光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(共47頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六章 光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由衍射理論知道，即使一個沒有象差的完善的透鏡或光學(xué)系統(tǒng)，也得不到理想的幾何象，而是一個由孔徑?jīng)Q定的衍射光斑。衍射斑的存在影響光學(xué)系統(tǒng)分辨物體細節(jié)的能力。對于有象差存在的實際光學(xué)系統(tǒng)，還因為象差的存在而影響衍射斑中光能的分布，從而降低了光學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)量。在常用的評價成象質(zhì)量的方法中，如星點法是通過研究一個點物的衍射圖形來判斷象差的大??；分辨率法是用一個具有一定空間分布的鑒別率板作為物體來判斷成象的好壞。這些方法都存在一定的局限性。實際的物體是有復(fù)雜的光強分布或振幅分布的，可以看作一個包含有各種空間頻率的復(fù)雜光柵。按照阿貝成象理論，一個只受衍射

2、限制而無象差的理想光學(xué)系統(tǒng)，因為物體的頻譜中的高頻部分受到孔徑的限制而不能參與成象，致使象面的復(fù)振幅分布不同于物面，即表示細節(jié)的高頻部分丟失而使分辨率下降。對于有象差存在的實際光學(xué)系統(tǒng)，不僅反映細節(jié)的高頻部分由于孔徑的限制而丟失，其它較低頻率成分的光波也由于象差的存在而使得其振幅降低或位相改變，從而影響成象質(zhì)量。為了全面評價一個光學(xué)系統(tǒng)的成象質(zhì)量的優(yōu)劣，必須全面考察物面上的各種頻率成分經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)的傳播情況，用來衡量這個傳播狀況的函數(shù)就是傳遞函數(shù)?，F(xiàn)在，光學(xué)傳遞函數(shù)的概念和理論已經(jīng)較普遍地應(yīng)用于光學(xué)設(shè)計結(jié)果的評價、控制光學(xué)元件的自動設(shè)計過程、光學(xué)鏡頭質(zhì)量檢驗、光學(xué)系統(tǒng)總體設(shè)計的考慮及光學(xué)信息處

3、理等方面。特別是光學(xué)傳遞函數(shù)為光學(xué)儀器的設(shè)計、制造和使用提供了統(tǒng)一的評價標準，成為一個更全面更客觀的質(zhì)量評價方法。本章主要講授在頻率域中描寫衍射受限系統(tǒng)的成像特性。所謂衍射受限系統(tǒng)即成像只受到有限大小孔經(jīng)衍射的影響，無幾何光學(xué)像差的理想系統(tǒng)。對于有象差存在的實際光學(xué)系統(tǒng)對傳遞函數(shù)的影響也將作原理性的介紹。§6-1 透鏡、衍射受限系統(tǒng)的點擴展函數(shù)一、 透鏡的點擴展函數(shù)在§2-4中我們在學(xué)習(xí)脈沖響應(yīng)和疊加積分時，引入了線性系統(tǒng)的點擴展函數(shù)（脈沖響應(yīng)）的概念。把函數(shù)作為分解輸入函數(shù)g1的基元函數(shù)，系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)即輸出函數(shù)g2：其中稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點擴展）函數(shù)，其表示系統(tǒng)在輸

4、出平面(x2, y2)的點上對輸入平面坐標(，)上的函數(shù)的輸入響應(yīng)?，F(xiàn)在我們研究的系統(tǒng)是透鏡。這里即物平面上光場分布；即像平面上光場分布，所以在§5-2里，我們知道，對于下圖所示的光路，觀察面上的復(fù)振幅分布為其中，如果我們用單位振幅的平面波照明透明片，即，則，按照下圖的符號標示，則，用平面波照明透明片，透明片的透過率函數(shù)也就是物平面上光場分布，即考慮到透鏡的孔徑函數(shù)P(x，y)，并將以上各量代入下式得與系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點擴展）函數(shù)的定義相比知道便是透鏡的點擴展函數(shù)。當象面是物面的共軛，即時，透鏡的點擴展函數(shù)為又因為象面是物面的共軛面，若透鏡孔徑比較大，衍射效應(yīng)不明顯，在近軸近似下，則

5、 其中是橫向放大率所以此時若我們研究的是象面的光強度分布，顯然的存在并不影響象面的光強度分布，此時透鏡的點擴展函數(shù)可以寫為顯然的變量是兩個線性組合，即，所以可以記為。如果令，則透鏡的點擴展函數(shù)為我們知道，透鏡孔徑的衍射作用明顯與否，是由孔徑線度相對于波長和像距的比例決定的。為了便于比較，我們對作變量替換如下 將其代入點擴展函數(shù)表達式，得這就是我們最終我們所求得透鏡的點擴展函數(shù)。從上式可以看出，在傍軸近似下，薄透鏡為一種簡單的空不變系統(tǒng)，其點擴展函數(shù)就是透鏡的孔徑函數(shù)的傅里葉變換。它決定了在像面上形成的夫瑯和費衍射斑的復(fù)振幅分布，而理想像點就位于衍射斑的中心。當透鏡孔徑遠大于時，即x, y在很大

