、變分法、有限元法、實驗法6彈性力學研究問題，在彈性體內(nèi)嚴格考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；7彈性力學中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。8幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。9物理方程反映的是應力分量與形變分量之間的關(guān)系。10平衡微分方程反映的是應力分量與體力分量之間的關(guān)系。11當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。反之，當形變分量完全確定時， 位移分量卻不能完全確定。12.

7、 邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。13. 圣維南原理主要內(nèi)容： 如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系(主失量相同，對同一點的主矩也相同)，那么只在作用邊界近處的應力有顯著的改變，而在距離外力作用點較遠處，其影響可以忽略不計。14. 圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系(主失量和主矩都等于零)，那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應力，而遠處的應力可以不計。這是因 為主失量和主矩都等于零的面力，與無面力狀態(tài)是靜力等效的， 只能在近處產(chǎn)生顯著的應力。15求解平

8、面問題的兩種基本方法：位移法、應力法。16.彈性力學的基本原理：解的唯一性原理、解的疊加原理、圣維南原理。會推導兩種平衡微分方程17逆解法步驟：(1) 先假設(shè)一滿足相容方程(2-25)的應力函數(shù)(2) 由式(2-24)，根據(jù)應力函數(shù)求得應力分量(3) 在確定的坐標系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件 (2-15)或次要邊界上的積分邊界條件，分析這些應力分量對應于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應力函數(shù)可以解決什么樣的問題。(或者根據(jù)已知面力確定應力函數(shù)或應力分量表 達式中的待定系數(shù)18半逆解法步驟:(1) 對于給定的彈性力學問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受

9、力特征和變形 的特點或已知的一些簡單結(jié)論，如材料力學得到的初等結(jié)論，假設(shè)部 分或全部應力分量的函數(shù)形式(2) 按式(2-24)，由應力推出應力函數(shù)f的一般形式(含待定函數(shù)項)；(3) 將應力函數(shù)f代入相容方程進行校核，進而求得應力函數(shù)f的具體表達 形式；(4) 將應力函數(shù)f代入式(2-24)，由應力函數(shù)求得應力分量(5)根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應力分量是否滿足全5平面問題的應力邊界條件為填空(二 xlxym)s = fx(S)(J=fy(S)7圣維南原理的三個積分式h/2h/2-h/2X )x = 1dy 1 也 fx(y)dy 1h/2h/2-h/2eX )x = 1ydy

10、 1 h/2 fx(y)ydy 1h/2h/2-h/2(xy ) x = 1dy 1 一h/2 fy(y)dy 1計算理解如果給出單位寬度上面力的主矢量和主矩，則三個積分邊界條件變?yōu)閔/2才/2C xhdyFnh/2”2C xhydy 仁 m-h/2h/2”(xyhdy 仁 Fs8艾里應力函數(shù)a =(x,y)_f % a - £(x, y)x_2i x入) y-2y x2fyy，xy£(x, y)L、 L、 xy計算一、單項選擇題（按題意將正確答案的編號填在括弧中， 每小題2分，共10分）1、彈性力學建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（C ）求解這些微分方程，以求得具

11、體問題的應力、應變、位移。A 相容方程B 近似方法C 邊界條件D 附加假定2、 根據(jù)圣維南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（B ） 的力系代替，則僅在近處應力分布有改變，而在遠處所受的影響可以不計。A. 幾何上等效B.靜力上等效C.平衡 D .任意3、彈性力學平面問題的求解中，平面應力問題與平面應變問題的三類基本方程不完全相同，其比較關(guān)系為（B ）0A. 平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同B. 平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同C. 平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同D. 平衡方程相同，物理方程、幾何方程不同在研究方法方面：材力考慮有限體 V的平衡，結(jié)果是近似的；彈力考慮微分體

12、dV的平，結(jié)果比較精確。4、常體力情況下，用應力函數(shù)表示的相容方程形式為 手 2丄2 寫=0，xx ;y ;y2 f3、2 /3、6、設(shè)有函數(shù)=業(yè)碼+ 3丫-1 +塑每，6設(shè)有函數(shù)4 1 h3 h丿5 I h3 h丿'（1）判斷該函數(shù)可否作為應力函數(shù)？ （3分）（2）選擇該函數(shù)為應力函數(shù)時，考察其在圖中所示的矩形板和坐標系 （見題九圖）中能解決什么問題（l>>h）。（15分）解： 444（1）將©代入相容方程二 2 冬半=0，顯然滿足。因此，該函數(shù)可以作為42-2-4x;x :y :y應力函數(shù)。0h/2h/2/(2)應力分量的表達式:-yy2；：2：:x26qx2

