正余弦定理習題精選精講

1、正、余弦定理的五大命題熱點1 / 23正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關系轉(zhuǎn)化為角的關系或邊的關系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知兩邊一角（或二角一邊或三邊），求其它三個元素問題，進而求岀三角形的三線（高線、角平分線、中線）及周長等基本問題.例1（2005年全國高考江蘇卷） ABC中，A = , BC = 3,則 ABC的周長為（）34 寸3sin B+ l + 3C. 6sin B +1+36丿3丿分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出b+c，則周長為3+ b + c而得到結(jié)果.解：由正弦定

2、理得:3 b cb csin B sin C sin B sin C sin3b +c2兀sin B sin(-3得 b+ c= 2-/3 sin B + sin( - B) = 6sin( B).故三角形的周長為:363+ b + c= 6sin3，故選（D）.評注：由于本題是選擇題也可取ABC為直角三角形時，即 B= _，周長應為3.3 +3,故排除（A）、（B）、（C） 而選（D）.6例2（2005年全國高考湖北卷）在厶ABC中，已知 AB = 士衛(wèi)3,COsB二蘭，AC邊上的中線BD、5，求sinA的值.6分析：本題關鍵是利用余弦定理，求出AC及BC,再由正弦定理,即得 sinA.解：

3、設E為BC的中點，連接 DE，則DE/AB，且 DE =丄AB2，設 BE = x3在厶bde中利用余弦定理可得：BD2二BE2 ED22BE ED cos BED ,2 82J6 J6,75 = x2x，解得 x = 1 , x =3363故 bc=2，從而 AC2 =A BC2 -2AB BGcosB，即 AC32 .27故2 丁 A航故，sin A =-si nA_30146二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀.例3（2005年北京春季高考題）在二ABC中，已知2 sin A cos B = sinC，那么二ABC 一定是（）A 直角三角形B 等腰三角形 C

4、.等腰直角三角形D 正三角形解法 1:由 2sinAcOSB =sinC = sin（A + B） = sinAcosB + cosAsinB,即 sinAcosB-cosAsinB = 0，得 sin（A-B） = 0，得 A= B .故選（B）.（舍去）2 21又 sin B =- 30sin C c解法2 :由題意，得cosB =，再由余弦定理，得2sin A 2acosB =a2 c2 -b2ac2 2 22aca c -，即 a2= b2,得 a = b,故選(B).2a（如解法1）,統(tǒng)一化為邊，再判斷（如解法2）.評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷三、解決

5、與面積有關問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題.例4（2005年全國咼考上海卷）在.:ABC中，若A = 120 , AB = 5 , BC = 7,則.ABC的面積S=分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC,再運用面積公式 S= 1 AB?ACsinA即可解決.27 / 23解：由余弦定理，得cosA2 2 2 2AB AC - BC 25 AC -492AB *AC10 AC-，解得 AC= 3.2- S= AB/CsinAu215.31AB?AC?sinA =21AC?i,得 h= AB? sinA2，故選（A）.2四、求值問題例5（2005年全國高考天津卷）在 ABC

6、 中，./ A、設a、b、c滿足條件b2 c2 -be =a2和b.B、. C所對的邊長分別為a、b、c , 13，求/ A和tan B的值.2分析：本題給岀一些條件式的求值問題，關鍵還是運用正、余弦定理.b2 +c2 _a21解：由余弦定理cosA，因此，/A = 60- 22bc在厶 ABC 中，/ C=180 -Z A-Z B=120 -Z B.1 r- c si n C由已知條件，應用正弦定理3二2 bsin Bsin(120 - B)sin Bsin120 cosByos120 sinB 3cotB 1 解得 cotB=2,從而 tanB J2 / 2sin B五、正余弦定理解三角形

7、的實際應用禾U用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下: （一.）測量問題例1如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸標記物 C,測得/ CAB=30，/ CBA=75 , AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求 ABC/ CAB、/ CBA，這個三角形可確定。在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、AC解析：由正弦定理得 -sin ZCBA SABC點評:AB，二 AC=AB=120m , 又si n ACB11二 AB AC sin CAB = AB CD，解得 CD=60m。22雖然