6、的范圍內(nèi)(也就是變量在很大范圍內(nèi))，則點擴展函數(shù)可以近似為上式為一種極限情況，即無限大口徑的理想光學(xué)系統(tǒng)，這時點物成點像。二、衍射受限系統(tǒng)(DLS Diffraction-Limited System)的點擴展函數(shù)一個衍射受限的成象系統(tǒng)，無論它由多少個光學(xué)元件組成，總可以用下圖所示的系統(tǒng)來表示它的一般模型。其中，入瞳和出瞳反映了系統(tǒng)實際孔徑對光束的限制，因此一個系統(tǒng)的衍射受限就相當于受到入瞳或出瞳的限制，可以證明對整個系統(tǒng)，入瞳和出瞳是共軛的。有了光瞳的概念，我們可以不去涉及光線在系統(tǒng)中行進的具體路徑，而把整個系統(tǒng)的衍射受限看作由入瞳和出瞳邊緣的作用。按照衍射受限系統(tǒng)的定義，系統(tǒng)是沒有幾何像差

7、的。對于一個沒有像差的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)，其成像過程可描述為：任一物點發(fā)出的發(fā)散球面波自由傳播到入瞳，由于入曈孔徑為有限大，光波發(fā)生衍射，入瞳面上每一點都成為次級子波源，次級子波再傳播到出瞳面，疊加成會聚球面波，最終在像面上給出以為中心的出瞳的夫瑯和費衍射圖樣。我們將透鏡的點擴展函數(shù)按出瞳進行推廣，就得到衍射受限系統(tǒng)的點擴展函數(shù)（采用系統(tǒng)的出瞳對光波的衍射作用）其中K是與無關(guān)的系數(shù)，M是系統(tǒng)的橫向放大率，是出射光曈面到像平面的距離（不是通常意義下的像距），是出曈函數(shù)，其表示為如果作變量替換，；，可以得到當光曈>>時，則認為在無限大的區(qū)域內(nèi)都有，所以上式表明，當可以忽略光曈衍射作用時，點的

8、脈沖通過衍射受限系統(tǒng)后在物平面上得到的仍然是點脈沖，即點物成點像，位置為，這便是幾何光學(xué)理想成象的情況。§6-2 相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律相干照明下透鏡成象是復(fù)振幅的線性系統(tǒng)，因此我們在上節(jié)導(dǎo)出的象面振幅應(yīng)是復(fù)振幅的疊加積分。根據(jù)上節(jié)導(dǎo)出的衍射受限系統(tǒng)的點擴展函數(shù)其中K是與無關(guān)的系數(shù)，M是系統(tǒng)的橫向放大率，是出射光瞳面到像平面的距離。當光曈(x, y)>>時，則認為在無限大的區(qū)域內(nèi)都有光瞳函數(shù)，所以在象面上得到理想象點，其點擴散函數(shù)為所以在理想成象的情況下，象面上的復(fù)振幅分布為可以看出，理想象分布與物函數(shù)分布U0是一樣的，只是在xi，yi的方向上都放大了M倍（若M

9、<1,則為縮?。?。當然振幅的大小也發(fā)生了變化。我們知道，出射光瞳的點擴散函數(shù)為所以上式表明，物通過衍射受限系統(tǒng)后，像分布是理想像和點擴展函數(shù)的卷積。另外，從疊加積分的角度也可以認為物的像分布是理想像分布的疊加。像的強度分布則為因為當時，這表明，對衍射受限系統(tǒng)，表征系統(tǒng)成像特點的點擴展函數(shù)是光曈函數(shù)的傅立葉變換，可見光曈函數(shù)對描述衍射受限系統(tǒng)成像的重要性。§6-3 衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)在頻率域中，我們可以用點擴展函數(shù)的頻譜函數(shù)來描述系統(tǒng)的成像特性，即是衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)。一、 相干傳遞函數(shù)與光曈函數(shù)的關(guān)系我們知道空域中，在用相干照明的情況下，象面的復(fù)振幅為其中是理想

