第5講.圓及扇形競(jìng)賽123班.教師版

1、學(xué)而靈wvadLucoBi|五年級(jí) 第五講 競(jìng)賽123班|11. 利用圓與扇形面積公式進(jìn)行面積計(jì)算.2. 會(huì)將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進(jìn)行面積計(jì)算.teacher研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過(guò)變動(dòng)圖 形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算它們的面積L ° J*classics圓的面積=二r2 ;扇形的面積二二r2 360圓的周長(zhǎng)=2 r ;扇形的弧長(zhǎng)=2二r 360一、跟曲線(xiàn)有關(guān)的圖形元素。1、扇形：扇形由頂點(diǎn)在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分.我們經(jīng)常說(shuō)的1圓、1

2、圓、丄圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形的圓心角占這個(gè)圓2 46周角的幾分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是n360比如：扇形的面積=所在圓的面積n360扇形中的弧長(zhǎng)部分=所在圓的周長(zhǎng)丄360扇形的周長(zhǎng)=所在圓的周長(zhǎng) 2半徑（易錯(cuò)點(diǎn)是把扇形的周長(zhǎng)等同于扇形的弧長(zhǎng)）3602、弓形：弓形一般不要求周長(zhǎng)，主要求面積。一般來(lái)說(shuō)，弓形面積 =扇形面積-三角形面積。（除了半圓）3、 彎角”如圖:彎角的面積=正方形-扇形4、 谷子”如圖:谷子”的面積=弓形面積X2|五年級(jí) 第五講 競(jìng)賽123班|3二、常用的思想方法：1、轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的）2、等積變形（割補(bǔ)

3、、平移、旋轉(zhuǎn)等）3、借來(lái)還去（加減法）4、 外圍入手（從會(huì)求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的關(guān)系”用平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)法求面積【例1】如圖，在18 8的方格紙上，畫(huà)有1, 9, 9, 8四個(gè)數(shù)字.那么，圖中的陰影面積占整個(gè)方格紙面積的幾分之幾？【分析】 我們數(shù)出陰影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54 個(gè)，其中部分有6+6+8 = 20個(gè),部分有6+6+8=20 （個(gè)），而1個(gè)和1個(gè)正好組成一個(gè)完整的小正方形，所以陰影部分共包含 54+20=74 （個(gè)）完整小正方形，而整個(gè)方格紙包含8 18 = 144（個(gè)）14472拓展如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以 AB、BC

4、、CD、DA分別為直徑畫(huà)半圓，求這四個(gè)半圓弧 所圍成的陰影部分的面積.(兀取3)分析這道題目是很常見(jiàn)的面積計(jì)算問(wèn)題 陰影部分是一個(gè)花瓣?duì)畹牟灰?guī)則圖形，不能直接通過(guò)面積公式求解，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)陰影部分是一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形，我們只需要在陰影部分的對(duì)稱(chēng)軸上作兩條輔助線(xiàn)就明 了了 .如圖，這樣陰影部分就劃分成了4個(gè)半圓減去三角形，我們可以求得，S陰影=4S半圓一B三角形=41“右丄a®2£ 丿 2 2【例2】如圖，陰影部分的面積是多少?【分析】首先觀(guān)察陰影部分，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分形如一個(gè)號(hào)角，但是我們并沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)如何求號(hào)角的面積,那么我們要怎么辦呢？陰影部分我們找不到出路，那么我們不妨考慮下除了

5、陰影部分之外的部分吧！觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，陰影部分左側(cè)是一個(gè)扇形，而陰影部分右邊的空白部分恰好與左邊的扇形構(gòu)成一 個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，那么陰影部分的面積就等于大的矩形面積減去正方形面積。則陰影部分面 積(22 2) 4 -(22) 4 =8鋪墊計(jì)算圖中陰影部分的面積（單位：分米）分析將右邊的扇形向左平移，如圖所示兩個(gè)陰影部分拼成一個(gè)直角梯形.5 105-：一 2 =75一：一 2 =37.5（平方分米）.【例3】（第四屆走美決賽試題）如圖，邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向內(nèi)側(cè)作等邊三角形， 分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫(huà)弧.求陰影部分面積.（n取3.14）D【分