8、此題計算簡單，但是意義重大，屬于不過河求河寬問題”。30分鐘后又測得燈塔在它的東30。北。若此燈塔（二.）遇險問題例2某艦艇測得燈塔在它的東 15北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進, 周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔 到達B點，測得S在東30北的方向上。S在東15北的方向上；艦艇航行半小時后 在厶 ABC 中，可知 AB=30K 0.5=15，BS=AB=15，過點S作SCX直線 AB，垂Z ABS=150 , Z ASB=15，由正弦定理得足為 C,則 SC=15sin30 =7.5這表明航線離燈塔的距離為 7.5海里，

9、而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點評：有關斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是：(1)準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語;(2)畫岀示意圖，并將已知條件在圖形中標岀；(3)分析與所研究問題有關的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求解。(三.)追擊問題 例3如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距 A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以 28n mile/h的速度航行，應沿什么方向，用多少 h能盡快追上乙船？解析：設用t h，甲船能追上乙船，且在 C處相遇。在厶 ABC 中，AC=

10、28t，BC=20t，AB=9，設/ ABCa ，/ BAC書。2 2 2a =180- 45。15 =120。根據(jù)余弦定理 AC = AB + BC 2AB，BCcosg，2 2 1 228t8120t-2 9 20t ()，128t2-60t-27=0,(4t 3)(32t+9)=0,o153 9解得t= ，t= (舍)4 32/ AC=283=21 n mile，43BC=20X=15 n mile4根據(jù)正弦定理，得 sinBCsin :AC15叮5亦又又T2114a =120：5伍B 為銳角，B =arcsin ”14，又三14厶114arcsin 二！ L144甲船沿南偏東一arcs

11、in 5、3的方向用h可以追上乙船。4144點評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的/ ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知,所以，這兩邊均與時間t有關。這樣根據(jù)余弦定理，可列岀關于 t的一元二次方程，解岀t的值。五、交匯問題是指正余弦定理與其它知識的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何例6(2005年全國高考卷三試題(特別是求角與距離)、解析幾何、實際問題等知識交匯.3 ) ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,已知a，b，c成等比數(shù)列，cos B =-4(i)求 cotA+cotC 的值;分析：本題是正、余弦定理與向量、3(u)設BABC

12、，求a + c的值.2等比數(shù)列等知識的交匯，關鍵是用好正弦定理、余弦定理等.3 /口解: (i)由 cosB，得 sin B4=j_(4)2、7由b2=ac及正弦定理得si nB = si nAsinC.1 則 cot A cotC tan A tanCsin (A C) sin B_ 2 _ 2sin B sin B1 cos A cosC=十sin A1_ sin C cos A cosC sin Asin Bsin C=4d7sin AsinC3 33(H)由 BA BC ，得 ca?cosB= ，由了 B = ，可得 ac= 2,即 b2 = 2.2 24由余弦定理 b2=a2+c2

13、2ac+cosB,得 a2+c2=b2+2ac cosB=5. (a 亠 c)2 = a2 c2 ：； 2ac = 5 ：； 4 = 9, a c = 3易錯題解析2 2 2例題1在不等邊厶ABC中，a為最大邊，如果a b +c ,求A的取值范圍。2.22.222c錯解：丁 a 0。則cos Ab2 c2-a22bc,由于cosA在(0, 180 )上為減函數(shù)且 cos90= 0，二 A 90又t A ABC 的內(nèi)角，二 0 A V 90 。辨析：錯因是審題不細，已知條件弱用。題設是a為最大邊，而錯解中只把 a看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯誤正解：由上面的解法，可得 A 60 。因此得A

14、的取值范圍是(60 ，90 )。2atan A例題2 在厶ABC中，若一=，試判斷厶ABC的形狀。btan B錯解：由正弦定理，得2sin Atan A2 =sin Btan B2 sinAsin AcosB2 sin A 0， sin B a 0sinBcosAsin B即 sin AcosA=sinBcosB，即卩 sin2A = sin2B2A = 2B，即A = B。故 ABC是等腰三角形。辨析：由sin2A =sin2B，得2A = 2B。這是三角變換中常見的錯誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏。正解：同上得 sin2A = sin2B， 2A = 2k兀 +2B或 2A