10、像點的復(fù)振幅分布，是點擴展函數(shù)。如果令則在頻域中，有其中就是相干傳遞函數(shù)（CTF Coherance Transfer Function）。而由，得上式表明，相干傳遞函數(shù)等于光曈函數(shù)，僅在空域坐標和空間頻率之間存在一定的縮放關(guān)系。對衍射受限系統(tǒng)，光曈函數(shù)為所以，由(x, y)決定的(fx, fy)，若在光曈內(nèi)，則；若在光曈外，則。即所以衍射受限系統(tǒng)相當于一個低通濾波器，它允許一定空間頻率(fx，fy)范圍內(nèi)的物光波無衰減的通過，而高于一定空間頻率(fx，fy)的物光波則完全不允許通過。這一特定空間頻率(fx，fy)稱為截止頻率，記為f0。通過的頻帶寬度由光曈尺寸決定。成像系統(tǒng)的光曈的形狀和大小

11、直接影響著相干傳遞函數(shù)。相干傳遞函數(shù)也就是濾波函數(shù)，在光曈面上放置特殊形狀的光闌，便能起到濾波作用。相干傳遞函數(shù)中變量的“-”號是因為一個函數(shù)連續(xù)進行兩次傅里葉變換所產(chǎn)生的，它與光曈坐標的指向有關(guān)，若改變其坐標方向，式中負號消失，這對所研究的問題沒有影響。所以通常把寫為。當出射光瞳為邊長為l的正方形時，相干傳遞函數(shù)其在x和y方向的截止頻率為當出射光瞳為直徑為D的圓時，相干傳遞函數(shù)其截止頻率為上式中D/di為光圈F數(shù)（即相對孔徑D/f）的倒數(shù)?？梢姶笙鄬讖降溺R頭截止頻率高，也就是鏡頭分辨物體的細節(jié)能力強。這也是為什么高級的專業(yè)相機的鏡頭相對孔徑都比較大的原因。所以我們在攝影的時候，如果追求被攝

12、物體（如人物攝影）清晰，就應(yīng)使用大光圈（為了保證曝光量，則相應(yīng)提高快門速度）。當然如果進行的是風(fēng)光攝影，為了追求景深，則應(yīng)該使用小光圈（相機的光圈與景深成反比）。因為光學(xué)系統(tǒng)的光曈多數(shù)情況為圓，所以上式很有用。§6-4 非相干照明下的物像關(guān)系，光學(xué)傳遞函數(shù)上一節(jié)我們看到了相干傳遞函數(shù)與光瞳函數(shù)之間有非常直接而簡單的關(guān)系。當用非相干光照明時，我們將會看到，這時的傳遞函數(shù)仍由光瞳函數(shù)決定，但二者之間的關(guān)系較為間接而且復(fù)雜一些。非相干照明在成象系統(tǒng)中用的比較多。這一節(jié)將在相干傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上，首先找出非相干成象系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)與相干傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，然后分析光學(xué)傳遞函數(shù)的特點。一、 非

13、相干成象系統(tǒng)的線性性質(zhì)非相干成象系統(tǒng)與相干成象系統(tǒng)不同，可以證明，它是光強度的線性系統(tǒng)，而不是復(fù)振幅的線性系統(tǒng)。因此在象面上的光分布是光強度的疊加。物面上復(fù)振幅為的一點的光振動，通過衍射受限系統(tǒng)后，其在象面上象點的復(fù)振幅為因此其在象點的光強度為所以在象面點的光強度為如果令則我們在前面研究相干光照明的情況曾定義，同樣我們可以定義，所以由此可見，象的光強分布是物的光強分布（理想象）與強度脈沖響應(yīng)的卷積，而且非相干光系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是相干光脈沖響應(yīng)的模的平方。由于是光瞳函數(shù)的傅立葉變換，所以和光瞳函數(shù)也有確定的關(guān)系，后面我們將給出這種關(guān)系。二、 光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF Optical Transfer

14、Function）在非相干光照明條件下，衍射受限系統(tǒng)對于光強度是線性空不變系統(tǒng)，所以在頻率域中來描寫物象的強度關(guān)系將更加方便。我們令對取傅立葉變換（略去常數(shù)因子），得因為都是強度分布，即，其傅立葉變換中必含零頻分量（或者說是直流分量），并且其幅值大于任何非零頻幅值，即；因為決定像的清晰與否，在于帶有信息的那部分能量相對于零頻能量分量的比值的大小，也就是調(diào)制度或反差度的大小。從觀察的效果上看，調(diào)制度或反差度越大，圖象越清晰。光學(xué)成象系統(tǒng)的成象質(zhì)量由其是否如實地反映物體本身各空間頻率的對比度來決定，所以考慮一個規(guī)范化，或者叫歸一化的頻譜函數(shù)可以更確切地表明所研究的圖象的特征。為此我們用零頻值對頻譜