13、y4qy33qy3'3_hh3h43y _ih3 h6qx:x :yh34考察邊界條件:在主要邊界y=± h/2上，應精確滿足應力邊界條件ST/3 c理旦_1hh3=02-y=0在次要邊界x= 0上，應用圣維南原理，可列出三個積分的應力邊界條件:h/2Ls）y =-h/2x =0h/2'-h/23X4qy 3qy h3 3hdy =0（奇函數(shù)）h/2h/2LS）ydy = L/2-h/2x £：-h/2"0h/2LS）y = 0-h/2x =0在次要邊界x= l上，應用圣維南原理，可列出三個積分的應力邊界條件:h/2h/252 J xy/2!3 y

14、 q? _ dy=0（奇函數(shù)）h3h3h/2h/2Jx x士ydy = 7/2如工.繆圉ydy吐h 3h 丿2h3Z 2x2h/2 6ql h 2.仏！-Gyg-y 廠-ql對于如圖所示的矩形板和坐標系，結(jié)合邊界上面力與應力的關(guān)系，當板內(nèi)發(fā) 生上述應力時，由主邊界和次邊界上的應力邊界條件可知，左邊、下邊無面力； 而上邊界上受有向下的均布壓力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力 偶和鉛直面力。所以，能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載q的問題。2009 2010 學年第二學期期末考試試卷（A ）卷一.名詞解釋（共10分，每小題5分）1. 彈性力學：研究彈性體由于受外力作用或溫

15、度改變等原因而發(fā)生的應力、應變和位移。2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。應力符號的規(guī)定為：正面正向、負面負向為正，反之為負。4.彈性力學中，正面是指外法向方向沿坐標軸正向的面，負面是指外法向方向沿坐標軸負向的面。1. （8分）彈性力學平面問題包括哪兩類問題？分別對應哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？答：彈性力學平面問題包括平面應力問題和平面應變問題兩類，兩類問題分別對應的彈性體和特征分別為：平面應力問題：所對應的彈性體主要為等厚薄板，其特征是

16、：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應力分量二X，二y, xy存在，且僅為X,y的函數(shù)。平面應變問題：所對應的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平 行于xy平面，外力沿z軸無變化，只有平面應變分量；x , ；y, xy存在，且僅為x,y的函數(shù)。2. （8分）常體力情況下，按應力求解平面問題可進一步簡化為按應力函數(shù)求解，應力函數(shù)門必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：N4=0（2 ）應力邊界條件（假定全部為應力邊界條件，（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。二.問答題（36）1. （12分）試列出圖5-1的全部邊界條件， 在其端部邊界上，應用圣維南

17、原理列出三個積分的應力邊界條件。（板厚 1）圖5-1解：在主要邊界 y二h 2上，應精確滿足下列邊界條件：6 y"2 =qX 1， yx y»2 =° ；二 y y"2 =°，5 y = h2 =1在次要邊界X = 0上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件，當板厚：=1時，h 2h 2:h 22 二X xMy 一 Fn ,2 二X xydy = -M，上 2 xyx/y 一 Fs在次要邊界X =1上，有位移邊界條件：ux士 = 0, vX=1=0。這兩個位移邊界條2二x xyd-M -Fsl -牛晉2 6 2件可以改用三個積分的應力邊界條

18、件代替：h 2上2 J x/y =Fn ql xy x/y Fs -畧32. （ 10分）試考察應力函數(shù)cxy，c °，能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），畫出圖5-2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢 和主矩。解：（1）相容條件：將汙心嚴：口 z卄口j - cxy代入相容方程4 2 2 2 *4 - °，顯然滿足。ex戲點ycy（2）應力分量表達式： 2 -X2 =6cxy，- y = 0，xy-3cy:y(3)邊界條件：在主要邊界y = ±3上，即上下邊，面力為Q yy=3ch2xy=h24 C在次要邊界x = 0, x =丨上