15、=2k兀 + 兀一2B(k EZ)例題3在厶 ABC 中，A= 60 ，b= 1，ABC，求a+bt csin Asin B sin C的值。jrA _ B20vAc 兀,0vbc 兀 k =0，則A=B或故厶ABC為等腰三角形或直角三角形。錯解：/ A = 60 , b = 1 ,SABC = * 3，又SA=1ABCbcsin A ,2例題5 在厶ABC中，已知a = 2, b,C= 15 ，求 Ao由余弦定理，得 a =+c2 -2bccosA =+16-8cos60 = JT3又由正弦定理，得sin C=_二,sinB=_3=寸392岳a + b + c/T3 + * + 4sin A

16、+sin B +sinC733622 殛 739辨析：如此復雜的算式，計算困難。其原因是公式不熟、方法不當造成的正解：由已知可得 c = 4，a=Jl3。由正弦定理，得a =13=2.39sin A 一 sin60 一 3a b c2 392 R sin Asin Bsin C3例題4在厶ABC中，C=J6+J2，C = 30。，求a + b的最大值。錯解：t C= 30由正弦定理，得 A+ B = 150 ，B= 150 - Aoab4642sin A 一 sin(150 A) 一 sin30二 a =2(.62)sin Ab=2(V6 + U2)sin(150 - A)又丁 si nA。，

17、sin( 150- A)蘭 1a b 乞 2( 6、2)2(、6、2) =4( 62)故a +b的最大值為4( J6 + U2)辨析：錯因是未弄清A與150 - A之間的關系。這里 A與150 - A是相互制約的，不是相互獨立的兩個量,sinA 與 sin(150 A)不能同時取最大值1,因此所得的結(jié)果也是錯誤的 正解：t C= 30 ，二 A+ B = 150 ，B= 150 - Ao由正弦定理，得a = b= 6 、2sin A 一 sin(150- A) 一 sin30因此a b = 2( 6 ,2)sin A sin(150 - A)= 2(6、2)sin 75cos(A -75)=4

18、( .6 Q)-162os(A -75)4-(8 4、3)cos( A -75 a，二B A。因此a = 150 是不可能的。錯因是沒有認真審題，未利用隱含條件。在解題時，要善于應用題中的條件，特別是隱含條件，全面細致地分析問題，避免錯誤發(fā)生1正解：同上 c = J6 燈2， sin A = ， v baa2二 B A,且 00 ： A : 1800，二 A =30例題6 在厶ABC中，ot COS A = b COS A，判斷 ABC的形狀。錯解：在厶abc中，v a cos A = b cos B，由正弦定理得 2Rsi nA cos A = 2 R s in B cos B/ sin2A

19、 = sin2B,： 2A=2B且2A+2B =180/ A= B 且 A+ B = 90 故厶ABC為等腰直角三角形。辨析：對三角公式不熟，不理解邏輯連結(jié)詞“或”、“且”的意義，導致結(jié)論錯誤。正解：在厶abc中，v a cos A = b cos B，由正弦定理,得 2RsinAcosA=2RsinBcosB，： sin2A = sin2B/ 2A = 2B 或 2A + 2B = 180，二 A = B 或 A + B =90 。故厶ABC為等腰三角形或直角三角形。例題7若a，b，c是三角形的三邊長，證明長為寸5，Jb，的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。錯解：不妨設0 v a蘭b蘭c，只要考慮最

20、大邊的對角 b為銳角即可。cos（、a）2（、b）2 -（.c）22厲Jb2 ab9 / 23a + b a c，即 cos 日 a 0由于a，b，c是三角形的三邊長，根據(jù)三角形三邊關系，有二長為va, Jb, JC的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。辨析：三條線段構(gòu)成銳角三角形，要滿足兩個條件：三條邊滿足三角形邊長關系；最長線段的對角是銳角。顯然錯解只驗證了第二個條 件，而缺少第一個條件。正解：由錯解可得|cos日=0又飛+ 爲_花=x a + Vb + yC（ab）2 -ca b -c2、ab0 a 、 b C a i b - Jc、a 、b c即長為ja, je , jc的三條線段能構(gòu)成銳角三角

21、形。高考試題展示21、（06湖北卷）若 ABC的內(nèi)角A滿足sin 2A，則sin A cosA =3A.15,15解：由 sin2A = 2sinAcosA 0,可知 A這銳角，所以 sinA + cosA 0,5又(sin A cos A)2 =1 sin 2 A，故選 a32、（06安徽卷）如果.：A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于：A,B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則a . -A|B1C1和-A2 B2C2都是銳角三角形b . -AEG和A?B2C2都是鈍角三角形c.皿占6是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形d .二AIB1C1是銳角三角形，A? B2C2是鈍角三角形31sin A