15、函數(shù)作歸一化處理，得到歸一化頻譜函數(shù)分別如下：根據(jù)，則，所以我們稱為非相干光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，簡稱光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF Optical Transfer Function）。因為是一個復(fù)函數(shù)，可以表示為它的振幅和位相部分分別稱調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF Modulation Transfer Function）和位相傳遞函數(shù)（PTF Phase Transfer Function）。其意義將在下節(jié)說明。三、光學(xué)傳遞函數(shù)與相干傳遞函數(shù)的關(guān)系我們已知而所以式中是相關(guān)運算符號，上式表明光學(xué)傳遞函數(shù)OTF是相干傳遞函數(shù)（CTF）的自相關(guān)，這個結(jié)論不僅適用于衍射受限系統(tǒng)，對非衍射受限系統(tǒng)也是成立的，所以此結(jié)論

16、具有一般性。將相干傳遞函數(shù)代入上式，我們得到光學(xué)傳遞函數(shù)與光曈函數(shù)之間的關(guān)系為如果令，則顯然，即零頻的OTF=1，這是歸一化的結(jié)果，說明物體的零頻成分通過系統(tǒng)后保持不變。另外，若令，則說明光學(xué)傳遞函數(shù)具有厄米性。當然我們還可以用Schwarz不等式證明，即光學(xué)傳遞函數(shù)具有遞減性，有興趣的同學(xué)可以自己證明。對衍射受限系統(tǒng)，取簡單值，即，所以而對于，因為只有在和的交疊區(qū)域才不為0，所以所以光學(xué)傳遞函數(shù)這樣，要計算一個衍射受限系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF），就變成了對于光瞳的幾何圖形的面積運算。對于簡單的光瞳幾何形狀，可求出重疊面積的完整表達式；對于形狀很復(fù)雜的光曈，可用計算機算出在一系列分離頻率上的

17、值。衍射受限系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)OTF的例子例一、 衍射受限系統(tǒng)的光曈函數(shù)是邊長為l的正方形，求其OTF。解：光曈總面積重疊面積：將在方向上分別移動(1) 當，時，顯然重疊面積(2) 當，時，重疊面積所以我們知道光曈為邊長為l的正方形時，相干傳遞函數(shù)在fx和fy方向上的截止頻率都是，所以用三角函數(shù)表示相干傳遞函數(shù)則為根據(jù)三角函數(shù)的定義式，得到在fx和fy方向的截止頻率為。在其他方向上，的截止頻率不同。在截止頻率以內(nèi)，隨空間頻率增大而減?。ㄒ娤聢D），而相干傳函數(shù)是常數(shù)1。例二、衍射受限系統(tǒng)的出射光曈是直徑為l的圓，求光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）。解：光曈為圓形，則圓對稱，故計算出即可得到隨的變化。(1)光

18、曈總面積：(2)交疊面積：其中當時，交疊面積為0，所以x方向截止頻率為。而在截止頻率以內(nèi)，在x方向光學(xué)傳遞函數(shù)為在極坐標中：其中空間頻率，我們知道，相干傳遞函數(shù)的截止頻率，而光學(xué)傳遞函數(shù)的截止頻率為，可見光學(xué)傳遞函數(shù)的截止頻率皆為相干傳遞函數(shù)的兩倍。但是光學(xué)傳遞函數(shù)的截止頻率是隨空間頻率的升高而逐漸下降的，而相干系統(tǒng)在截止頻率之內(nèi)卻有相同的傳遞函數(shù)（下圖表示兩者的比較）。實際上兩種截止頻率是對兩種不同的情況而言的，相干截止頻率是針對復(fù)振幅而言的，而非相干的截止頻率是針對光強而言的。因此不能說同樣的系統(tǒng)非相干照明比相干照明成像效果好。那種照明情況成象好，還與物的狀況、使用目的等有關(guān)，需要具體問題

19、具體分析。§6-5 光學(xué)傳遞函數(shù)的物理意義我們在上節(jié)曾定義了理想象點光強分布、象點光強分布和強度脈沖響應(yīng)的歸一化頻譜函數(shù)、和，并且有，。如果將、和都寫成復(fù)指數(shù)形式，則有而，則所以光學(xué)傳遞函數(shù)是描寫非相干照明下系統(tǒng)成像特性的，與輸入物函數(shù)的具體形式無關(guān)。我們假設(shè)輸入的物函數(shù)是空間頻率為的余弦函數(shù)，用下列表達式表示其相應(yīng)的頻譜函數(shù)則為而所以根據(jù)的定義，所以又因為光瞳面積=C，則所以因為C為常數(shù)，對像強度分布無影響，在求時，即對求傅立葉逆變換時，可以將C略去。我們根據(jù)，和可以得到比較和兩式可以看出，余弦物通過衍射受限系統(tǒng)后，仍為同頻率的余弦函數(shù)，但振幅變小了（因為），位相也發(fā)生了改變。幅度