6、析】 根據(jù)題意可知扇形的半徑 r恰是正方形的對(duì)角線(xiàn)，所以 r2 =32 2 =18，如右圖將左邊的陰影翻轉(zhuǎn)右邊陰影下部，11So 二S扇形S柳葉18二 一2（ 18二-3 3） =18-3二-8.583 4鞏固求圖中陰影部分的面積.（二取3）學(xué)而靈wvaduuicaHi*分析看到這道題，一下就會(huì)知道解決方法就是求出空白部分的面積，再通過(guò)作差來(lái)求出陰影部分面積，因?yàn)殛幱安糠址浅２灰?guī)則，無(wú)法入手這樣，平移和旋轉(zhuǎn)就成了我們首選的方法解法一：我們只用將兩個(gè)半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的、部分面積之和即可，其中、面積相等.易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角邊AB的長(zhǎng)度未知單獨(dú)求部分面積不

7、易，于是我們將、部分平移至一起，如右下圖所示，則、部分變?yōu)橐粋€(gè)以AC為直角邊的等腰直角三角形，而AC為四分之一圓的半徑，所以有AC =10兩個(gè)四分之一圓的面積和為150,而、部分的面積和為1-10 10=50，所以陰影部分的面積為 150-50=100（平方厘米）2解法二：欲求圖中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積 所以陰影部分面積為 丄：102一1 10 10=100 （平方厘米）2 2DCA|五年級(jí) 第五講 競(jìng)賽123班|5.學(xué)而靈MwadULiicaBi*【

8、例4】如圖，兩個(gè)正方形擺放在一起，其中大正方形邊長(zhǎng)為12,那么陰影部分面積是多少？（圓周率取3.14）BCBC|五年級(jí) 第五講 競(jìng)賽123班|9【分析】 方法一：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為 a,則三角形ABF與梯形ABCD的面積均為a 12 a“2 .陰影1部分為：大正方形梯形三角形ABF -右上角不規(guī)則部分 二大正方形右上角不規(guī)則部分 二-4 圓.因此陰影部分面積為：3.14x12乂 12*4 =113.04 .方法二：連接 AC、DF ,設(shè)AF與CD的交點(diǎn)為M，由于四邊形 ACDF是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶定 理有Sa ADM = Sa cmf ，所以s陰影=s扇形dcf =3.14漢12汽12子4 =

9、113.04鞏固如圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積.（取理=3）分析方法一：兩個(gè)分割開(kāi)的陰影部分給我們求面積造成了很大的麻煩，那么我們把它們通過(guò)切割、移動(dòng)、補(bǔ)齊，使兩塊陰影部分連接在一起，這個(gè)時(shí)候我們?cè)賮?lái)考慮，可能會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).由于對(duì)稱(chēng)性，我們可以發(fā)現(xiàn)，弓形 BMF的面積和弓形BND的面積是相等的，因此，陰影部分面積就等于 不規(guī)則圖形 BDWC的面積。因?yàn)?ABCD是正方形，且 FA = AD = DE = 1，則有CD = DE。那么四邊形BDEC為平行四邊形，且/ E=45°我們?cè)僭谄叫兴倪呅?BDEC中來(lái)討論，可以發(fā)現(xiàn)不規(guī)則圖 形BDWC和扇形 W

10、DE共同構(gòu)成這個(gè)平行四邊形，由此，我們可以知道陰影部分面積二平行四邊形 BDEC-扇形 DEW =1 1 一竺 -12 = 5 .36081方法二：先看總的面積為 -的圓，加上一個(gè)正方形，加上一個(gè)等腰直角三角形，在則陰影面積為總4面積扣除一個(gè)等腰直角三角形，一個(gè)-圓，一個(gè)45的扇形那么最終效果等于一個(gè)正方形扣除一4個(gè)45的扇形.面積為1 1 1 3 12 =5 8 8【例5】如圖所示，陰影部分的面積為多少?（圓周率取3）31.51.5【分析】 圖中A、B兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的A、B的面積.所以 Sa Sb =1.52 二 -1.5 3 "4 3 - -3 3 2 十 8“

11、 4 曠飛二活【例6】如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為S1，空白部分面積為 S2，那么這兩個(gè)【分析】如圖添加輔助線(xiàn)，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來(lái)，這樣，空白部分就是一個(gè)圓的內(nèi)接正方形.設(shè)大圓半徑為 r，則 S2 =2r2, S,-二r2 -2r2，所以 0 : S2 二 3.14 -2 :2 =57:100 .移動(dòng)圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系.鞏固如圖中三個(gè)圓的半徑都是 5 cm，三個(gè)圓兩兩相交于圓心.求陰影部分的面積和.（圓周率取3.14）25 5 3.142 = 39.25cm其他方法求面積【例7】在圖中，兩個(gè)四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求