22、= cos A, = si n（ 一 A）2兀解TBQ的三個內(nèi)角的余弦值均大于oZAC1是銳角三角形，若命BQ是銳角三角形，由sinBrosBmq-B），sin C2 = cosG = si n（C1）I.2A： =一 A2兀n得B2B1，那么，A2B2C2，所以A2B2C2是鈍角三角形。故選Do222 2 2C2 = _GL.23、（06遼寧卷）ABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設向量p = (a c,b), q = (b -a,c -a),若 p q,則角 C 的大小為(A) 6(B) 3(C) 22兀(D)3【解析】p/q二(a c)(c-a) =b(b _a)二b222

23、1 ia - b，利用余弦定理可得沁八，即 cosC亍蟲為，故選擇答案B o【點評】本題考查了兩向量平行的坐標形式的重要條件及余弦定理和三角函數(shù)，同時著重考查了同學們的運算能力。4、(06遼寧卷)已知等腰 ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是(A2B.c.158D. 157解：依題意，結(jié)合圖形可得tan=152A2ta n，故 tan A 二15“c 152155、(06全國卷I) .ABC的內(nèi)角Ab、c的對邊分別為1-tan2 A2、c，若b、c成等比數(shù)列，且c = 2a，則cosB二1A.-4解：UABC 中,a、b、c成等比數(shù)列，且C = 2a，_則b=2 a，cosB 二a22 ,

24、 2 2,2 2c - b a 4a - 2a2ac4a23，選B.46、06山東卷)在厶ABC中，角A、B、C的對邊分別為 a、b、c,A= ,a=3 3 ,b=1，則 c=(A) 1(B) 2(c)3 1(D)313 / 23所以C = 90，故c= 2，選B解：由正弦定理得sinB = 1，又a b，所以A B,故B = 30，227、(06四川卷)設a,b,c分別是厶ABC的三個內(nèi)角 代B,C所對的邊，則a b b c是A = 2B的(A )充要條件(C )必要而充分條件(B)充分而不必要條件(D)既不充分又不必要條件解析：設a,b,c分別是 ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a

25、b b c，21-cos2a 1-cos2B則sin A =sinB(sinB sinC)，貝UsinBsinC，1(cos2B -cos2A)二sin BsinC，sin(B A)sin( A - B)二sin Bsin C，2又sin(A B)二sinC，二 sin(A-B)二sin B，二 A B =B，A =2B，若厶abc中，A =2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到ab b c，2 .所以a = b b c是A=2B的充要條件，選a.& (06北京卷)在 MBC 中，若 sin A:sin B : sin C = 5: 7 :8，則 NB 的大小是,解：si nA： sin

26、B : si n C = 5： 7 ：8 ：=a b c= 5 7 8 設 a = 5k，b= 7k，c = 8k，由余弦定理可解得.B的大小為39、（06湖北卷）在AABC中，已知ab = 4, A = 30sinB =17 / 23解：由正弦定理易得結(jié)論sinB210、（ 06 江蘇卷）在厶 ABC 中，已知 BC = 12, A = 60 , B = 45, _則 AC =【思路點撥】本題主要考查解三角形的基本知識ACbc【正確解答】由正弦定理得，.，解得ACsin 45 sin 60 【解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理11、（ 06全國II

27、 ）已知 ABC的三個內(nèi)角 A、B、C成等差數(shù)列，且 AB= 1，BC= 4,則邊BC上的中線AD的長為 解析：由. ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列可得 A+C=2B而A+B+C=二可得乙B =3AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得 AD =3本題主要考察等差中項和余弦定理，涉及三角形的內(nèi)角和定理，難度中等。12、（06上海春）在厶ABC中，已知BC =8, AC =5，三角形面積為12, 則 cos 2C =(1)(2)若AC=、3dC,求一：的值.解: (1) JfQ JI如圖 3, ；=(二-2 ：)= 2r-2 -解:1 3 由三角形面積公式，得 一BC CA s