20、和位象的變化決定于在該頻率處的取值。需要指出的是，對于衍射受限系統(tǒng)，相干傳遞函數(shù)和光學(xué)傳遞函數(shù)都為正實函數(shù)，即在傳遞函數(shù)表達式中，這意味著衍射受限系統(tǒng)在成象時只改變空間頻率成分的幅度，而不產(chǎn)生位相改變。但在后面將要討論的有象差的成象系統(tǒng)中，一般同時表現(xiàn)為幅度和位相的同時改變。為了說明的意義，我們分別求出上述物和象的調(diào)制度（即可見度）。物的調(diào)制度（可見度）像的調(diào)制度（可見度）所以這個式子就是說，表示空間頻率為的余弦物通過系統(tǒng)后調(diào)制度的比值，所以也叫調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）。調(diào)制傳遞函數(shù)是空間頻率的函數(shù)，它描述系統(tǒng)對物的對比度的傳遞能力。根據(jù)光學(xué)傳遞函數(shù)的厄米性可證明，MTF為偶函數(shù)，即。對于，其意

21、義很清楚，的輻角表示頻率為的余弦像分布相對于物（理想像）的橫向位移量。所以也把叫做位相傳遞函數(shù)(PTF)。位相傳遞函數(shù)同樣也是空間頻率的函數(shù)，表示物和像之間的位相差，它體現(xiàn)了像強度分布的位置相對與其對應(yīng)的物強度分布即理想像移動了多少。同樣根據(jù)光學(xué)傳遞函數(shù)的厄米性可證明，PTF為奇函數(shù)，即。§6-6 象差及其對傳遞函數(shù)的影響以上討論的都是衍射受限系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，因為這樣的系統(tǒng)屬線性空間不變系統(tǒng)，所以存在傳遞函數(shù)。在相干照明的情況下，得到相干傳遞函數(shù)；在非相干照明的情況下，得到光學(xué)傳遞函數(shù)。但是實際光學(xué)系統(tǒng)都存在象差。所謂象差即是出瞳上的波前對理想球面的偏差。球差、慧差和象散使得成象不清

22、晰，場曲、畸變改變象的位置和形狀。所以有象差的光學(xué)系統(tǒng)一般不屬于空不變系統(tǒng)，所以不能定義傳遞函數(shù)。但是作為一種近似，我們?nèi)钥梢栽谠瓉硌苌涫芟尴到y(tǒng)的傳遞函數(shù)的理論框架下對傳遞函數(shù)進行討論，對原來的傳遞函數(shù)進行修正。1、象差的影響、廣義光瞳函數(shù)當成象系統(tǒng)是衍射受限系統(tǒng)時，點擴展函數(shù)是出瞳函數(shù)的夫瑯和費衍射，其中心在理想象點上。而當系統(tǒng)存在象差時，出瞳上的波面不再是球面。因為傳遞函數(shù)與光瞳函數(shù)有直接關(guān)系，所以如果能把由于象差的存在所產(chǎn)生的影響換算成相應(yīng)的光瞳函數(shù)的改變，則有象差存在時的傳遞函數(shù)也就自然可以得出。這個問題的具體考慮方法是這樣的：假定S0面是以理想象點A為中心，通過光瞳中心的球面（稱為參

23、考球面）；而S面是由于象差的存在而偏離了球面的實際波面。這個實際波面的形成可以看成是由于在光瞳處放置了一塊透明移相板P（其移相函數(shù)，或者說光學(xué)厚度分布函數(shù)為W(x，y)）對理想球面波的改變。這時出瞳面上的透過率函數(shù)（即光瞳函數(shù)）則為式中P(x, y)為原來意義的光瞳函數(shù)，稱為廣義光瞳函數(shù)，它是一個復(fù)函數(shù)。W(x，y)稱為波象差。這樣一個有象差的的相干光學(xué)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，就是一個具有廣義光瞳函數(shù)孔徑產(chǎn)生的夫瑯和費衍射圖樣。2、有像差時的相干傳遞函數(shù)和光學(xué)傳遞函數(shù)在相干系統(tǒng)中，象差對傳遞函數(shù)的影響是很簡單的。因為無像差時相干傳遞函數(shù)正比于光瞳函數(shù)，當存在象差時，相干傳遞函數(shù)則正比于廣義光瞳函數(shù)。所

