極限承載力的計(jì)算

1、第三節(jié)極限承載力的計(jì)算在土力學(xué)的發(fā)展中，已經(jīng)提出了許多極限荷載公式，1920年普朗特首先根據(jù)塑性平衡理論導(dǎo)出了介質(zhì)達(dá)到極限荷載時(shí)，沿著曲面發(fā)生滑動(dòng)的數(shù)學(xué)方程，并認(rèn)為介質(zhì)的抗剪強(qiáng)度性質(zhì)，可以用強(qiáng)度指標(biāo) c,表示，但是，他的研究結(jié)果只適用于無(wú)重量的介質(zhì)的極限平衡平面課題。隨后不少學(xué)者根據(jù)他的研究結(jié)果，引用來(lái)求解地基土的極限荷載，并進(jìn)一步作了不同形式的修正和補(bǔ)充，以便在工程中加以應(yīng)用。太沙基根據(jù)普朗特相似的概念，導(dǎo)出了考慮地基土自重影響的極限荷載公式。但這些公式都忽略了基礎(chǔ)底面以上覆蓋土層的抗剪強(qiáng)度的影 響，故只適用于計(jì)算淺基礎(chǔ)的極限荷載。梅耶霍夫進(jìn)一步考慮了基礎(chǔ)底面以上覆蓋層的抗剪強(qiáng)度的影響，從而

2、提出了淺基礎(chǔ)和深基礎(chǔ)的極限荷載公式。一普朗特爾極限承載力公式普朗特爾公式是求解寬度為b的條形基礎(chǔ)，置于地基表面，在中心荷載P作用下的極限荷載Pu值。普朗特爾的基本假設(shè)及結(jié)果，歸納為如下幾點(diǎn)：(1) 地基土是均勻，各向同性的無(wú)重量介質(zhì)，即認(rèn)為土的=0,而只具有c, 的材料。(2) 基礎(chǔ)底面光滑，即基礎(chǔ)底面與土之間無(wú)摩擦力存在，所以基底的壓應(yīng)力垂直于地面。(3) 當(dāng)?shù)鼗幱跇O限平衡狀態(tài)時(shí)，將出現(xiàn)連續(xù)的滑動(dòng)面，其滑動(dòng)區(qū)域?qū)⒂衫士现鲃?dòng)區(qū)I,徑向剪切區(qū)II或過(guò)渡區(qū)和朗肯被動(dòng)區(qū) III所組成。其中滑動(dòng)區(qū)I邊界BC或AC為直線(xiàn)，并 與水平面成(45+ ：/2)角；即三角形 ABC是主動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)區(qū)；滑動(dòng)區(qū) I

3、I的邊界CE或 CD為對(duì)數(shù)螺旋曲線(xiàn)，其曲線(xiàn)方程為r二roe1071, ro為起始矢徑；B為射線(xiàn)r與r。夾角，滑動(dòng)區(qū)III的邊界E G , DF為直線(xiàn)并與水平面成(45 $ /2)角。(4) 當(dāng)基礎(chǔ)有埋置深度 d時(shí)，將基礎(chǔ)底面以上的兩側(cè)土體用相當(dāng)?shù)木汲dq二d來(lái)代替。根據(jù)上述的基本假設(shè)，采用剛體平衡方法或特征線(xiàn)法，可以得到地基極限承載力為：Pu 二 rdNq cNc式中：r：基礎(chǔ)兩側(cè)土的容重d：基礎(chǔ)的埋置深度Nq, Nc :承載力系數(shù)，它們是土的內(nèi)摩擦角的函數(shù)，可查下表:其中 Nq 二 e電 tg2(45-)Nc = (Nq 1)ctg :pNrNqNc9NrNqNc001.005.14246

4、.909.6119.320.011.205.69269.5311.922.340.051.436.172813.114.725.860.141.726.823018.118.430.280.272.067.523225.023.235.5100.472.478.353434.529.542.2120.762.979.293648.137.850.6141.163.5810.43867.448.961.4161.724.3311.64095.564.275.4182.495.2513.14213785.493.7203.546.4014.844199115118224.967.8216.9452

5、41134133二、斯肯普頓地基極限承載力公式對(duì)于矩形基礎(chǔ)，斯肯普頓(1952年)給出的地基極限承載力公式為:Pu =5c(1 51)(1 5b)odc地基土粘聚力 ；b、丨一一分別為基礎(chǔ)的寬度和長(zhǎng)度；o基礎(chǔ)埋置深度 d范圍內(nèi)土的重度。三太沙基極限承載力公式等于零，求其極限承載力時(shí)，太沙基作了如下假設(shè)：1 基礎(chǔ)底面粗糙，即的與土之間有摩擦力存在當(dāng)?shù)鼗_(dá)到破壞并出現(xiàn)連續(xù)的滑動(dòng)面時(shí)，其基底下有一部分土體將隨著基礎(chǔ)一起移動(dòng)而處于彈性平衡狀態(tài)，該部分土體稱(chēng)為彈性核或叫彈性契體，如圖8-9中ABC所示。彈性核的邊界 AC或BC為滑動(dòng)面的一部分， 它與水平面的夾角為,而它的具體數(shù)值 又與基底的粗糙程度有關(guān)