28、i nC=20s in C =12，即sin C =-2 5277于疋cos2C =1 2sin C =從而應填一 252513、（06湖南卷）如圖3,D是直角 ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記/ CAD= , / ABC=：.（2）.在ABC中，由正弦定理得DCACDCsin ：sin(?/ sin:嚴W 3曲即 2 . 3sin2 ： -sin14、（06江西卷）在銳角 ABC中，角AB, C所對的邊分別為a, b,由 得 sin ： = -cos 2 :，si n - - -、3cos2 - - -、3(1 - 2s in2),-y：3= 0.解得 sin -或 sin :=2已知

29、si n An J2 ,32 B +C 2 A(1) 求 tansin 的值；2 2(2) 若 a =2, Saabc =，2，求 b 的值.解：（1）因為銳角厶ABC中sin A2 2，所以3cosA =-，則3tan2BC + sin2A2 2.2 B + C sin -2 +2 B + C cos -2.2 Asin 21 COs：B +C ) + 丄(1 - cos A)1 + cos ( B + C)21 + cos A , 17+ =1 cosA 331 1(2)因為 Sabc =、- 2,又 Sabc = bcsin A = bc *13將a= 2，cosA =，c=代入余弦定理

30、:3b2 2 2a = b + c 2bccos A 中得b46b2+ 9=0解得b=315、（ 06江西卷）如圖，已知 ABC是邊長為1AB、AC上的點，線段 MN經(jīng)過 ABC的中心G，M、N分別是邊(1)的正三角形,n2兀）33試將 AGM、 AGN的面積（分別記為 0與S2）表示為：的函設 MGA =，-(2)求y= 2 + A 的最大值與最小值S12 s解：（1）因為G是邊長為12拓=3:AG =，ZMAG = 一3236的正三角形 ABC的中心,所以由正弦定理GMTtsin6GAnsin (二一：)6得GMJI6sin (: +)6則S1 =1GM GA sin ：=2兀12si(+

31、 -)同理可求得S2=JI12si n(：-)6(2)y=兀2JL+ sin(:-)=72 (3+ cot2：)，6兀2兀兀2兀因為，所以當：=或=時，y取得最大值ymax= 2403 333ji當時，y取得最小值ymin= 216B+C16、(06全國卷I).ABC的三個內(nèi)角為 A B、C，求當a為何值時，cos A - 2cos取得最大值，并求出這個最大值。2.解：由 A+B+C= n ,得= 2 A2 ，所以有 cosTj =sinA| .B+CA2AAA 1 23cosA+2cosj=cosA+2sin j=1 2sin j+ 2sinq= 2(sin-j j) + 2當sinA =

32、1 ,即A= n 時,cosA+2cosB+C取得最大值為32J517、(06全國 II )在 lABC中，B = 45 , AC = 、10,cos C =，求5(1) BC 二？若點D是AB的中點，求中線CD勺長度。解：(1 )由 cosC =口得sinC 555sinA=sin(180 -45 -C)-2(cosC sin C)3.1010AC10由正弦定理知BCsin A =sin BJ2込 3、.210(2) AB ACsin BBD =丄 AB=12由余弦定理知CD二 BD2 BC2 -2BD BC cosB 工18、（06四川卷）已知A,B,C是三角形厶ABC三內(nèi)角,向量m -

33、-1, .3, n hcos 代sin A，且 m n =1(I)求角A ;1 sin2B若 -3，求 tan Bcos B -sin B解：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關系、(n)兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力。(I)v m n =1一1廠.3 i icos A,sin A = 1即 3sin A - cosA = 12|sinA 乎 yosaIL(sin ! A -I 6丿2 0 ：A ,A1 2sin B cos Bji ji/. A -6 6ji/. A 二一3(n)由題知 22cos B sin B-3，整理得 sin2 B sin B

34、cosB 2cos2 B =02cos B = 0 /. tan B -tan B2 = 0: tan B = 2 或 tan B -1而 tan B = _1 使 cos2 B - si n2 B = 0，舍去/. tan 8=219 / 23tanC =tan 停-A B - _tan A B 二ta n A ta n B1 -tan Atan B21 一2、38 311319、(06 天津卷)如圖，在 ABC 中，AC =2 , BC =1, cosC =4(1)求AB的值；求sin 2A C的值.本小題考查同角三角函數(shù)關系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考 本運算