24、以顯然，象差的出現(xiàn)并不改變相干系統(tǒng)的截止頻率，截止頻率仍由孔徑大小所限制。象差的效應(yīng)表現(xiàn)在通頻帶內(nèi)引入了位相畸變。由于各空間頻率之間位相關(guān)系的改變，會對象質(zhì)產(chǎn)生嚴重影響，系統(tǒng)甚至?xí)霈F(xiàn)“顛倒黑白”的情況。在求出象差對相干傳遞函數(shù)的影響后，根據(jù)無像差時，光學(xué)傳遞函數(shù)有像差時，光瞳函數(shù)用廣義光瞳函數(shù)代替，則有顯然分母=光曈總面積而分子因為，在與的交疊區(qū)域外被積函數(shù)為0，所以將上式寫成對稱形式上式把光學(xué)傳遞函數(shù)與含有波象差W(x，y)的積分聯(lián)系起來。由于W(x，y)是可以用幾何光學(xué)方法精確地算出的，因此我們得到了一個計算學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)的實用公式。一般來說是復(fù)函數(shù)，所以可以將光學(xué)傳遞函數(shù)寫為。下

25、面以離焦系統(tǒng)為例看看象差對OTF的影響。3、離焦成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)離焦實際上不是像差，而是由調(diào)焦不準確引起的。我們現(xiàn)在來計算圓形出瞳（出瞳半徑為a）光學(xué)系統(tǒng)離焦時的OTF。令（即對出瞳坐標進行歸一化），并利用相干系統(tǒng)的截止頻率，當象方孔徑角u不大時，則其中q(a)是與a有關(guān)的常數(shù)，是截止頻率。根據(jù)上圖的幾何關(guān)系，假設(shè)離焦量為，則所以從而這就是離焦時的光學(xué)傳遞函數(shù)計算公式。對圓形光瞳，其傳遞函數(shù)為令，得到在極坐標下的傳遞函數(shù)其不同的值的傳遞函數(shù)曲線見下圖。其中紅實線是無離焦時的傳遞函數(shù)。當離焦量很大時，傳遞函數(shù)在頻率增大時分段出現(xiàn)反相的情況。在實驗中如果用“輻條”物，則在離焦面就會看到在某些頻率

26、處出現(xiàn)“黑白反轉(zhuǎn)”。 當系統(tǒng)存在其它像差時，利用解析法來求傳遞函數(shù)困難更大，通常用計算機來進行數(shù)值計算，而實際鏡頭的光學(xué)傳遞函數(shù)是用專門儀器來測量的。§6-7 光學(xué)成像系統(tǒng)的像質(zhì)評價評價光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法有兩類：在幾何光學(xué)中借助像差曲線，考察空域中點擴散函數(shù)（PSF, Point Spread Function）的彌散；在信息光學(xué)中則通過光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)，在空間頻率域中考察系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。OTF是系統(tǒng)像質(zhì)的綜合指標，目前正逐步取代像差指標而成為評價系統(tǒng)質(zhì)量的主要手段。但是OTF與零件幾何參數(shù)（如透鏡的曲率半徑、厚度、玻璃的折射率）沒有直接關(guān)系，像差曲線則與零件參數(shù)有比較直接

27、的關(guān)系。因此光學(xué)工程師常常把像差指標作為光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計過程中的參考指標，而把OTF作為最后評價系統(tǒng)質(zhì)量的綜合指標。實際上由于PSF和OTF間的關(guān)系是傅立葉變換，因此兩者的信息含量是相同的。光學(xué)儀器的作用是傳遞信息，成像光學(xué)儀器的作用則是傳遞圖像信息，在傳遞的過程中信息的損失越小，像和物的信息含量成分越接近，我們就說像的質(zhì)量越高。一張有光學(xué)系統(tǒng)所傳遞的畫面，應(yīng)具備分辨率高、層次豐富（灰度級次多）、反差適中、雜光水平低、畸變小、彩色還原正確、畫面上中心和邊緣的亮度均勻一致等條件。評價成像質(zhì)量牽涉到光學(xué)信道的各個環(huán)節(jié)的特性：光源的光譜特性、相干性、亮度；成像鏡頭的空頻傳遞性能、雜光水平、透過率特性、空

28、間帶寬積；接受器的頻響特性（包括對時間頻率和空間頻率的響應(yīng)）、動態(tài)范圍、分辨率等。此外還和輸入信號（圖像）的特性有關(guān)。因此像質(zhì)評價是一種綜合評價。我們不打算全面討論像質(zhì)評價問題，我們僅就成像鏡頭的質(zhì)量指標做一些討論。一、 光學(xué)傳遞函數(shù)與特征頻率光學(xué)傳遞函數(shù)表示從疏到密變化的各種空間頻率的余弦光柵經(jīng)過成像系統(tǒng)后調(diào)制度或反差度（即交變分量振幅與平均直流分量幅度的比值）的變化。一個高質(zhì)量的鏡頭。它的OTF從低頻到高頻都比較高。一般來說，零頻與低頻成分與圖像的輪廓、布局以及層次感關(guān)系密切，可以說是圖像的“骨架”，高頻成分則決定了圖像中急劇變化的“細節(jié)”。一幅清晰的圖像，不僅要求有足夠的分辨率，還要求豐