19、，面力的主失和主矩為 九2打dy=0_|h -2* L>x Zydy=oHh；2-h2 2c 3JL/xy xjyLcydy4h*)2Lh.；2+/2I'如2+/2f (T上 2 xy彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界+ .-2h 2-h 2Jxjy 二26clydy =0h 2h 2 2 clh3h2 SxMy 二26c|y d"- 人0'2Q 2 人C 3x衛(wèi)dy=-23cy dy4hx =0,x =丨上面力的主失量和主矩如解圖所示。3. ( 14分)設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為 t ,在一邊側(cè)面上受均布剪力q,如圖5-3所示，試求應力分量。(提示：采用半逆

20、解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假 設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應力分量；X - 0 )解：采用半逆解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應力分量二x =0，(1)假設(shè)應力分量的函數(shù)形式。二x =0(2)推求應力函數(shù)的形式。此時，體力分量為fx =0, fy = 'g。將二x = 0代入應0對x積分，得 -.:yy=yf x fi x。其中f X， f1 x都是x的待定函數(shù)。由相容方程求解應力函數(shù)。將式（b）代入相容方程ydfA=0dx4dx4這是y的一次方程，相

21、容方程要求它有無數(shù)多的根（全部豎柱內(nèi)的y值都應該滿足），可見它的系數(shù)和自由項都必須等于零。程要求d4f xdx4d4fi xdx4兩個方f x = Ax3 Bx2 Cx， f1 x = Dx3 Ex2(c)f x中的常數(shù)項，f1 x中的一次和常數(shù)項已被略去，因為這三項在沖的表達式中成為y的一次和常數(shù)項，不影響應力分量。得應力函數(shù)：-y Ax3 Bx2 Cx i亠Dx3 Ex2（d）（4）由應力函數(shù)求應力分量。-xfx=0，(e)(f)-yfy =6Axy 2By 6Dx 2E -gy，xy;：2：.xy-3Ax2-2Bx - C .(g)（5）考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù) 先來考慮左

22、右兩邊 x二b 2的主要邊界條件:CT2b=-Xxy)x2將應力分量式（e）和9）代入，這些邊界條件要求:二x x=b 2 =° ,自然滿足；xy x“23 2Ab Bb - C = 042:v3Ab2Eg(i)由( h) (i) 得2b件為考察次要邊界y=0的邊界條件，應用圣維南原理，三個積分的應力邊界條b 2/y y嚴b 2* 6Dx 2E dx = 2Eb =0 ；b 2y 衛(wèi)xdxb26Dx 2E xdx = Db =0，22D =0b 2b2-bC =0 3Ax 平衡微分幾何 物理 應力 位移2連續(xù) 均勻各向同性完全彈性小變形、單項選擇題（每個 2分，共5X 2=10分）。

23、 1. 關(guān)于彈性力學的正確認識是 A_。A. 彈性力學在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中的作用日益重要。B. 彈性力學從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學不同，不需要對問題作假設(shè)。C. 任何彈性變形材料都是彈性力學的研究對象。D. 彈性力學理論像材料力學一樣，可以沒有困難的應用于工程結(jié)構(gòu)分析。2. 所謂完全彈性體”是指B。A. 材料應力應變關(guān)系滿足胡克定律。B. 材料的應力應變關(guān)系與加載時間歷史無關(guān)。C. 本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系。D. 應力應變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系。 3. 所謂應力狀態(tài)”是指_B_。A. 斜截面應力矢量與橫截面應力矢量不同。B. 一點不同截面的應力隨著截面方位變化而改變。C. 3個主應力

24、作用平面相互垂直。D. 不同截面的應力不同，因此應力矢量是不可確定的。 彈性力學的基本未知量沒有C。A.應變分量。 3x C dx Ab 丿4由（h）（ j）（ k）得將所得A、B、C、D、E代入式（e）（ f）（ g）得應力分量為:qx_qb 4匚 x=0,匚 y = _6段 xy _ q y _，gy，岑=3段2b bb填空題（每個1分，共10X仁10分）。1. 彈性力學的研究方法是在彈性區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學、幾何學和物理學方面建立三套方程，即方程、方程以及方程；在彈性體的邊界上， 還要建立邊界條件，即邊界條件和邊界條件。2 彈性力學基本假定包括 假定、假定、假定、假定和假定。B. 位移分量。C. 面力分量。D. 應力分量。5 下列關(guān)于圣維南原理的正確敘述是D。A.B.邊界等效力系替換不影響彈性體內(nèi)部的應力分布。 等效力系替換將不影響彈性體的變形。圣維南原理說明彈性體的作用載荷可以任意 平移。等效力系替換主要影響載荷作用區(qū)附近的應 力分布，對于