6、。2當(dāng)把基底看作是完全粗糙時(shí)，則滑動(dòng)區(qū)域由徑向過(guò)渡區(qū)剪切區(qū)II和朗肯被動(dòng)區(qū)III所組成。其中滑動(dòng)區(qū)域II的邊界CE和D C為對(duì)數(shù)螺旋曲線(xiàn)，其曲線(xiàn)方程為(ro為起始矢徑)。 朗肯區(qū)域III的邊界DFA為直線(xiàn)，它與水平面成(45 $ /2)角。3當(dāng)基礎(chǔ)有埋置深度時(shí)，則基底以上兩側(cè)的土體用相當(dāng)?shù)木汲dq = d來(lái)代替。根據(jù)上述假定，經(jīng)推導(dǎo)可得地基的極限承載力Pu1= 2bN r qNq eNc式中：Nr, Nq , Nc稱(chēng)為承載力系數(shù)，都是土的內(nèi)摩擦角的函數(shù)。(3 -)tg :其中：Nqe2cos2(45)2Nc = ( Nq -1)ctg但對(duì)Nr,太沙基并未給出公式。太沙基將Nr, Nq, Nc

7、可以查表8 4得。幾點(diǎn)說(shuō)明：(1) 當(dāng)把基礎(chǔ)底面假定為光滑時(shí)，則基底以下的彈性核就不存在，而成為朗肯主動(dòng)區(qū)I 了,而AC面與水平面的夾角“ =(45 + $ /2)而整個(gè)滑動(dòng)區(qū)域?qū)⑼耆c普朗特爾的情況相似， 因此，由C,q所引起的承載力系數(shù)即可直接取用普朗特爾的結(jié)果，即：Nq 心 tg2(45-)肌=(Nq -1)ctg ：而由土容重 所引起的承載力系數(shù)則采用下列半經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表達(dá):Nr =1.8Nctg2 ：將 N q = e 加卑g 2 (45 + ；)Nc =(N q -1)ctg :2Nr =1.8Nctg :1代入：Pu rbN r qNq cNcNq, Nc , Nr可直接查表即可得

8、基礎(chǔ)底面完全光滑情況下的太沙基地基極限承載力，或 取得。(2) 太沙基承載力公式都是在整體剪切破壞的條件下得到的，對(duì)于局部剪切破壞時(shí)的承載力，應(yīng)進(jìn)行修正。2c c3- 2 tg二 |tg ,再用修正后的C，二，就可計(jì)算局部剪切破壞時(shí)松軟土的地基承載力1Pu jrbNr qNq CNc式中：Nc, Nq, N；:修正后的承載力系數(shù)。(3) 對(duì)于方形或圓形基礎(chǔ)，太沙基建議用下列修正公式計(jì)算地基極限承載力:圓形基礎(chǔ):Pur=0.6rRN r rdN q 1.2cNc整體破壞方形基礎(chǔ):Pur-0.6rRNr rdNq 1.2cNC局部破壞Pus-0.4rbN r rdNq 1.3cNc整體破壞Pus=

9、 0.4rbNr rdNq 1.3cNC局部破壞4 地基的容許承載力將上述各公式算出的極限承載力Pu，除以安全系數(shù)K ,即得到地基的容許承載力pl在設(shè)計(jì)時(shí)，基底壓力 p應(yīng)滿(mǎn)足pW p的要求。例題1 :某辦公樓采用磚混結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)。土，Y =18.0kN/m3, = 30 度,設(shè)計(jì)基礎(chǔ)寬度b=1.50m ,基礎(chǔ)埋深d=1.4m，地基為粉c= 10kPa,地下水位深 7.8m，計(jì)算此地基的極限荷載和地基承載。1解：（1）條形，由太沙基公式：p尹NqNqcNc因?yàn)?30，查得，Nr= 19, Nc= 35, Nq= 18代入公式 pu = 18.0X 1.5X 19-2 + 10X 35 + 18.0X

10、 1.4X 18= 1060.1 kPa(2)地基承載力：P = Pu = 1060.1/3.0 = 353.4 kPaK例題2:在例題1中，若地基的為20度，其余條件不變，求pu和p解：(1 )當(dāng) =20。，查曲線(xiàn)：Nr = 4, Nc=17.5 , Nq =乙1Pu HjbN r qNq CNcpu = 18.0X 1.5X 4- 2 + 10X 17.5 + 18.0X 1.4X 7= 405.4kPapu(2) p - = 405.4/3.0= 135 kPaK評(píng)論：由上兩例計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)：基礎(chǔ)的形式，尺寸與埋深相同，地基土的，c不變，只是由30度減小為20度，極限荷載與地基承載力均降低