29、富的層次感。一般來說，OTF值越高，鏡頭的成像質(zhì)量越好，但這并不是絕對的。例如，人物的特寫鏡頭要求很好的層次感，但局部的分辨率不宜過高，過高則面部的瑕疵和皺紋就被顯現(xiàn)出來。攝影師通常把調(diào)制度或反差度稱為“調(diào)子”，稱高反差的照片調(diào)子為“硬”，中低反差的照片調(diào)子為“軟”。顯然人像鏡頭的調(diào)子要適中，不能過硬。但景物、標本的照片調(diào)子要適當硬一些。下圖給出了兩條OTF曲線，曲線I的高頻響應(yīng)比II的要好，其截止頻率f0I>f0II，鏡頭I的分辨率也比II的高。但是分辨率僅是一個指標，僅用截止頻率來評價鏡頭的質(zhì)量是不夠的。鏡頭II的中低頻響應(yīng)特性都優(yōu)于I，總的來看，鏡頭II的清晰度比鏡頭I的高。為了反

30、映不同的使用要求，通常選取OTF曲線在一個或幾個特征頻率下的值作為鏡頭評價或?qū)Ρ鹊闹笜?，例如要求高分辨率的鏡頭，可以選一個高頻下的OTF值作為指標。有時還按下面的原則來選擇特征頻率：1 理論分析和實驗都表明，接近于截止頻率一半處的OTF值，對于成像質(zhì)量比較敏感，當像質(zhì)有所不同時，該頻率的OTF值變化最快，因此常常選擇它為特征頻率。2 對于一類特定的產(chǎn)品，往往做大量的實驗，確定特征頻率，該特征頻率與產(chǎn)品鏡頭的某一個或幾個性能指標有較好的相關(guān)性。3 用特征頻率下的OTF值代替OTF曲線作為像質(zhì)評價指標，在處理上比較方便，因為它是單值指標，容易互相比對；此外，測定單個頻率下的OTF值的裝置也比完整的

31、光學(xué)傳遞函數(shù)儀容易制造。二、 中心點亮度和等效帶寬K.Strehl在1984年提出了一個像質(zhì)評價標準，即有像差時的點像的最大亮度與衍射受限系統(tǒng)點像最大亮度之比，稱為“中心亮度”，簡記為S.D。設(shè)衍射受限系統(tǒng)的點像最大亮度為S0，則像差光學(xué)系統(tǒng)的中心亮度上式表明中心亮度S.D等于OTF的積分。在一維情況下，上式變?yōu)锽eq又稱為有效帶寬。它的物理意義是：設(shè)位相傳遞函數(shù)PTF=0，則Beq相當于下圖中矩形的寬，該矩形的面積與MTF即曲線下的面積相等。顯然光學(xué)系統(tǒng)傳遞空間頻率信息的性能越好，曲線下的面積就越大，Beq也就越大。Beq對于光學(xué)系統(tǒng)的視場的積分稱為系統(tǒng)的信道容量。三、 銳度和能量集中度A.

32、 Richard在1974年提出了銳度(Sharpness)的概念，定義為點像光強分布平方的積分：假定點光源的能量全部傳遞到像面，則以總能量為單位的歸一化點像強度積分為1，即但光強的分布隨著像質(zhì)的不同而不同。一般說來，能量越集中，光強的變化梯度越大，從總體來看點像越尖銳?？梢宰鳛辄c像銳度或能量集中度的度量。由Parserval定理，得S2有時又用E表示。由此可見，銳度和能量集中度是同一個概念，其數(shù)值等于光學(xué)傳遞函數(shù)平方的積分。在一維情形下上式化為式中l(wèi)(x)為線擴散函數(shù)。四、 清晰度點像的強度分布曲線越陡，梯度越大，系統(tǒng)對于一般目標物體所成像的邊緣越清晰，可見清晰度是和有關(guān)的，因此定義清晰度(

33、acutance)acutance也常譯作銳度，可見清晰度和銳度這兩個概念可以混用。利用Parserval定理，容易證明五、 高對比直邊的彌散和等效帶寬光學(xué)系統(tǒng)所觀察的目標，常常是由不同亮度或不同色澤的區(qū)域構(gòu)成。設(shè)用工具顯微鏡對目標物進行長度測量，必須先用目鏡中的分劃線對準物體邊緣（即不同區(qū)域的邊界）通過物鏡形成的像，然后讀數(shù)。因為衍射效應(yīng)和像差，邊緣的像是有彌散的。顯然彌散范圍是引起測量誤差的直接原因，為此我們先定義。一個與y軸重合的高對比直邊的幾何像，可以用step(x)函數(shù)表示。在非相干照明的情況下，像平面上的實際光強分布則為式中l(wèi)(x)為線擴散函數(shù)，由于沿y方向沒有光強的變化，以下用表