12、兩個(gè)陰影部分的面積差.（圓周率取3.14）【分析】 我們只要看清楚陰影部分如何構(gòu)成則不難求解左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除一個(gè)長(zhǎng)方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長(zhǎng)方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的差應(yīng)為大扇形減去小扇形，再減去長(zhǎng)方形.則為：4 42 2 -4 2 =3 3.14-8 =1.42 .44AEF ;兩個(gè)陰影部鞏固如圖，等腰直角三角形 ABC的腰為10;以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形分的面積相等.求扇形所在的圓面積分析題目已經(jīng)明確告訴我們 ABC是等腰直角三角形， AEF是扇形，所以看似沒(méi)有關(guān)系的兩個(gè)陰影部學(xué)而靈MwadULiicaBi*分通過(guò)空白部分聯(lián)系起來(lái)等腰直

13、角三角形的角 A為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍.而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即S扇形二丄10 10=50，2則圓的面積為50 8 =400【例8】如圖，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC =4厘米，扇形 ABE半徑AE=6厘米，扇形 CBF的半徑CB =4厘米，求陰影部分的面積.（二取3）|五年級(jí) 第五講 競(jìng)賽123班|15【分析】 方法一：觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，陰影部分屬于一個(gè)大的扇形，而這個(gè)扇形除了陰影部分之外，還有一個(gè)不規(guī) 則的空白部分 ABFD在左上，求出這個(gè)不規(guī)則部分的面積就成了解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵我們先確定 ABFD的面積，因?yàn)椴灰?guī)則部分 ABFD與扇形BCF共同構(gòu)成長(zhǎng)方形

14、 ABCD， 所以不規(guī)則部分ABFD的面積為6 4_1二42 =12 （平方厘米），4再?gòu)纳刃蜛BE中考慮，讓扇形 ABE減去ABFD的面積, 則有陰影部分面積為 1二62-12=15 （平方厘米）4方法二：利用容斥原理S陰影二S扇形EABS扇形BCF - S長(zhǎng)方形ABCD=- 62 丄二 42 -4 6 =1544（平方厘米）鞏固如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓 O的半徑為15, AEB是以C為圓心，AC為半徑的圓弧.求陰影部分面積.B分析陰影部分是個(gè)月牙形，不能直接通過(guò)面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半圓加上三角形ABC再減去扇形ACB的結(jié)果.1 2半圓面積為152，21 2 1

15、 2三角形ABC面積為$15 1515=15，又因?yàn)槿切蚊娣e也等于 三AC ，所以 AC2 =2 152，那么扇形ACB的面積為 色：.：AC2 =丄： 2 152.3604陰影部分面積S陰影=s半圓 S三角形一S扇形1 2 2 1 215152 152 4二225 （平方厘米）【例9】下圖中，AB=3，陰影部分的面積是 【分析】 如圖可知EF =3，設(shè)大半圓半徑為 R，小圓半徑為r，如右圖R=EH，r =HG=EG，根據(jù)勾股 定理得R2 =2r2，故大半圓面積等于小圓面積，由圖可知s陰影=s小圓一0卯葉s小圓 一（s扇形 EHF _ S EHF ）-S/h圓 -2S扇形ehf 2§

16、;ehf=S小圓一大半圓-2 S EHF=2勺 EHF=EF，:GH =3，：3一：-2=4.5鋪墊如圖，求陰影部分的面積.（二取3）分析如圖，圖中陰影部分為月牙兒狀，月牙兒形狀與扇形和弓形都不相同，目前我們還不能直接求出 它們的面積，那么我們應(yīng)該怎么來(lái)解決呢？首先，我們分析下月牙兒狀是怎么產(chǎn)生的，觀(guān)察發(fā)現(xiàn) 月牙兒形是兩條圓弧所夾部分，再分析可以知道，兩條圓弧分別是不同圓的圓周的一部分，那么 我們就找到了解決問(wèn)題的方法了 11 1陰影部分面積 二丄小圓面積-中圓面積-三角形面積-大圓面積2 2 212 12 1-23 43 452 2 22二 6【例10】草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著

17、的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng) 30米的繩子拴著一只羊（見(jiàn)如圖）問(wèn)：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？（圓周率取3.14）【分析】（此題十分經(jīng)典）如圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為1圓，B , C分別是半徑為20米和10米的丄個(gè)圓.4A , B , C三部分，其中A是半徑30米的-個(gè)4所以羊活動(dòng)的范圍是:<302 3亠202丄亠；TO2 4 442 32 12 1-302010I 444 '512.【例11】傳說(shuō)古老的天竺國(guó)有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘面有10平方米.每當(dāng)太陽(yáng)西下,鐘面就會(huì)出現(xiàn)奇妙的陰影（如左下圖）.那么，陰影部分的面積是多少平方米？1110983【分析】 在這個(gè)題