35、能力及分析解決問題的能力.滿分12分.(I)解：由余弦定理，2223AB=AC2 BC-2AC.BC.cosC =42 2 12.4那么，ABj2?察基3 /2-J7(u)解：由 cosC ，且 0 : C ：二，得 sin C = 1 - cos C 二4 4由正弦定理,竺二竺,解得sinA-SSsinC sin AAB所以,cosA 二52。由倍角公式 sin 2A=sin2A cosA=816且 cos2A =1-2sin2A 9，163/7 故 sin 2A C 二sin 2AcosC cos2AsinC 二 一820、(07 重慶理 5)在 ABC 中，AB A = 450,C =

36、750,則 bc =()a. 3 - 3 b. 2c.2d. 3 【答案】：A【分析】：；AB二.3, A=45,C =75,由正弦定理得：a BC_73si nA si nC si n45si n756 24BC =3- 61421、( 07 北京文 12 理 11)在 ABC 中，若 tan A ，C =150， BC = 1，則 AB 二 31 1解析：在 ABC中，若tan A ，C 150，二A為銳角，sin A， BC 1 ，則根據(jù)正弦定理 AB34v0BC sinC 10sin A 222、（07湖南理12）在厶ABC中，角A,B，C所對的邊分別為a，b，c，若a = 1，b=

37、. 7【答案】521 / 23【解析】1 +3 _7由正弦定理得 cosB =2 1 j3週，所以B2，a、b、c，23、（07湖南文12）在二ABC中，角A、B、C所對的邊分別為若 a =1, = .3, C ，則3A=a【解析】由正弦定理得 -sin Ac asin Csin A =-si nC1，所以a=-3 2 624、(07 重慶文 13)在厶 ABC 中，AB=1,BC=2,B=60，貝U AC =【答案】：.3【分析】：由余弦定理得： AC2 =12 22 - 2 1 2 cos60 =3. AC =專3.24、（07北京文理13） 2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會，會標 是

38、我國以古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的弦圖是由四個全 等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為 25，直角三角形中較小 的銳角為二，那么COS2V的值等于 解析：圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為 25,每一個直角三角形的面積是6，設直角三角形的兩條直角邊長分別為a, b，則a2 b2 二 252ab兩條直角邊的長分別為 3，4,設直角三角形中較小的銳角為cos 9= 4，cos2 8=2cos2 9-1 =7253 tanB 二5125、（ 07福建理17）在厶ABC中，tanA =4（i）求角C的大小;（且）若 ABC最大邊的邊長為

39、 17 ，求最小邊的邊長.12 分.本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力，滿分解：（i）C = n (A B)，tanC 二-tan(A B)二1-13又；0 ： C ：: n，. C n.4（u） ； c=3 二，.AB邊最大，即.42 2sin A cos得 sin A仃17由竺二竺得:sin C sin ABCsin C又/ tan A tan B A B e ( 0，| 角A最小，BC邊為最小邊. ， I 2丿|- sin A 1tan A,ncosA 4 且 0,-A = 1,所以，最小邊BC =2 .26、(07廣東理16)已知 A

40、BC頂點的直角坐標分別為 A(3,4) , B(0,0) , C(c,0).(1) 若 c = 5，求 sin Z A 的值；(2) 若Z A是鈍角，求c的取值范圍.解析：(1) AB =(；,/) , AC=(c_3,4)，若 c=5,則 AC=(2,),61612.5cos._A =cos ：: AC, AB，sin/ A =5疋2藥 J55-3c 9 16 ：: 0 ”口25252)若Z A為鈍角，則解得c 25，二c的取值范圍是(，；);c 03328、( 07湖北理16)已知 ABC的面積為3，且滿足0 ABAC乞6，設AB和AC的夾角為v(I)求二的取值范圍；(II)求函數(shù)f(v)

41、 =2sin2 7 -、3cos2v的最大值與最小值.14丿本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查推理和運算能力.解: (I)設 ABC中角A B, C的對邊分別為a, b, c,1 n n I則由一 bcsin v - 3 , 0 bc cos二 6，可得 0 cot 二 1，二，一.2 _4 2(u) f(J=2sin2 n J -、3cos2J- 1cos 2)-3cos2r14丿12丿=(1 sin2 )i、!3cos2 v -sin2J-、3cos2J 1=2sin i 2： - n 1 .I 3丿. 衛(wèi)，衛(wèi),2,二 2 2sin 2二