11、為原來(lái)的38%，可知：的大小，對(duì)Pu和p影響很大。四、考慮其它因素影響時(shí)的極限承載力計(jì)算公式1、漢森極限承載力公式對(duì)于均質(zhì)地基基礎(chǔ)底面完全光滑，在中心傾斜荷載作用下，漢森建議按下式計(jì)算豎向地基極限承載力。1PubNrSrdrirdrdN qSqdqiq CcScdJcNc式中：(1)s , sq, s；為基礎(chǔ)的形狀系數(shù),bNqbsr =1 -0.4 ir _0.62 -rl rNcl?。篠q =1 yiqSi n或 Sq =1 -p tg :sc -1 0.2yicSr =1 -0.4了(2) ir ,iq, ic為何載傾斜系數(shù)ir0-0p + cActg(1(0.7- 0/45O0)Ph)5

12、 _0p 十 cActg0.5Ph 5ciq =(1)0p + cActgic = (iq -iq)Nq -1)(3) ddq,dc深度修正系數(shù)dr =12 Ddq -1 2tg (1 sin )Bdc =10.40 ,dc =10.35BB(4) gr, gq, gc地面傾斜系數(shù)gr = gq = (1 -0.5tg ：)5gc=1P14.7(5) br, bq, bc基底傾斜系數(shù)br = exp(-2.7 tg bq 二 exp(-2 tg )bc =1 - /14.7(6) Nr, Nc, Nq承載力系數(shù)，由下式表示:Nq =etg2(45 +Nc = (Nq - 1)ctg 上式中3

13、n分別為地面和基底的傾角。Nr =1.8Nctg2 :幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)應(yīng)用公式時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足 Ph _CaA - ptg、：，以保證基底不因水平力過(guò)大而產(chǎn)生水平滑動(dòng)。Ph :作用在基底上的水平分力P：作用在基底上的垂直分力Ca :為基底與土之間的粘滯力S :為基底與土之間的摩擦力A=L X B(2)當(dāng)基底受到偏心荷載作用時(shí)，先將其換成有效的基底面積，然后按中心荷載情況下的極限承載力公式進(jìn)行計(jì)算。若條形基礎(chǔ)，其荷載的偏心距為e,則用有效寬度 B =B- 2e,來(lái)代替原來(lái)的寬度 B。若是矩形基礎(chǔ)，并且在兩個(gè)方面均有偏心，則用有效面積A =BX L來(lái)代替原來(lái)的面積A。其中 B =- 2eB,L =-2e

14、L(3)對(duì)于成層土所組成的地基，當(dāng)各土層的強(qiáng)度相差不大的情況下，漢森建議按下式近似確定持力層的深度。Z max=入 B式中：入：為系數(shù)，根據(jù)土層平均內(nèi)摩擦角和荷載的傾角3從下表查出：B :為基礎(chǔ)的原寬度。入值表：?jiǎn)挝粸?度)tg 3、 2021 3536 45 0.20.61.202.000.21 - 0.300.40.901.600.31 0.400.20.601.20持力層范圍內(nèi)土的容重和強(qiáng)度指標(biāo)按層厚求其平均值:_ 工 rihir 二Z hi cihiZ hi、 ihi式中ri,Ci, p i分別為第i 土層的容重，凝聚力和內(nèi)摩擦角，hi為第i層的厚度。例題：有一寬4m的條形基礎(chǔ)，埋置在

15、中砂層下2米深處，其上作用中心傾斜荷載（豎直分量P= 900Kn/m ,水平方向 Ph= 150Kn/m ）中砂層的內(nèi)摩擦角 p = 32度，濕容重r=18.5Kn/m 、浮容重r =9.5Kn/m,距基底2米處有一粘土層，其固結(jié)不排水剪的強(qiáng)度指標(biāo)為C= 18Kn/ m2,3p =22度，浮容重r =9.7Kn/m設(shè)地下水位與基底齊平，試按漢森公式確定地基的極限承載力。解：荷載的傾斜率：tgB = Ph/P=150/900=0.17該地基屬層狀地基，應(yīng)先確定持力層的最大深度Zmax值，為此固結(jié)tg3 = 0.17并假設(shè)土層的平均內(nèi)摩擦角=21 35之間，從表查得 入=1.2，于是公式Zmax

16、=入B可得Zmax = 1.2 X 4= 4.8m ,求持力層內(nèi)土層的平均指標(biāo):陸訃2hi h29.5 2 9.7 2.82 2.8-9.6K n/m3Gd c?h2h1h20 2 18 2.82 2.8= 10.5K n/m34,2 _ 32 2 22 2.826o-0 +h2一 2+2.8可見(jiàn)求得的*在假設(shè)范圍內(nèi)，查表可得:Nr = 9.53, Nq = 11.90, Nc = 22.3求荷載傾斜系數(shù)：ir 小； .)5 =0.57p + cBctg iq=(1ic= (iq0.5 Ph 5h)5 =0.67p cBctg1 -iq1 - 0 67-0.670.64Nq -111.90-1求深度修正系數(shù):dr = 1dq2 D=1 2tg(1 sin :)1.158Ddc =10.4=1.2B地