18、目中，陰影部分和空白部分都是不規(guī)則圖形，那么我們既無(wú)法通過(guò)面積公式直接求出陰影部分面積，也無(wú)法通過(guò)求出空白部分面積，再用大圓面積減去空白部分面積求解，這個(gè)時(shí)候，我們只能利用整體思想，通過(guò)轉(zhuǎn)化，尋找陰影部分與整體圖形的關(guān)系將原題圖中的等邊三角形旋轉(zhuǎn)30°（注意，只轉(zhuǎn)三角形，圓形不動(dòng)），得到右上圖因?yàn)锳OD、 3OD都是等邊三角形， 所以四邊形 OBDA是菱形，推知 AOB與ADB面積相等.又因?yàn)橄?AD所對(duì)的弓形與弦 BD所對(duì)的弓形面積相等， 所以扇形AOB中陰影部分面積占一半.同理，在扇形AOC、扇形BOC中，陰影部分面積也占一半. 所以，陰影部分面積占圓面積的一半，是10一：一 2

19、 =5（平 方米）.【例12】如圖， ABC是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊的長(zhǎng)度是1米.現(xiàn)在以C點(diǎn)為圓心，把三角形 ABC順時(shí)針轉(zhuǎn)90度，那么，AB邊在旋轉(zhuǎn)時(shí)所掃過(guò)的面積是平方米（n取3.14 ）AcA'【分析】 如圖，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，A點(diǎn)沿弧AA'轉(zhuǎn)到A'點(diǎn)，B點(diǎn)沿弧BB'轉(zhuǎn)到B'點(diǎn)，D點(diǎn)沿弧DD '轉(zhuǎn)到D'點(diǎn).因?yàn)镃D是C點(diǎn)到AB的最短線(xiàn)段，所以AB掃過(guò)的面積就是圖中的弧 A'AB與BDD'A'之間的陰 影圖形.S陰影=S半圓-S空白Sa abc所以,abc = bdc ' S ad'c1=丄（平方

20、米），2=St方形 ADCD'=CD21-（平方米），2兀2 兀 1S扇形DCD 'CD -442'（平方米），8我們推知S陰影n 2=BC-S扇形DCD( Sabdc Sa acd ')JI2=0. 6 7 75平方米)鋪墊如圖所示，直角三角形 ABC的斜邊AB長(zhǎng)為10厘米，/ ABC=60°此時(shí)BC長(zhǎng)5厘米.以點(diǎn)B為 中心，將 ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°點(diǎn)A、C分別到達(dá)點(diǎn)E、D的位置.求AC邊掃過(guò)的圖形即圖中 陰影部分的面積.（二取3）19|五年級(jí) 第五講 競(jìng)賽123班|分析注意分割、平移、補(bǔ)齊如圖所示，將圖形移補(bǔ)到圖形的位置，因?yàn)?EBD

21、 =60°，那么zABE=120°,1則陰影部分為一圓環(huán)的3所以陰影部分面積為 1二 AB2 - BC2 ；=75（平方厘米）.31.求下列各圖中陰影部分的面積【分析】2.4.51.54.5如圖是到B'點(diǎn)，求陰影部分的面積.個(gè)直徑為 3cm的半圓，讓這個(gè)半圓以A點(diǎn)為軸沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)（圖中長(zhǎng)度單位為cm,圓周率按3計(jì)算）【分析】面積二圓心角為60的扇形面積半圓-空白部分面積（也是半圓）=圓心角為60的扇形面積602: : <371=4.5cm2.3603.如下圖，長(zhǎng)方形ABCD ,長(zhǎng)是8 cm ,則陰影部分的面積【分析】 陰影部分的面積實(shí)際

22、上是右上圖陰影部分面積的一半，所以求出右上圖中陰影部分面積再除以2即可.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于兩個(gè)圓直徑，寬等于1個(gè)圓直徑，所以右圖的陰影部分的面積等于: 288"2 8"2"2泊感泊2=6.88.學(xué)而靈wvaduutcoM'所以左圖陰影部分的面積等于6.882 =3.44平方厘米4. 用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了的邊角料的總面積是多少平方厘米？7個(gè)同樣大小的圓鋁板問(wèn)：所余下【分析】 大圓直徑是小圓的3倍，半徑也是3倍，小圓面積：大圓面積-二r2：二R2=1:9 ,1小圓面積=364 , 7個(gè)小圓總面積=4 7 = 28,9邊角料面積=36 -28 =8 （平方厘米）.5. 如圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑已知 AB = BC=10 ,那么陰影部分的面積是多少？（圓周率取3.14）【分析】 連接PD、AP、BD ,如圖，