34、示光強變化。卷積的結(jié)果使直邊像平滑（見上圖），這就是直邊像的彌散效應(yīng)，它造成對準誤差。通常是以在幾何陰影處（即圖中x=0處）斜率的倒數(shù)作為邊緣像彌散范圍的度量，可稱為“等效線寬”，由線擴散函數(shù)l(x)與一維光學(xué)傳遞函數(shù)的關(guān)系得到Beq就是前面提到的等效帶寬。所以上式表明直邊像的彌散程度與光學(xué)系統(tǒng)的帶寬之間有深刻的約束關(guān)系：Beq越大，系統(tǒng)對空間頻率信息的響應(yīng)特性越好，像的信息量就越接近物的信息量，從而邊緣的彌散就越小。由于光波在光學(xué)系統(tǒng)有限大小的光瞳上的衍射效應(yīng)，光學(xué)系統(tǒng)的通頻帶總是有限的，因此直邊像的加寬效應(yīng)不可避免，而系統(tǒng)的像差一般來講又使這一效應(yīng)更為嚴重，進一步加大了彌散，降低了測量精度

35、。類比于量子力學(xué)中的測不準原理，我們可以把稱為光學(xué)系統(tǒng)的測不準關(guān)系式。很明顯，Beq或可以作為小像差光學(xué)系統(tǒng)的像質(zhì)評價指標。六、 光學(xué)傳遞函數(shù)的測量以上各種像質(zhì)評價指標，都是以O(shè)TF為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，經(jīng)進一步計算得到的。OTF是對像質(zhì)的定量評價，具有客觀、準確的特點。目前已有各種類型的OTF測量儀器在鏡頭的設(shè)計、生產(chǎn)和檢測部門使用，測量波段從可見光到紅外光。光學(xué)系統(tǒng)作為一個線性系統(tǒng)，被它的脈沖響應(yīng)完全確定。因此在OTF儀中，常常用點源作為系統(tǒng)的輸入信號（OTF也常用狹縫、刀口、或變頻光柵作為輸入信號），只要測出系統(tǒng)對它的脈沖響應(yīng)（點擴散函數(shù)），就可以通過傅立葉變換得到OTF。OTF用一套復(fù)雜的光學(xué)系

36、統(tǒng)來精密地測量點擴散函數(shù)，并用計算機算出OTF及其它相關(guān)的指標。下面以顯微物鏡為例，來說明OTF的測量原理和方法。下圖為顯微物鏡的OTF儀。星點板Ps（即小孔光闌，其孔徑在0.5m以下）被非相干光源S（通常是碘鎢燈）通過聚光鏡Lc照亮，被測物鏡Lt把星點的像成在狹縫Ns上，Ns以勻速掃描，它的輸出用掃描函數(shù)C()表示，即狹縫位于處通過狹縫進入探測器Dt的光能量。Dt將C()轉(zhuǎn)換成電信號。一套精密機械系統(tǒng)完成鏡頭Lt的對焦、視場轉(zhuǎn)換及狹縫Ns的勻速掃描等動作。目鏡E用于監(jiān)視目標（星點）的對準和視場選擇；復(fù)合濾光片F(xiàn)用于校正系統(tǒng)的光譜特性。例如對于目視系統(tǒng)，校正后的光譜曲線大體與人眼的視見函數(shù)一致

37、。由Dt輸出的模擬信號，通過預(yù)處理后，經(jīng)抽樣、平滑濾波（濾掉高頻噪聲）后通過A/D轉(zhuǎn)換成為數(shù)字信號，送入計算機進行快速傅立葉變換得到OTF的抽樣值，進一步的計算便可獲得上面的Beq、銳度、清晰度等像質(zhì)指標。下面介紹具體的計算公式。設(shè)星點是一個被均勻照明的無限薄透光圓孔，其理想像為式中為星孔理想像的半徑。實際光強分布設(shè)用一條寬2的無限長狹縫（因點擴展函數(shù)的彌散范圍不大，故可以近似認為所用狹縫為無限長）對進行掃描，狹縫平行于y軸，定義狹縫函數(shù)式中為狹縫的中心坐標。掃描函數(shù)為通過狹縫的光能量，故有所以式中A0為常數(shù)。上式表明掃描函數(shù)C()的傅立葉變換和OTF成正比，式中后兩個因子是有限直徑的星孔和有限寬度的狹縫引