42、-1 3 ._4 2363.3即當時，fmax =3 ； 當時，fmin =2 12429、(07全國卷1理17)設銳角三角形ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c , a=2bsin A .(i)求B的大??；(u)求cosA sin C的取值范圍.1解：(i)由 a = 2bsin A,根據(jù)正弦定理得 sin A = 2sin Bsin A,所以 sin B 二一,223 / 236n由 ABC為銳角三角形得B二(n) cos A sin C = cos A sin(n、1 31 -_A=cos A + sin+AI6)(6丿1 3=cos Acos A -22sinA-3si

43、n A 3.由厶ABC為銳角三角形知,-B ,Bji jiji jiA，所以3361 sin A2JT,32由此有訂臥A上所以，cos A si nC的取值范圍為一3,3I 230、(07全國卷2理17)在 ABC中，已知內(nèi)角jiA =-3邊BC=23 .設內(nèi)角B = x，周長為y .(1)求函數(shù)y = f(X)的解析式和定義域;(2)求y的最大值.解：(1) ABC的內(nèi)角和A B C =二，由A 二一,3B 0,2 ttC 0 得 0 :： B 3應用正弦定理，知 AC BCsin B =in xsin Ajisin 3二 4sinBCiz2 兀ABsin C = 4sinxsi nAV 3

44、因為y = AB BC AC ,所以y = 4sin x 4sin I - x P 2、一 3 i 0 ： xI d丿 J(2)( 因為 y =4 jsin xcosx si sin x2siJI 31所以，當x -jix 二一時,y取得最大值6、3 .32、(07山東文17)在 ABC中，角A,B, C的對邊分別為a, b, c,tanC = 3 7 .325 / 23(1)求 cosC ；5(2)若 CB CA ，且 a b = 9，求 c 2sin C 解：(1) tanC =3 .7,3、7cosC2 2 1又 sin C cos C =1 解得 cosC =81 tan C、0 ,

45、. C 是銳角.cosC -.85 5(2) ； CB CA ,. abcosC , - ab = 20 .2 22 2 2 2又 a b =9. a 2ab b =81 . a b -41.2 2 2.c a b 2abcosC = 36 .33、（07上海理17）在厶ABC中，a, b, c分別是三個內(nèi)角 A,B,C的對邊.若 a =2, CcoSB =竺9，求 ABC的面積2527 / 2334解:由題意，得cosB , B為銳角，sinB55sin A = sin( n B -C)二 sin由正弦定理得 c工10711S ac sin B 2 ：2234、（07天津文17）在厶ABC中

46、，已知AC =2 , BC87 =3 , cosA = _4510 47 5(i)求sin B的值;(ji、的值.(u)求 sin i2B -I6丿12 分.sin A = -1 - cos2 A =35本小題考查同角三角函數(shù)的基本關系式、兩角和公式、倍角公式、正弦定理等的知識，考查基本運算能力滿分cos2B =2cos2B -1=2.21十17丄宀BCACAC23由正弦定理，所以sin Bsin Asin Asin B_ BC35H）解：因為cos A =-4，所以角A為鈍角，5從而角B為銳角，于是（i）解：在 ABC中25cosB 二.1 -sin2 B =525sin 2B =2sin

47、BcosB =2 -4,2115JIJI. I d J 1. c f. Jsin 2Bsin2Bcoscos2BsinI 6 丿66耳 317 125225212.7175035 / 2335、（07 浙江理 18）已知 ABC 的周長為、2 1，且 sin A sin B - 2sin C .（I）求邊AB的長；1（ii）若 ABC的面積為一sin C ,求角C的度數(shù).6解：（i）由題意及正弦定理，得 AB BC AC= ,2 1, BC AC = .2aB ,兩式相減，得AB =1.111(ii )由 ABC 的面積一bc AC sinCsinC，得 BC、AC 二一2 632 2 2AC BC - AB 由余弦疋理，得cosC =-AC BC(AC BC)2 -2AC、BC - AB212AC BC- 22 2 2AB AC - BC cosB2 漢 AB x AC2 AB BD又AD,BC夾角大小為/ADB，cosADB二BD2 AD2 - AB22 BD AD3298 94,137 一 91所以C = 6036、（07 天津文理 15）如圖，在二ABC 中，一 BAC =120 ,AB =2,AC =1,D 是邊 BC 上一點，DC =2BD,則【答案】_83【分析】法一：由余弦定理得可得 BC 二 7 , AD 二3，3Q所以 ADB